Promediado síncrono en el tiempo

Una máquina rotativa repite su firma una vez por revolución. Enterrada en el ruido de banda ancha y en los tonos del resto de los ejes, esa forma de onda repetitiva es difícil de leer directamente. El promediado síncrono en el tiempo (TSA) la recupera: dado el período T de una revolución, trocea el registro en bloques sucesivos de longitud T y los promedia. Toda componente síncrona con T se refuerza; todo lo asíncrono, el ruido y los armónicos de ejes no relacionados, se promedia hasta desaparecer. time_synchronous_average implementa el modelo de P. D. McFadden, A revised model for the extraction of periodic waveforms by time domain averaging (1987).

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import (
    comb_filter_response,
    noise_signal,
    time_synchronous_average,
)

fs = 8192.0
period = 1.0 / 32.0        # una revolución: 256 muestras a esta frecuencia
m, n_avg = 256, 40
phase = np.arange((n_avg + 1) * m) / m
periodic = (
    np.cos(2.0 * np.pi * phase)
    + 0.5 * np.cos(2.0 * np.pi * 3.0 * phase + 0.4)
    - 0.3 * np.cos(2.0 * np.pi * 6.0 * phase)
)
recording = periodic + noise_signal(fs, phase.size / fs, rms=0.9, seed=11)
res = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=n_avg)

fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.6))
t_ms = 1e3 * res.times
ax0.plot(t_ms, recording[:m], color="#cccccc", label="Un período ruidoso")
ax0.plot(t_ms, res.period_waveform, color="#1f77b4", lw=1.8,
         label=f"Promedio de N = {n_avg} períodos")
ax0.plot(t_ms, periodic[:m], "--", color="#d62728", label="Forma verdadera")
ax0.set_xlabel("Tiempo [ms]"); ax0.set_ylabel("Amplitud"); ax0.legend()

orders = np.linspace(31.0, 33.0, 4000)
freqs = orders / period
ax1.plot(orders, comb_filter_response(freqs, period, 32), color="#2ca02c",
         label="N = 32 (potencia de dos)")
ax1.plot(orders, comb_filter_response(freqs, period, 20), color="#1f77b4",
         label="N = 20 (nodo en 32,05)")
ax1.axvline(32.05, color="#d62728", ls=":", label="Tono interferente")
ax1.set_xlabel("Frecuencia [órdenes]"); ax1.set_ylabel("Magnitud del filtro peine")
ax1.set_ylim(0, 1.05); ax1.legend()
plt.show()

El método .plot() dibuja la forma de onda promediada y el filtro peine en una sola llamada:

res.plot()          # etiquetas en inglés; res.plot(language="es") en español

1. El promedio es un filtro peine

Promediar N períodos sucesivos (McFadden Ec. 5),

$$a(t)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}y(t+nT),$$

es, en el dominio de la frecuencia, la multiplicación del espectro de la señal por un filtro peine (Ec. 8). Su magnitud (Ec. 9) es el núcleo de Dirichlet

$$|C(f)|=\left|\frac{\sin (N\pi fT)}{N\sin (\pi fT)}\right|.$$

El peine tiene un diente de altura unidad en cada armónico k/T (los órdenes f·T = 1, 2, 3, ...), independiente de N: las componentes síncronas con el período pasan intactas. Entre los dientes tiene nodos en j/(N·T) para todo j que no sea múltiplo de N, donde la respuesta es exactamente cero. comb_filter_response evalúa esta forma cerrada directamente:

import numpy as np
from phonometry import comb_filter_response

period = 1.0 / 32.0
comb_filter_response(np.array([16.0 / period]), period, 8)   # 1.0 en un diente
comb_filter_response(np.array([0.25 / period]), period, 2)   # 1/sqrt(2)
comb_filter_response(np.array([0.5 / period]), period, 2)    # 0.0 en un nodo

SynchronousAverageResult lleva la respuesta sobre los primeros armónicos en comb_frequencies y comb_response, de modo que la forma del filtro que el promedio aplicó está disponible junto a la forma de onda recuperada.

2. El ruido cae como la raíz cuadrada del número de promedios

El ruido asíncrono de varianza ${\sigma }^2$ promediado sobre N períodos tiene varianza residual ${\sigma }^2/N$: la desviación típica residual cae como $1/\sqrt{N}$, y la relación señal-ruido en amplitud mejora en $\sqrt{N}$. Eso es una reducción de potencia de $10{\log }_{10}N$ dB, reportada como noise_reduction_db, con la ganancia en amplitud $\sqrt{N}$ como amplitude_snr_gain:

res = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=100)
res.noise_reduction_db      # 20.0 dB = 10*log10(100)
res.amplitude_snr_gain      # 10.0   = sqrt(100)
res.plot(language="es")     # forma de onda promediada + el peine aplicado

La ley √N medida de principio a fin: el error RMS de la forma de onda promediada de una firma de engranaje de tres armónicos en ruido de varianza unidad cae a lo largo de la línea ideal σ/√N a medida que el número de períodos promediados crece de 1 a 128.

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import time_synchronous_average

fs = 8192.0
samples = 256
period = samples / fs
m = np.arange(samples) / fs
true = (np.cos(2 * np.pi * m / period)
        + 0.5 * np.cos(2 * np.pi * 3 * m / period + 0.7)
        + 0.25 * np.cos(2 * np.pi * 5 * m / period + 1.1))
rng = np.random.default_rng(5)
recording = np.tile(true, 128) + rng.standard_normal(128 * samples)

counts = [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128]
errors = []
for n in counts:
    res = time_synchronous_average(recording[:n * samples], fs, period,
                                   n_averages=n)
    errors.append(np.sqrt(np.mean((res.period_waveform - true) ** 2)))

# Una línea: la forma de onda promediada y el peine que aplicó:
res.plot(language="es")
plt.show()

# La ley sqrt(N) a mano: error medido contra la línea ideal:
fig, ax = plt.subplots()
ax.loglog(counts, errors, "o-", label="error RMS medido")
ax.loglog(counts, 1 / np.sqrt(np.array(counts)), "r--",
          label="sigma/sqrt(N) ideal")
ax.set(xlabel="Número de promedios N", ylabel="Error RMS")
ax.legend()
plt.show()

Esta ley es la ideal: se cumple cuando el ruido no está correlado de un período al siguiente, de modo que el ruido de color o síncrono correlado entre períodos no tiene por qué seguirla. El residual (entrada menos la reconstrucción periódica sobre el tramo analizado) y su residual_rms reportan, por tanto, el ruido realmente restante una vez eliminada la componente síncrona.

3. Elegir N para rechazar un orden interferente

Como hay un diente sobre todos los órdenes enteros, el TSA deja pasar los armónicos del eje objetivo pero también cualquier tono que caiga en un orden entero. Un tono en un orden no armónico q = f·T solo es atenuado por el peine, no eliminado, y cuánto depende de dónde caiga el nodo más cercano. El resultado del modelo revisado de McFadden es que tal interferente se rechaza mejor eligiendo N de modo que un nodo caiga exactamente sobre él, es decir, el menor N con N·q entero, en vez de con el número de promedios potencia de dos habitual. Un nodo exacto solo existe cuando el orden q es racional, de modo que algún N finito hace N·q entero; para un orden irracional o solo estimado, elige el N cuyo nodo caiga más cerca del orden interferente.

Su propio ejemplo es un tono en 32,05 órdenes. Con N = 20 el producto 20 · 32,05 = 641 es entero, así que un nodo del peine cae sobre el tono y lo rechaza en más de 100 dB. La elección común N = 32 da 32 · 32,05 = 1025,6, que se sitúa en un lóbulo lateral: el tono apenas se toca. La figura de arriba muestra ambos peines en torno al orden 32; el promedio de extremo a extremo lo confirma:

# 8.o orden verdadero más un interferente fuerte en 32,05 órdenes
phase = np.arange(41 * 256) / 256
recording = np.cos(2 * np.pi * 8.0 * phase) + 0.7 * np.cos(2 * np.pi * 32.05 * phase)

leak_20 = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=20)
leak_32 = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=32)
# leak_20.period_waveform coincide con el 8.o orden limpio; leak_32 no

Así que un número de promedios potencia de dos, por conveniente que sea, no es en general la elección óptima: los órdenes interferentes presentes en la máquina deberían fijar N.

4. Muestras por período no enteras

Cuando fs·T es entero, las fronteras de período caen sobre muestras, los bloques se trocean directamente y una señal periódica sin ruido se recupera con precisión de máquina (interpolated es False). Cuando fs·T no es entero las fronteras caen entre muestras; cada bloque se alinea entonces a una malla entera común mediante el retardo fraccionario de banda limitada de fractional_delay, y la forma de onda se recupera dentro de ese error de interpolación (interpolated es True):

fs = 8192.0
period = 1.0 / 31.7                       # fs * period no es entero
t = np.arange(int(40 * period * fs)) / fs
recording = np.cos(2.0 * np.pi * t / period)  # un ciclo por revolución
res = time_synchronous_average(recording, fs, period)
res.interpolated                          # True: alineación por retardo fraccionario
res.samples_per_period                    # muestras enteras de un período

Por defecto el promedio usa tantos períodos completos como contenga el registro; pasa n_averages para fijar el número (para la elección de nodo del §3), y n_harmonics para fijar cuántos armónicos de 1/T abarca la respuesta del peine devuelta.

La alineación de banda limitada comparte su núcleo con la alineación submuestral de respuestas al impulso de la página de señales de prueba, y la forma de onda recuperada, al ser exactamente un período, puede repetirse para reconstruir la parte síncrona de la señal, para restarla o para análisis de órdenes.

Qué herramienta de diagnóstico, y cuándo

El promediado síncrono, el cepstro y el espectro de la envolvente responden preguntas distintas sobre una máquina rotativa, y se componen en lugar de competir:

• El promediado síncrono necesita el período (un pulso de tacómetro o una velocidad de eje fiable) y devuelve la forma de onda misma, una revolución completa: la herramienta cuando quieres ver qué hace un eje o un engranaje concreto por vuelta, diente a diente.
• El cepstro no necesita referencia y detecta cualquier familia periódica del espectro (armónicos, bandas laterales): la herramienta cuando el período es desconocido o varias familias se solapan y hay que separarlas.
• El espectro de la envolvente encuentra periodicidades de la amplitud: la herramienta para los fallos de rodamiento, cuya tasa de repetición modula una resonancia de alta frecuencia en lugar de aparecer como un tono grave.

La composición es práctica habitual: promedia síncronamente primero y resta después; el campo residual es el registro con la parte síncrona eliminada, exactamente sobre lo que conviene ejecutar el espectro de la envolvente cuando las componentes fuertes del engranaje ya no enmascaran la modulación.

Qué cubre esta guía

Cubierto. El modelo revisado de McFadden para el promediado en el dominio del tiempo (Mechanical Systems and Signal Processing, 1987): la descripción por filtro peine del promedio (Ec. 8, magnitud Ec. 9) implementada por comb_filter_response, la ley de reducción de ruido en raíz cuadrada expuesta como noise_reduction_db y amplitude_snr_gain, y la elección de N que sitúa un nodo del peine sobre un orden interferente, siguiendo el propio ejemplo del artículo con el orden 32,05. time_synchronous_average también implementa la alineación de banda limitada por retardo fraccionario usada cuando fs·T no es entero.

No cubierto. El TSA necesita un período conocido; encontrar ese período, o detectar familias periódicas sin conocerlo, es tarea del cepstro, no de esta página. Localizar periodicidades de modulación de amplitud, como los fallos de rodamiento, es el espectro de la envolvente, también fuera de esta página. El artículo de McFadden no es una norma de certificación, así que no hay ninguna cláusula de cumplimiento contra la que comprobar la implementación.

Véase también

• Cepstro y ecos: detección sin referencia de familias de armónicos y bandas laterales, y el espectro de la envolvente.
• Correlación y retardo: la envolvente de Hilbert que sustenta el análisis de envolvente.
• Señales de prueba: el núcleo de retardo fraccionario que usa la alineación de período no entero.
• Referencia de la API: metrology.synchronous_average.

Referencias

• McFadden, P. D. (1987). A revised model for the extraction of periodic waveforms by time domain averaging. Mechanical Systems and Signal Processing 1(1), 83-95. https://doi.org/10.1016/0888-3270(87)90043-2El modelo de filtro peine del promediado síncrono (Ec. 8, magnitud Ec. 9), el modelo revisado de registro finito que produce un resultado exactamente periódico, y la observación de que un orden interferente no armónico se rechaza mejor eligiendo el número de promedios de modo que un nodo del peine caiga sobre él, no con la potencia de dos habitual.