Predicción del tiempo de reverberación (Sabine, Arau)

El tiempo de reverberación $T$, el tiempo que tarda el nivel de energía sonora en caer 60 dB tras detenerse la fuente, se predice aquí a partir del volumen de una sala, sus áreas de contorno y los coeficientes de absorción de sus superficies, mediante las fórmulas clásicas de la acústica estadística. Es la contraparte de diseño del tiempo de reverberación medido de Acústica de salas (ISO 3382) y complementa el modelo de EN 12354-6 de Absorción acústica en recintos, que especializa la misma física a la cláusula 4 de esa norma.

phonometry ofrece cinco modelos, ordenados según cuánto tienen en cuenta una distribución de absorción no uniforme:

Modelo	Término de absorción en $T=kV/(\text{teˊrmino}+4mV)$	Idóneo para
Sabine	$A={\sum }_i{S}_i{\alpha }_i$	absorción baja y uniforme
Eyring (Norris-Eyring)	$-S\ln (1-\bar{\alpha })$	absorción fuerte y uniforme
Millington-Sette	$-{\sum }_i{S}_i\ln (1-{\alpha }_i)$	unas pocas superficies muy absorbentes
Fitzroy	media aritmética ponderada por área de tres tiempos de Eyring axiales	salas anisótropas
Arau-Puchades	media geométrica ponderada por área de los mismos tres	salas anisótropas (recomendado por el autor)

con la constante de Sabine $k=24\ln 10/c_0$ (así $k=0,161$ para $c_0=343m/s$) y el término de absorción del aire $4mV$.

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import environmental, room

# Una sala de 10 x 7 x 3.5 m: paredes frontales duras, paredes laterales con
# tratamiento ligero y un par suelo/techo muy absorbente (moqueta y techo acústico).
bands = [125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0]
alpha_x = [0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10, 0.10]
alpha_y = [0.12, 0.14, 0.16, 0.18, 0.20, 0.20]
alpha_z = [0.30, 0.50, 0.65, 0.78, 0.82, 0.80]
m = environmental.air_attenuation_m(bands, 20.0, 50.0)   # aire a 20 C / 50 % HR
res = room.reverberation_time_models((10.0, 7.0, 3.5),
                                     (alpha_x, alpha_y, alpha_z),
                                     air_attenuation=m, frequencies=bands)
res.plot(language="es")   # las cinco curvas de modelo por banda
plt.show()

1. Sabine, Eyring y Millington-Sette

Los tres modelos estadísticos toman el volumen de la sala y una lista de superficies (área, coeficiente_de_absorción). Sabine solo es exacto para absorción baja y uniforme; Eyring sustituye el área de absorción por $-S\ln (1-\bar{\alpha })$ y es correcto donde Sabine sobrestima $T$; Millington-Sette suma el término de Eyring superficie a superficie, de modo que una única superficie perfectamente absorbente lleva $T$ a cero.

$$T_{\text{Sab}}=\frac{kV}{{\sum }_i{S}_i{\alpha }_i},T_{\text{Eyr}}=\frac{kV}{-S\ln (1-\bar{\alpha })},T_{\text{Mil}}=\frac{kV}{-{\sum }_i{S}_i\ln (1-{\alpha }_i)}.$$

from phonometry import room

# Sala rectangular 8 x 5 x 3 m (V = 120 m3, S = 158 m2), alpha uniforme = 0,2.
surfaces = [(40.0, 0.2), (40.0, 0.2), (24.0, 0.2),
            (24.0, 0.2), (15.0, 0.2), (15.0, 0.2)]
print(round(room.sabine_reverberation_time(120.0, surfaces), 3))            # 0.612 s
print(round(room.eyring_reverberation_time(120.0, surfaces), 3))            # 0.548 s
print(round(room.millington_sette_reverberation_time(120.0, surfaces), 3))  # 0.548 s

Para una distribución uniforme, Eyring y Millington-Sette coinciden, y ambos quedan por debajo de Sabine; la sobrestimación de Sabine con absorción alta es la razón de ser de Eyring. Cuando $\alpha \to 0$, Eyring se reduce a Sabine. La absorción del aire entra en todos los modelos a través del coeficiente de atenuación de potencia $m$ (en neper por metro, de la absorción atmosférica de ISO 9613-1):

from phonometry import environmental, room

m = environmental.air_attenuation_m(2000.0, temperature=20.0, relative_humidity=50.0)
surfaces = [(40.0, 0.3), (40.0, 0.3), (24.0, 0.3),
            (24.0, 0.3), (15.0, 0.3), (15.0, 0.3)]
print(round(room.eyring_reverberation_time(120.0, surfaces, air_attenuation=m), 3))

Todos los modelos estadísticos suponen además un campo difuso, y las bajas frecuencias son las primeras en romper esa suposición: por debajo de la frecuencia de Schroeder la sala responde como un conjunto de modos discretos, no como una mezcla reverberante. La simulación FDTD 2D siguiente excita una sala rígida de 5 m por 3,5 m exactamente en su modo (2,1) y después entre dos modos; el patrón de onda estacionaria que se forma en resonancia es lo que Sabine y Eyring no pueden ver.

Simulación FDTD 2D de una sala rígida de 5 por 3,5 metros excitada en el modo (2,1) de 84 Hz y en una frecuencia fuera de modo, lado a lado. En resonancia un patrón de onda estacionaria con líneas nodales fijas crece hasta dominar el mapa de presión RMS; fuera de resonancia la respuesta forzada se mantiene débil y nunca se organiza en esa estructura nodal.

Descargar la animación (WebM)

Simulación FDTD 2D de una sala rígida de 5 por 3,5 metros excitada en el modo (2,1) de 84 Hz y en una frecuencia fuera de modo, lado a lado. En resonancia un patrón de onda estacionaria con líneas nodales fijas crece hasta dominar el mapa de presión RMS; fuera de resonancia la respuesta forzada se mantiene débil y nunca se organiza en esa estructura nodal.

Descargar la animación (WebM)

2. Fitzroy y Arau-Puchades (salas anisótropas)

Cuando la absorción se concentra en un eje (un suelo enmoquetado y un techo acústico frente a paredes por lo demás duras), una única media $\bar{\alpha }$ tergiversa el campo. Fitzroy y Arau-Puchades dividen una sala rectangular en los tres pares de paredes opuestas y combinan los tiempos de reverberación de Eyring axiales $T_i$ (cada uno con la superficie total $S$ y la absorción media ${\bar{\alpha }}_i$ del par de paredes perpendicular al eje $i$):

$$T_{\text{Fitz}}=\sum _i\frac{S_i}{S}{T}_i(\text{aritmeˊtica}),T_{\text{Arau}}=\prod _i{T}_i^{S_i/S}(\text{geomeˊtrica}).$$

from phonometry import room

# Sala 8 x 5 x 3 m, par de paredes x absorbente (alpha 0,5), duro el resto (0,1).
dims = (8.0, 5.0, 3.0)
absorption = (0.5, 0.1, 0.1)   # alpha medio de los pares de paredes (x, y, z)
print(round(room.arau_puchades_reverberation_time(dims, absorption), 3))  # 0.812 s
print(round(room.fitzroy_reverberation_time(dims, absorption), 3))        # 0.974 s

Por la desigualdad de las medias aritmética y geométrica, el tiempo de Arau-Puchades nunca supera al de Fitzroy; se sabe que Fitzroy sobrepredice cuando un par de paredes es muy reflectante, por lo que Arau-Puchades recomienda la media geométrica. Ambos se reducen exactamente a Eyring para una distribución de absorción uniforme.

3. Comparación de los cinco modelos por banda

reverberation_time_models construye las seis superficies de contorno de una sala rectangular a partir de sus dimensiones y las tres absorciones medias de los pares de paredes, evalúa los cinco modelos en igualdad de condiciones y devuelve un ReverberationModelResult cuyo .plot() dibuja la figura anterior.

from phonometry import room

# Sala 10 x 7 x 3,5 m, suelo/techo absorbentes frente a paredes más duras.
res = room.reverberation_time_models(
    (10.0, 7.0, 3.5),
    (
        [0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10, 0.10],   # par x: paredes de fondo duras
        [0.12, 0.14, 0.16, 0.18, 0.20, 0.20],   # par y: paredes poco tratadas
        [0.30, 0.50, 0.65, 0.78, 0.82, 0.80],   # par z: moqueta + techo acústico
    ),
    frequencies=[125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0],
)
print(res.sabine.round(2))         # [0.74 0.47 0.37 0.31 0.3  0.3 ]
print(res.arau_puchades.round(2))  # [0.79 0.51 0.38 0.29 0.26 0.27]
print(res.fitzroy.round(2))        # [1.02 0.79 0.66 0.57 0.51 0.51]
res.plot()   # las curvas de los cinco modelos por banda (la figura de arriba)

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import environmental, room

m = environmental.air_attenuation_m([125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0], 20.0, 50.0)
room.reverberation_time_models(
    (10.0, 7.0, 3.5),
    (
        [0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10, 0.10],
        [0.12, 0.14, 0.16, 0.18, 0.20, 0.20],
        [0.30, 0.50, 0.65, 0.78, 0.82, 0.80],
    ),
    air_attenuation=m,
    frequencies=[125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0],
).plot(language="es")
plt.show()

4. Elegir un modelo, y cuándo fallan todos

Las cinco fórmulas no compiten en un único eje de precisión; cada una tiene su dominio de validez:

• Sabine es la herramienta para salas vivas con absorción baja y razonablemente repartida ($\bar{\alpha }$ media hasta aproximadamente 0,2): aulas, salas de actos, cámaras reverberantes. Es además la convención integrada en la práctica de medida, porque el coeficiente de absorción de ISO 354 se define mediante la fórmula de Sabine, así que devolver datos de cámara reverberante a Sabine es autoconsistente incluso donde la fórmula se tensa. Su defecto estructural aparece con absorción alta: con $\alpha =1$ en todas las superficies (una abertura en todas las direcciones) sigue prediciendo un tiempo de reverberación finito.
• Eyring es la elección para salas tratadas de forma uniforme con absorción considerable: estudios, oficinas tratadas, salas de escucha. Alcanza $T=0$ con absorción total, y su corrección sobre Sabine crece con $\bar{\alpha }$ (en torno a un 10 % más corto con $\bar{\alpha }=0,2$, un 30 % con 0,5).
• Millington-Sette maneja una mezcla de superficies muy absorbentes y duras mejor que una única media, pero está pensado para coeficientes medidos por debajo de la unidad: una sola superficie con ${\alpha }_i=1$ lleva toda la predicción a cero. Los coeficientes de cámara reverberante iguales o superiores a 1,0 (un resultado documentado de ISO 354, ver la sección de absorción de Acústica de salas) quedan fuera del dominio del término logarítmico, así que phonometry aplica a cada fórmula su propio dominio: Sabine acepta esos coeficientes tal cual (su $A={\sum }_i{S}_i{\alpha }_i$ lineal sigue siendo finita); Eyring los acepta siempre que la media que entra en $\ln (1-\bar{\alpha })$ quede por debajo de 1 (Fitzroy y Arau-Puchades toman como entrada las propias medias de cada par de paredes, así que cada una debe estar ya por debajo de 1); Millington-Sette rechaza cualquier coeficiente igual o superior a 1. Para usar Millington de todos modos, llevar un coeficiente así a $[0,1)$ es una decisión de modelado que la fórmula no prescribe: el ajuste que elijas (es habitual limitarlo justo por debajo de 1) debe registrarse junto a la predicción.
• Fitzroy y Arau-Puchades apuntan a salas rectangulares con la absorción concentrada en un eje, la oficina o vivienda típica con suelo y techo blandos entre paredes duras. La media geométrica de Arau templa la conocida sobrepredicción de Fitzroy cuando un par de paredes es muy reflectante.

Cuándo fallan todas las fórmulas. Las cinco heredan la misma hipótesis: un campo difuso, con sonido llegando por igual desde todas las direcciones en todos los puntos, que permanece difuso mientras decae. Las rupturas habituales:

• Por debajo de la frecuencia de Schroeder la banda contiene un puñado de modos discretos (la animación del §1) y un tiempo de reverberación estadístico ni siquiera está definido; cada modo decae a su propio ritmo, fijado por las impedancias de las paredes que realmente toca.
• Los volúmenes acoplados (una sala con la caja escénica abierta, dos recintos a través de una puerta) producen decaimientos de doble pendiente; no existe un único $T$, y los T20 y T30 medidos discrepan (el diagnóstico de curvatura de Acústica de salas).
• Las salas desproporcionadas (pasillos, salas bajas y extensas) con la absorción en un solo par de superficies mantienen un campo rasante paralelo a las superficies duras que el absorbente apenas toca; el tiempo medido puede llegar a duplicar cualquier predicción estadística, la experiencia práctica recogida en EN 12354-6 (ver Absorción acústica en recintos).
• Las geometrías focalizantes (cúpulas, paredes traseras curvas) concentran la energía tardía en lugar de mezclarla, produciendo decaimientos dependientes de la posición que ninguna fórmula de un solo número puede representar.

Los objetos difusores restauran la mezcla que los modelos suponen: una sala amueblada sigue la predicción estadística claramente mejor que la misma sala vacía, más allá de lo que explica el área de absorción propia del mobiliario. En la práctica, indica una banda de predicciones (Sabine y Eyring, o Fitzroy y Arau-Puchades en los casos axiales) en lugar de un único valor; donde los modelos se separan, la sala está diciendo que su campo no es difuso.

5. Informe de predicción (.report())

ReverberationModelResult.report(path) genera una ficha PDF de una página de la predicción: una línea de base que la marca como predicción en fase de diseño por los cinco modelos de acústica estadística, un bloque de cabecera de metadatos opcional (cliente, sala, descripción, volumen de la sala, superficie total, condiciones climáticas), una tabla por bandas con una columna de tiempo de reverberación por modelo junto a la gráfica de comparación de modelos (.plot()), y el tiempo de reverberación de frecuencias medias destacado a partir de Arau-Puchades (el modelo recomendado para una distribución de absorción no uniforme) con la dispersión entre modelos al lado. Es una predicción, no una medición: los cinco modelos acotan el tiempo de reverberación que probablemente se produzca, por lo que no se emite ningún veredicto CUMPLE/NO CUMPLE. Un tiempo de reverberación objetivo indicado mediante el campo requirement de los metadatos se imprime solo como línea de referencia, ya que el tiempo de reverberación de una sala es un intervalo objetivo y no una magnitud en la que simplemente cuanto más alto o más bajo, mejor. Usa el mismo contenedor ReportMetadata y el mismo motor de renderizado que las demás fichas; pasar metadata=None produce una ficha de predicción básica. El renderizado necesita reportlab (pip install phonometry[report]); solo se admite engine="reportlab". La ficha se renderiza en inglés por defecto; pasa language="es" para una ficha en español (cadenas fijas traducidas y separador decimal de coma).

from phonometry import reverberation_time_models, ReportMetadata

result = reverberation_time_models(
    (8.0, 5.0, 3.0),                       # sala tipo caja, un par de paredes tratado
    ([0.10, 0.15, 0.30, 0.45, 0.55, 0.60], # par de paredes tratado, por banda de octava
     [0.08, 0.10, 0.12, 0.15, 0.18, 0.20], # paredes laterales
     [0.05, 0.08, 0.10, 0.12, 0.15, 0.18]),# suelo/techo
    frequencies=[125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0],
)
result.report(
    "reverberation_fiche.pdf",
    metadata=ReportMetadata(
        specimen="Aula, una pared revestida con un absorbente de banda ancha",
        test_room="Aula C1",
        temperature=20.0, relative_humidity=50.0,
        laboratory="Laboratorio de referencia Phonometry",
        requirement=0.8,          # impreso como línea de referencia, sin veredicto
    ),
    language="es",
)                                 # la tabla de los cinco modelos + el T_mid destacado

La ficha de ejemplo se regenera con make reports y se mantiene renderizada en el repositorio; haz clic en la vista previa para abrir el PDF.

Ficha de predicción del tiempo de reverberación de una página: una cabecera de metadatos (cliente, sala, descripción, volumen de la sala, superficie total, temperatura, humedad y presión), la tabla por bandas de octava con una columna de tiempo de reverberación por modelo (Sabine, Eyring, Millington-Sette, Fitzroy y Arau-Puchades de 125 Hz a 4 kHz) junto a la gráfica de comparación de los cinco modelos, el tiempo de reverberación de frecuencias medias destacado a partir de Arau-Puchades con la dispersión entre modelos al lado, y una línea de referencia del tiempo de reverberación objetivo (sin veredicto CUMPLE/NO CUMPLE).

Descargar el informe (PDF)

Ficha de predicción del tiempo de reverberación (ReverberationModelResult.report), la tabla de los cinco modelos y el T_mid destacado.

Qué cubre esta guía

Cubierto. Las fórmulas clásicas del tiempo de reverberación de la acústica estadística de Sabine (1922), Eyring (1930), Millington-Sette (1932), Fitzroy (1959) y Arau-Puchades (1988), cada una con su propia comprobación de dominio de validez y el término de absorción del aire derivado de la ISO 9613-1, mediante room.sabine_reverberation_time, room.eyring_reverberation_time, room.millington_sette_reverberation_time, room.fitzroy_reverberation_time, room.arau_puchades_reverberation_time y la función combinada room.reverberation_time_models.

No cubierto. El propio modelo del apartado 4 de la EN 12354-6 (un cálculo de Sabine con un término de objetos añadido y el término de aire de la ISO 9613-1) es un cálculo distinto, definido por esa norma, que vive en la guía de absorción acústica en recintos, no aquí. Ninguna de las cinco fórmulas modela volúmenes acoplados, salas desproporcionadas o geometrías focalizadoras: sus decaimientos de doble pendiente o dependientes de la posición quedan fuera de toda hipótesis de campo difuso (apartado 4). Para un decaimiento medido que muestre esos síntomas, usa el diagnóstico de curvatura T20/T30 de la guía de Acústica de salas en lugar de una predicción estadística.

Véase también

• Referencia de la API: room.reverberation_prediction y environmental.air_absorption.

Referencias

• Arau-Puchades, H. (1988). An improved reverberation formula. Acustica, 65(4), 163-180. La combinación por media geométrica del §2 (su Fórmula 18). La ficha enlazada es la página del editor en Ingenta.
• Carrión Isbert, A. (1998). Diseño acústico de espacios arquitectónicos. Edicions UPC. Un tratamiento en español de los modelos de reverberación y su uso en el diseño de salas. ISBN 978-84-8301-252-9.
• European Committee for Standardization. (2003). Building acoustics — Estimation of acoustic performance of buildings from the performance of elements — Part 6: Sound absorption in enclosed spaces (EN 12354-6:2003). Las fórmulas clásicas son anteriores al mundo normativo y entran en él a través de esta norma, cuyo modelo de la cláusula 4 es un cálculo de Sabine con términos de objetos y de aire; ver la guía de absorción acústica en recintos. La ficha de catálogo enlazada es la página de BSI Knowledge de BS EN 12354-6:2003.
• Everest, F. A. (2001). Master handbook of acoustics (4.ª ed.). McGraw-Hill. El ejemplo resuelto de la Fig. 7-22 que reproduce la batería de conformidad: el Ejemplo 1, una sala sin tratar de 23,3 × 16 × 10 ft, cuyos seis tiempos de reverberación de Sabine impresos reproduce la implementación SI con ≤ 0,02 s, reforzado por valores en forma cerrada calculados a mano y las identidades entre modelos (todo modelo colapsa a Eyring con absorción uniforme; Eyring colapsa a Sabine cuando la absorción tiende a cero), que trasladan transitivamente ese anclaje de datos reales a toda la familia. ISBN 978-0-07-136097-5.
• Eyring, C. F. (1930). Reverberation time in "dead" rooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 1(2A), 217-241. https://doi.org/10.1121/1.1915175La derivación por recorrido libre medio que sustenta el término −S ln(1−ᾱ) del §1.
• Fitzroy, D. (1959). Reverberation formula which seems to be more accurate with nonuniform distribution of absorption. The Journal of the Acoustical Society of America, 31(7), 893-897. https://doi.org/10.1121/1.1907814La división axial en tres decaimientos por pares de paredes del §2.
• International Organization for Standardization. (1993). Acoustics — Attenuation of sound during propagation outdoors — Part 1: Calculation of the absorption of sound by the atmosphere (ISO 9613-1:1993). El coeficiente de absorción atmosférica que sustenta el término de aire 4mV; ver la guía de propagación en exteriores.
• International Organization for Standardization. (2003). Acoustics — Measurement of sound absorption in a reverberation room (ISO 354:2003). Define el coeficiente de absorción medido mediante la fórmula de Sabine, el argumento de autoconsistencia del §4.
• Kuttruff, H. (2016). Room acoustics (6.ª ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9781315372150La teoría del campo difuso, sus límites y la valoración moderna de las fórmulas clásicas que sustentan el §4.
• Millington, G. (1932). A modified formula for reverberation. The Journal of the Acoustical Society of America, 4(1), 69-82. https://doi.org/10.1121/1.1915588El término logarítmico de absorción por superficie del §1.
• Sabine, W. C. (1922). Collected papers on acoustics. Harvard University Press. Los experimentos originales de reverberación y la ley T = 0,161 V/A del §1. La copia enlazada es el escaneo libre de Internet Archive.