Incertidumbre de medida (GUM y Monte Carlo)

Por José M. Requena Plens · Publicado el 9 jul 2026, actualizado el 25 jul 2026

Normas aplicables: JCGM 100 JCGM 101 ISO 12999

Todo resultado de medida está incompleto sin una declaración de su incertidumbre. La Guía para la expresión de la incertidumbre de medida ofrece dos formas de propagar las incertidumbres de las entradas de un modelo de medida $y = f (x_{1}, \dots, x_{N})$ hacia la salida: la ley de propagación de la incertidumbre (ISO/IEC Guía 98-3:2008, la GUM, cláusula 5) y el método de Monte Carlo (ISO/IEC Guía 98-3-1:2008, Suplemento 1, cláusula 7). La primera combina las incertidumbres típicas analíticamente a través de los coeficientes de sensibilidad; el segundo propaga numéricamente las distribuciones de probabilidad completas. Coinciden para modelos lineales y divergen, de forma reveladora, cuando el modelo es no lineal o las entradas se alejan de la gaussiana.

Desde un modelo de medida compartido y sus estimaciones de entrada e incertidumbres típicas, dos vías paralelas: la ley de propagación de la GUM (coeficientes de sensibilidad, combinación en cuadratura, grados de libertad efectivos de Welch-Satterthwaite, incertidumbre expandida U igual a k por uc) y el método de Monte Carlo (muestrear cada entrada de su PDF, propagar M ensayos, tomar el intervalo de cobertura simétrico en probabilidad al 95 por ciento)

1. La ley de propagación de la incertidumbre (GUM, cláusula 5)

Para un modelo $y = f (x_{1}, \dots, x_{N})$ con entradas no correlacionadas, la incertidumbre típica combinada es la suma en cuadratura de las contribuciones de las entradas $u_{i} (y) = ∣ c_{i} ∣ u (x_{i})$ ponderadas por los coeficientes de sensibilidad $c_{i} = \partial f / \partial x_{i}$ :

u_{c}^{2} (y) = i = 1 \sum N (\frac{\partial f}{\partial x _{i}})^{2} u^{2} (x_{i}) .

combine_uncertainty evalúa las sensibilidades por diferencias centradas, de modo que funciona cualquier modelo invocable, sin derivadas parciales a mano. Las magnitudes de entrada se describen con una Quantity (mejor estimación, incertidumbre típica, PDF, grados de libertad). Las evaluaciones de Tipo B a partir de una semianchura $a$ se construyen con rectangular ( $a / 3$ ), triangular ( $a / 6$ ) y u_shaped ( $a / 2$ ) (GUM, cláusula 4.3).

from phonometry import metrology

# Nivel ponderado A: una lectura más correcciones de calibración, de
# instrumento y de posición de media cero. El modelo es su suma.
quantities = [
    metrology.Quantity(74.0, 0.0, name="Reading"),
    metrology.rectangular(0.0, 0.20, name="Calibration"),
    metrology.rectangular(0.0, 0.30, name="Instrument"),
    metrology.Quantity(0.0, 0.35, dof=9, name="Position (Type A)"),
]
result = metrology.combine_uncertainty(lambda a, b, c, d: a + b + c + d, quantities)

print(round(result.value, 2))                 # 74.0
print(round(result.combined_uncertainty, 3))  # 0.407 dB
print(result.contributions.round(3))          # [0.    0.115 0.173 0.35 ]
print(round(result.effective_dof, 1))         # 16.5

k, U = result.expanded(0.95)
print(round(k, 2), round(U, 2))               # 2.11 0.86  ->  Y = 74.0 ± 0.9 dB

La incertidumbre expandida $U = k u_{c}$ escala la incertidumbre combinada por un factor de cobertura $k = t_{p} (ν_{ef})$ de la distribución $t$ con los grados de libertad efectivos dados por la fórmula de Welch–Satterthwaite (Anexo G.4). Aquí la única entrada de Tipo A (9 grados de libertad) hace bajar $ν_{ef}$ hasta unos 16, de modo que $k = 2, 11$ en lugar del 1,96 de gran muestra. Las entradas correlacionadas se tratan pasando una matriz de correlación; una suma totalmente correlacionada se suma entonces linealmente en vez de en cuadratura. La correlación es el error silencioso clásico de un balance: dos correcciones trazables al mismo calibrador, o dos canales que comparten un instrumento, no se promedian como lo harían términos independientes, y combinarlas en cuadratura como si no estuvieran correlacionadas suele subestimar $u_{c}$ (con sensibilidades de signo opuesto el sesgo puede apuntar al revés). Como la GUM define Welch–Satterthwaite solo para entradas independientes, un presupuesto correlacionado con grados de libertad finitos en sus entradas no tiene grados de libertad efectivos en absoluto: effective_dof es NaN, se emite un aviso y expanded() exige un coverage_factor_override explícito (p. ej. $k = 2$ ) en lugar de inventarse uno. Solo cuando todas las entradas son de Tipo B con grados de libertad infinitos un presupuesto correlacionado conserva $ν_{ef} = \infty$ y usa el factor de cobertura de la distribución normal. Esta cadena reproduce de principio a fin los ejemplos resueltos de la propia GUM: el presupuesto del calibre del anexo H.1 ( $u_{c} = 31, 7$ nm, $U_{99} = 92$ nm frente a los 32/93 impresos) y la medida correlacionada de resistencia del anexo H.2 ( $u_{c} (R) = 0, 071 Ω$ , $u_{c} (X) = 0, 295 Ω$ , $u_{c} (Z) = 0, 236 Ω$ de la Tabla H.3).

2. El método de Monte Carlo (Suplemento 1)

Cuando el modelo es no lineal o las entradas son marcadamente no gaussianas, la hipótesis gaussiana de la GUM para la salida puede ser inexacta. monte_carlo en cambio muestrea cada entrada de su PDF, evalúa el modelo sobre todos los ensayos y reporta la media, la desviación típica y el intervalo de cobertura simétrico en probabilidad (igual probabilidad en cada cola, cláusula 7.7). Las entradas se muestrean de forma independiente; la vía gaussiana multivariante del Suplemento para magnitudes no independientes (6.4.8) no está implementada, así que los presupuestos correlacionados corresponden a combine_uncertainty. El número de ensayos es fijo (sin el procedimiento adaptativo de 7.9, mínimo 2 ensayos) y el intervalo es el simétrico, no el intervalo más corto de 5.3.4.

from phonometry import metrology

quantities = [
    metrology.Quantity(74.0, 0.0, name="Reading"),
    metrology.rectangular(0.0, 0.20, name="Calibration"),
    metrology.rectangular(0.0, 0.30, name="Instrument"),
    metrology.Quantity(0.0, 0.35, dof=9, name="Position (Type A)"),
]
mc = metrology.monte_carlo(lambda a, b, c, d: a + b + c + d, quantities,
                    trials=1_000_000, coverage=0.95, seed=1)

print(round(mc.value, 2))                 # 74.0
print(round(mc.standard_uncertainty, 3))  # 0.407 dB  (coincide con la uc de arriba)
print([round(x, 2) for x in mc.interval]) # [73.2, 74.8]

Para este modelo casi lineal la incertidumbre típica de Monte Carlo reproduce el $u_{c}$ de la GUM con tres cifras y el intervalo al 95 % coincide con $Y \pm U$ . Ambos métodos se validan frente a los ejemplos resueltos de las propias Guías: el modelo aditivo de cuatro entradas unidad da $u_{c} = 2, 0$ (Suplemento 1, cláusula 9.2), y cuatro entradas rectangulares dan un intervalo de Monte Carlo de $[- 3, 88, 3, 88]$ (Suplemento 1, cláusula 9.2.3).

¿Cuándo compensa el coste extra del método de Monte Carlo? Siempre que falle alguna de las dos simplificaciones de la GUM: el modelo se sustituye por su desarrollo de primer orden, y la distribución de salida por una gaussiana (o una $t$ ). Ambas se cumplen bien en el modelo aditivo de niveles de arriba, y por eso los dos métodos coinciden con tres cifras. Dejan de cumplirse cuando el modelo es fuertemente no lineal en el rango de las incertidumbres de entrada (conversiones energía-nivel con entradas anchas, productos y cocientes con incertidumbres relativas grandes), cuando una sola entrada no gaussiana domina el balance (un término rectangular grande hace la salida casi rectangular, y un intervalo gaussiano $\pm 2 u_{c}$ la sobrecubre), o cuando la salida queda cerca de un límite físico (un coeficiente de absorción cerca de 0 o 1, una corrección de nivel que no puede cruzar el cero), donde el intervalo de cobertura verdadero es asimétrico y ninguna afirmación $Y \pm U$ puede representarlo. En esos regímenes el intervalo de Monte Carlo es la referencia: el propio Suplemento 1 (cláusula 8) considera el marco de la GUM validado precisamente cuando coincide con el resultado de Monte Carlo, y superado por este cuando no coincide.

Dos paneles para el ejemplo del nivel ponderado A. Izquierda: el balance de incertidumbre de la GUM, un diagrama de barras horizontales de la contribución de cada entrada a la incertidumbre combinada con una línea discontinua en uc de 0,407 dB. Derecha: el histograma de salida de Monte Carlo superpuesto con la gaussiana de la GUM y el intervalo de cobertura del 95 por ciento sombreado; el título indica Y igual a 74,00 dB, U igual a 0,86 dB, k igual a 2,11

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import metrology

quantities = [
    metrology.Quantity(74.0, 0.0, name="Reading"),
    metrology.rectangular(0.0, 0.20, name="Calibration"),
    metrology.rectangular(0.0, 0.30, name="Instrument"),
    metrology.Quantity(0.0, 0.35, dof=9, name="Position (Type A)"),
]
model = lambda a, b, c, d: a + b + c + d
result = metrology.combine_uncertainty(model, quantities)
mc = metrology.monte_carlo(model, quantities, trials=1_000_000, coverage=0.95, seed=1,
                    keep_samples=True)
k, U = result.expanded(0.95)

# En una línea por panel — las barras del balance, y el histograma de Monte
# Carlo con su intervalo (la figura del repositorio superpone además la
# gaussiana del GUM):
result.plot(language="es")
mc.plot(language="es")
plt.show()

# A mano, ambos paneles — las barras del balance y la distribución de salida de Monte Carlo:
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12.5, 5.4))
ax1.barh(result.names, result.contributions)
ax1.axvline(result.combined_uncertainty, ls="--",
            label=f"$u_c$ = {result.combined_uncertainty:.3f} dB")
ax1.invert_yaxis(); ax1.legend()

rng = np.random.default_rng(1)
samples = model(np.full(200_000, 74.0),
                rng.uniform(-0.20, 0.20, 200_000),
                rng.uniform(-0.30, 0.30, 200_000),
                rng.normal(0.0, 0.35, 200_000))
ax2.hist(samples, bins=120, density=True, alpha=0.35, label="Monte Carlo")
ax2.axvspan(*mc.interval, alpha=0.12, label="95 % coverage interval")
ax2.set_title(f"Y = {result.value:.2f} dB,  U = {U:.2f} dB (k = {k:.2f})")
ax2.legend()
plt.show()

El UncertaintyResult lleva el value, la combined_uncertainty, las sensitivities, las contributions por entrada y los effective_dof; su .plot() dibuja el balance y .expanded(coverage) devuelve el par $(k, U)$ . El MonteCarloResult lleva el value, la standard_uncertainty, el interval de cobertura y su coverage; con keep_samples=True conserva además las muestras de salida (samples), y su .plot() dibuja el histograma de salida con el intervalo de cobertura marcado (el panel derecho de arriba). La incertidumbre de acústica de la edificación de ISO 12999-1, que combina términos de reproducibilidad para una magnitud de número único, es un balance aparte, específico de ese dominio.

Un presupuesto es tan honesto como el registro que hay detrás: toda entrada promediada supone estacionariedad, y Calificación de datos trae los tests de Bendat y Piersol que lo comprueban antes de empezar la propagación.

Dónde consume la librería esta maquinaria

Las páginas de dominio llevan sus propias cláusulas de incertidumbre prescritas por norma, y cada una es una instancia de la suma de la cláusula 5 que esta página implementa en forma general; usa esta página siempre que tu modelo de medición no sea uno de esos casos normalizados:

Calibración. La tolerancia de clase del calibrador y la cota de deriva pre/post de Calibración son entradas de tipo B de libro: propágalas (Quantity(..., "rectangular")) a través del modelo del nivel en lugar de citar la tolerancia sola.
Niveles ambientales. La incertidumbre combinada de ISO 1996-2 de la página de Niveles es la Fórmula (2) de esa norma: la misma suma en cuadratura con los coeficientes de sensibilidad propios de la norma.
Acústica de la edificación. Las incertidumbres por banda y de número único de las mediciones de aislamiento in situ aplican los términos de reproducibilidad tabulados de ISO 12999-1, un balance normalizado para un modelo concreto.
Absorción. La página de materiales lleva la incertidumbre de absorción de ISO 12999-2, la misma construcción para el método de cámara reverberante.
Exposición laboral. La incertidumbre de ISO 9612 de las mediciones laborales presupuesta las contribuciones de muestreo, instrumento y posición exactamente de esta manera.

Véase también

Calificación de datos: las comprobaciones de estacionariedad que toda entrada promediada asume en silencio.
Calibración: las entradas de tolerancia y deriva de toda cadena calibrada.
Referencia de la API: metrology.uncertainty.

Referencias

International Organization for Standardization. (2020). Acoustics — Determination and application of measurement uncertainties in building acoustics — Part 1: Sound insulation (ISO 12999-1:2020). El balance de reproducibilidad específico de la acústica de la edificación para magnitudes de número único, complemento aparte de la maquinaria general de la GUM.
Joint Committee for Guides in Metrology. (2008). Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement (JCGM 100:2008, la GUM). BIPM. https://doi.org/10.59161/JCGM100-2008ELa ley de propagación de la incertidumbre (cláusula 5), la evaluación de Tipo B (cláusula 4.3), la incertidumbre expandida y el factor de cobertura (cláusula 6, Anexo G), los grados de libertad efectivos de Welch–Satterthwaite (Anexo G.4) y los ejemplos resueltos del Anexo H que la sección 1 implementa y reproduce. Publicada también como ISO/IEC Guía 98-3:2008, Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995). El PDF enlazado es la descarga gratuita.
Joint Committee for Guides in Metrology. (2008). Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" — Propagation of distributions using a Monte Carlo method (JCGM 101:2008). BIPM. https://doi.org/10.59161/JCGM101-2008La propagación de Monte Carlo de la sección 2, su intervalo de cobertura simétrico en probabilidad (cláusula 7) y la validación del marco de la GUM frente al resultado de Monte Carlo de la cláusula 8. Publicada también como ISO/IEC Guía 98-3-1:2008. El PDF enlazado es la descarga gratuita.

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