Vibración

Esta página reúne la teoría de la vibración en humanos: las ponderaciones frecuenciales de ISO 8041-1, las métricas de cuerpo entero y mano-brazo de ISO 2631-1 e ISO 5349, los valores de acción y límite de la Directiva 2002/44/CE, y el modelo espinal de choques múltiples de ISO 2631-5. Después pasa de las personas a las estructuras: las movilidades puntuales que gobiernan cuánta potencia inyecta una fuerza puntual en una placa, una viga o una barra, y la eficiencia de radiación que devuelve esa vibración a sonido aéreo, la pareja sobre la que se apoyan EN 12354-5 e ISO 7849. Forma parte de la referencia de teoría.

Vibración en humanos (ISO 8041-1, ISO 2631-1/2, ISO 5349-1/2, Directiva 2002/44/CE)

La respuesta humana a la vibración depende de la frecuencia, el eje y la parte del cuerpo, así que la aceleración se filtra con las ponderaciones frecuenciales de ISO 8041-1:2017 antes de cualquier métrica. Cada ponderación es la cascada analógica $H(s)=H_{\mathrm{h}}(s)H_{\mathrm{l}}(s)H_{\mathrm{t}}(s)H_{\mathrm{s}}(s)$ (Fórmula 5): etapas Butterworth de dos polos de limitación de banda paso alto y paso bajo (Fórmulas 1/2), una transición aceleración–velocidad (Fórmula 3, que porta la única ganancia no unitaria, $K=1,024$ para Wb) y un escalón ascendente (Fórmula 4), con las frecuencias de esquina y los factores Q de la Tabla 3; una esquina en infinito colapsa su etapa a la unidad (NOTAs de la Tabla 3). Una sola cascada con nueve juegos de parámetros produce, por tanto, toda la familia, y elegir el miembro es la primera decisión que obliga a tomar una medida de vibración:

Ponderación	Qué pondera	Eje o punto de contacto	Norma	Rango nominal	Alimenta
Wk	Cuerpo entero vertical	z, superficie del asiento o suelo	ISO 2631-1	0,5–80 Hz	$a_{\mathrm{w}}$, VDV, $A(8)$
Wd	Cuerpo entero horizontal	x e y, superficie del asiento o suelo	ISO 2631-1	0,5–80 Hz	$a_{\mathrm{w}}$, VDV, $A(8)$
Wc	Respaldo	x, respaldo	ISO 2631-1	0,5–80 Hz	$a_{\mathrm{w}}$ (confort)
We	Rotacional	rx, ry, rz (por rad)	ISO 2631-1	0,5–80 Hz	$a_{\mathrm{w}}$ (confort)
Wj	Tumbado, bajo la cabeza	z	ISO 2631-1	0,5–80 Hz	$a_{\mathrm{w}}$ (confort)
Wm	Ocupantes de edificios	todos los ejes	ISO 2631-2	1–80 Hz	$a_{\mathrm{w}}$
Wb	Confort de marcha ferroviaria	z	ISO 2631-4	0,5–80 Hz	$a_{\mathrm{w}}$
Wf	Mareo	z	ISO 2631-1, apartado 9	0,1–0,5 Hz	MSDV
Wh	Transmitida a la mano	los tres ejes de la mano	ISO 5349-1	8–1000 Hz	$a_{\mathrm{hv}}$, $A(8)$

Los rangos nominales son las columnas de la Tabla 1 de ISO 8041-1, no las esquinas de limitación de banda de la Tabla 3: Wh está limitada en banda a 6,31 Hz y 1258,9 Hz pero tabulada de 8 Hz a 1 kHz, y el juego de cuerpo entero está limitado en banda a 0,4 Hz y 100 Hz y tabulado de 0,5 Hz a 80 Hz. Qué ponderación va en qué eje y con qué factor multiplicador es una cuestión de postura, que responde el mapa de posturas de las Tablas 1 y 2 de ISO 2631-1 reproducido en la guía de vibración en humanos. Las nueve están implementadas desde la cascada exacta (el filtro se aplica como la respuesta compleja exacta vía FFT, magnitud y fase, no como una aproximación digital deformada por la bilineal) y las tablas de objetivos de diseño del Anexo B de ISO 8041-1 (B.1–B.9) se reproducen al 0,1 %.

La familia que produce la única cascada, un juego de parámetros de la Tabla 3 por curva. Wk, la ponderación vertical de cuerpo entero que más se cita, es la curva de meseta con máximo cerca de 6 Hz y 21 dB por debajo a 100 Hz; Wd tiene su máximo dos octavas y media más abajo, porque el cuerpo es mucho más flexible en horizontal a baja frecuencia; Wf queda otro orden de magnitud más abajo en frecuencia; y Wh se extiende tres décadas por encima, que es la razón por la que los tres juegos se tabulan en las tres bandas distintas dibujadas sobre las curvas.

Obtener bien la aceleración

Nada de esto sobrevive a un transductor mal colocado. La vibración de cuerpo entero se mide en la interfaz por la que entra en el cuerpo (ISO 2631-1, 5.3.1): en una persona sentada, la superficie del asiento bajo las tuberosidades isquiáticas, el respaldo en su zona principal de apoyo y los pies. Sobre una superficie elástica, el transductor se interpone entre la persona y la superficie en un soporte que no altere mucho la distribución de presiones (5.3.2), y el diseño habitual es el disco semirrígido de ISO 10326-1. Los tres transductores de traslación de una misma ubicación van ortogonales y tan juntos como sea posible, con una desalineación de hasta 15° tolerada cuando la alineación exacta es impracticable (5.2.2–5.2.3); la ubicación, la orientación de los ejes respecto a la gravedad y la duración de la medida se declaran todas (5.2.2, 5.3.1, 5.5).

La vibración mano-brazo se mide en el centro de la zona de agarre cuando se puede llegar ahí y, si no, a ambos lados de la mano o en la parte inferior de la empuñadura junto a ella, promediando dos posiciones cuando la vibración cambia a lo ancho de la mano; las empuñaduras laterales de montaje flexible son el caso habitual (ISO 5349-2, 6.1.3 según la revisión de la Amd 1:2015). Una herramienta de percusión puede alcanzar de 20 000 a 50 000 m/s², casi todo fuera de la banda de evaluación de 6,3 Hz a 1250 Hz, y esa sobrecarga lleva a un transductor piezoeléctrico al desplazamiento de continua (DC-shift): una componente de baja frecuencia falsa, justo donde la ponderación tiene más ganancia (6.2.4). Un filtro mecánico lo evita (Anexo C); la comprobación de la norma consiste en convertir la aceleración eficaz sin ponderar de la banda en un desplazamiento $d=a/(40f^2)$ y compararlo con el movimiento del transductor que se ve a simple vista; y un registro que muestra desplazamiento de continua se descarta, porque la distorsión contamina todo el espectro y borrar las bandas graves no lo rescata. Las magnitudes se promedian sobre operaciones o ciclos de trabajo completos, con al menos tres muestras por operación, un tiempo total de medida de al menos un minuto y evitando muestras de menos de unos 8 s (5.4.1). La guía de vibración en humanos lleva las restricciones de masa, fijación y fuerza de agarre y el resto de la lista de fallos.

Métricas ponderadas y exposición diaria

Las métricas ponderadas siguen ISO 2631-1:1997: rms móvil con integración lineal o exponencial (Ecs. 2/3), el MTVV como su máximo (Ec. 4), el VDV de cuarta potencia $=(\int a_{\mathrm{w}}^{4}dt{)}^{1/4}$ en ${m/s}^{1,75}$ (Ec. 5) y el valor total de vibración $a_{\mathrm{v}}=\sqrt{{\sum }_j{k}_j^2{a}_{\mathrm{w}j}^2}$ (Ec. 10), cuyos factores multiplicadores $k_j$ pertenecen a la postura y al eje y no a la métrica: en una persona sentada evaluada por salud, 1,4 sobre x e y ponderadas con Wd y 1,0 sobre z ponderada con Wk (apartado 7.2.3).

El factor de cresta decide cuál de ellas se declara. Es el pico de la aceleración ponderada dividido por su valor eficaz en el mismo intervalo (apartado 6.2.1), así que mide cuánta parte de la exposición se concentra en sucesos breves: una vibración aleatoria estacionaria queda cerca de 3 o 4, y un valor que se acerca a 9 significa que el promedio lo están fijando transitorios que el valor eficaz subestima. El apartado 6.2.2 de ISO 2631-1 considera el método básico del valor eficaz normalmente suficiente mientras el factor de cresta se mantenga en 9 o por debajo, y manda a los métodos adicionales del apartado 6.3 todo lo que quede por encima, porque unos pocos picos altos aportan poco a un valor eficaz y muchísimo a una dosis de cuarta potencia. Dos cocientes deciden la misma cuestión sin fiarlo todo al factor de cresta (apartado 6.3.3): se declara además el valor adicional en cuanto $\mathrm{MTVV}/a_{\mathrm{w}}$ supera 1,5 o $\mathrm{VDV}/(a_{\mathrm{w}}{T}^{1/4})$ supera 1,75. Los dos se miden sobre el intervalo de evaluación real, así que trocear un registro en bloques cortos rebaja el factor de cresta artificialmente; y cuando se usa un método adicional, el valor básico se sigue declarando a su lado (apartado 5.6).

La exposición mano-brazo sigue ISO 5349-1:2001: $a_{\mathrm{hv}}$ (Ec. 1, todos los $k=1$), exposición diaria $A(8)=a_{\mathrm{hv}}\sqrt{T/T_0}$ con $T_0=8$ h (Ec. 2), exposiciones parciales combinadas en cuadratura (ISO 5349-2:2001, Ecs. 1–3), y el modelo de riesgo vascular del Anexo C, $D_{\mathrm{y}}=31,8A(8{)}^{-1,06}$, para los años hasta una prevalencia del 10 % de dedo blanco (sin relación con la dosis de aceleración $D_z$ de más abajo). Los valores de acción y límite de la Directiva 2002/44/CE están incorporados: mano-brazo $A(8)$ 2,5/5,0 m/s², cuerpo entero $A(8)$ 0,5/1,15 m/s² o VDV 9,1/21,0 ${m/s}^{1,75}$ (Artículo 3), aplicándose la vía del VDV allí donde un Estado miembro la haya adoptado.

Los dos límites se evalúan sobre magnitudes construidas de forma distinta. La exposición mano-brazo se evalúa sobre el total vectorial $a_{\mathrm{hv}}$, con todos los $k=1$. La exposición de cuerpo entero se evalúa sobre el eje dominante único, el mayor de $1,4a_{\mathrm{w}x}$, $1,4a_{\mathrm{w}y}$ y $a_{\mathrm{w}z}$ (Anexo, parte B de la Directiva, con los factores del apartado 7.2.3; el apartado 7.2.2 de ISO 2631-1 evalúa cada eje por separado), y nunca sobre el total vectorial, que es la magnitud de confort del apartado 8. vibration.wbv_exposure_basis construye la base de cuerpo entero y vibration.vibration_total_value el total vectorial; meter el segundo en $A(8)$ es el error más común de una evaluación de exposición laboral y siempre infla la respuesta. Para los tres ejes 0,35, 0,28 y 0,62 m/s², la base de la Directiva es 0,62 m/s² y el total vectorial ponderado por salud 0,88 m/s², una sobrestimación del 42 %.

Los ejemplos resueltos de ISO 5349-2 se reproducen (E.2.1: 7,4 m/s² durante 2,5 h → $A(8)=4,1$ m/s²; E.3 forestal, tres herramientas → 3,6 m/s²), igual que las filas de duración de exposición de la Tabla C.1 de ISO 5349-1.

Choques múltiples (ISO 2631-5)

Los choques repetidos dañan la columna lumbar por la compresión de pico y no por la energía media, así que ISO 2631-5:2018 sustituye la ponderación Wk por la función de transferencia asiento-columna del apartado 5.2 (Fórmula 1: un cero complejo y seis pares de polos complejos, unidad en continua, resonancia cerca de 5 Hz, $|H|\approx 1,54$ a 5 Hz) y acumula los picos positivos de la respuesta espinal con una dosis de sexta potencia (Palmgren-Miner) (apartado 5.3, Fórmulas 3/4):

$$D_z=1,07{\left(\sum _i{A}_{z,i}^6\right)}^{1/6},D_{z\mathrm{d}}=D_z(t_{\mathrm{d}}/t_{\mathrm{m}}{)}^{1/6}.$$

El Anexo C convierte la dosis diaria en una tensión compresiva $S_{\mathrm{d}}=m_z{D}_{z\mathrm{d}}$ ($m_z=0,029/0,025$ MPa por m/s² para el hombre de 82 kg / la mujer de 64 kg), sigue la resistencia última decreciente con la edad $S_{\mathrm{u}}=6,75-S_{\mathrm{age}}(b+i)$ y forma la variable de tensión acumulada $R$ (Fórmulas C.3/C.4), llevada a una probabilidad de lesión por la ley de Weibull de la Tabla C.1, $\Pi =1-e^{-(R/\alpha {)}^{\beta }}$. El filtro espinal se evalúa analíticamente en el dominio de la frecuencia y se valida frente a la tabulación del filtro digital a 256 Hz del Anexo D dentro de la tolerancia del apartado 5.2; el ejemplo resuelto del Anexo C (cinco choques de 40 m/s² al día durante 20 años) se reproduce: $D_{z\mathrm{d}}=55,97$ m/s², $R=1,22$, $\Pi =0,37$. El modelo espinal de elementos finitos del Anexo A (distribuido por ISO como software aparte) queda fuera de alcance.

Los dos objetos del modelo. A la izquierda, la transmisibilidad asiento-columna del apartado 5.2: unidad en continua, máximo en $|H|\approx 1,54$ cerca de 5 Hz y caída por encima, que es la razón por la que hubo que sustituir $W_{\mathrm{k}}$ para los choques. A la derecha, la ley de Weibull $\Pi (R)$ de la Tabla C.1 con el ejemplo resuelto del Anexo C marcado en $R=1,22$, $\Pi =0,37$: el riesgo sube abruptamente en una banda estrecha de $R$, así que una dosis que se duplica no duplica la probabilidad.

Consulta la guía de vibración en humanos y la guía de vibración con choques múltiples para su uso.

Movilidades puntuales y eficiencia de radiación (Cremer 5, Hopkins 2.9)

Aquí la notación empieza de nuevo: $S$ es un área de sección transversal, $m^{\prime }$ una masa por unidad de longitud y $m^{\prime \prime }$ una masa por unidad de superficie, y ninguna de ellas son los símbolos de tensión y de dosis de las secciones de vibración en humanos de más arriba.

La potencia vibratoria que una fuerza puntual inyecta en una estructura es $W=\frac{1}{2}|F{|}^2\mathrm{Re}\{Y\}$ (Cremer Ec. 5.23), así que la movilidad puntual $Y$ (la inversa de la impedancia) gobierna cuánta energía absorbe la estructura. Para estructuras infinitas son formas cerradas (Cremer Tabla 5.1): una placa delgada infinita es una resistencia pura $Z=8\sqrt{B^{\prime }{m}^{\prime \prime }}$ (real, independiente de la frecuencia, con $B^{\prime }$ la rigidez a flexión por unidad de anchura y $m^{\prime \prime }$ la masa por unidad de superficie), una viga infinita tiene $Y=(1-\mathrm{j})/(4m^{\prime }{c}_{\mathrm{B}})$ (fase de 45 grados, decayendo como ${\omega }^{-1/2}$ a través de la velocidad de la onda de flexión $c_{\mathrm{B}}$), y una barra longitudinal tiene $Z=\rho c_{\mathrm{L}}S$. Aportan la movilidad de receptor que EN 12354-5 necesita cuando no hay medida, y son las contrapartes teóricas de las movilidades medidas de ISO 7626.

Hasta dónde vale la sustitución. Ninguna estructura real es infinita, y una finita no tiene una movilidad puntual suave: por debajo y alrededor de sus primeros modos, el $|Y|$ medido oscila decenas de decibelios entre resonancia y antirresonancia. La forma cerrada es la media en torno a la cual oscila, así que solo cobra sentido cuando ya caen varios modos dentro de la banda de análisis, que es la razón por la que se usa con entradas de octava o de tercio de octava y nunca se lee a una frecuencia única, y por la que es defendible en las bandas medias y altas, donde suelen hacerse las predicciones de potencia estructural, y poco fiable en las bandas más bajas de un elemento pequeño o poco amortiguado. Las formas cerradas suponen además una excitación lejos de cualquier contorno: excitar cerca de un borde o de una esquina sube la rigidez local y baja la movilidad, y excitar una placa nervada o inhomogénea de cualquier otra manera invalida el único $B^{\prime }$ sobre el que se apoya la fórmula de la placa. La movilidad de receptor se toma de una medida cuando el elemento es pequeño, está poco amortiguado o se excita cerca de un contorno.

Las tres formas cerradas dibujadas frente al resonador finito. La placa de hormigón de 140 mm es real e independiente de la frecuencia en $2,6\times 10^{-6}$ m/(N·s); la viga de acero de 100 × 200 mm cae como $f^{-1/2}$, un factor 63 a lo largo de las doce octavas dibujadas, con un −45° constante; el puntal longitudinal es real y plano. Ninguna de ellas resuena, que es exactamente la diferencia con una estructura finita y la razón por la que las formas cerradas son sustitutas en media por banda y no predicciones frecuencia a frecuencia.

La eficiencia con que una placa en flexión radia la potencia aérea es su eficiencia de radiación $\sigma$: la razón entre la potencia que la placa radia realmente y la que radiaría al mismo semiespacio un pistón de la misma área vibrando con la misma velocidad cuadrática media promediada en el espacio. Así, $\sigma =1$ es el caso plenamente acoplado, y un valor pequeño significa que la placa se está cortocircuitando a sí misma. Por debajo de la frecuencia crítica $f_{\mathrm{c}}$, la frecuencia a la que la longitud de onda de flexión en la placa iguala a la del aire, la longitud de onda de flexión es la más corta de las dos, así que semiceldas contiguas de la placa se bombean aire la una a la otra y la radiación solo sobrevive allí donde esa cancelación se interrumpe, en los bordes y en las esquinas. La $\sigma$ subcrítica depende por tanto del perímetro y del área de la placa además de su material, y es pequeña: una placa de cartón-yeso de 12,5 mm y 4 × 3 m ($f_{\mathrm{c}}\approx 2,6$ kHz) va de $\sigma =0,0017$ a 31,5 Hz hasta 0,080 a 2 kHz, mientras que una losa de hormigón de 100 mm del mismo tamaño ($f_{\mathrm{c}}\approx 180$ Hz) ya está en 0,12 a 31,5 Hz. Por encima de $f_{\mathrm{c}}$ se aplica el límite citado $\sigma \to (1-f_{\mathrm{c}}/f{)}^{-1/2}\to 1$ (Leppington/Maidanik, Hopkins Ec. 2.227-2.230), pero es singular justo en $f=f_{\mathrm{c}}$, así que la banda de coincidencia se evalúa con la expresión aparte en la coincidencia (Ec. 2.230) y el máximo justo por encima de $f_{\mathrm{c}}$ es finito (1,89 para esa losa de hormigón) y lo fijan el tamaño y el amortiguamiento de la placa. Como $\sigma$ es exactamente el factor de radiación $\epsilon$ de ISO 7849, predecirla cierra la cadena de potencia acústica a partir de la vibración sin una medida de potencia, y alimenta la trayectoria de transmisión resonante de la teoría de aislamiento de paneles, donde se define la propia $f_{\mathrm{c}}$.

Consulta la guía Predicción del aislamiento de paneles para su uso.

No es ninguna de las formas cerradas anteriores: este es un resonador finito de un grado de libertad, y la receptancia, la movilidad y la acelerancia son la misma resonancia vista a través de las tres magnitudes cinemáticas. Está aquí como contraste: los resultados de estructura infinita son independientes de la frecuencia o caen suavemente, mientras que todo lo finito resuena.

El mismo punto leído como diagnóstico: por debajo de la resonancia el módulo sube por la recta de rigidez $\omega /k$, por encima cae por la recta de masa $1/(\omega m)$, y la altura del máximo la fija solo el amortiguamiento. Una estructura real tiene muchas resonancias de estas, y las formas cerradas de estructura infinita anteriores son la media en torno a la cual oscila la movilidad medida, no el valor que toma a una frecuencia dada, que es la razón por la que se usan con entradas de octava o tercio de octava y por la que son menos fiables en las bandas más bajas de un elemento pequeño o poco amortiguado.

Referencias

• Cremer, L., Heckl, M. y Petersson, B. A. T. (2005). Structure-borne sound: Structural vibrations and sound radiation at audio frequencies (3.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-540-22696-3. La potencia en el punto de excitación W = (1/2) |F|^2 Re{Y} (Ec. 5.23) y las movilidades e impedancias en forma cerrada de estructuras infinitas (Tabla 5.1) de la sección de movilidades puntuales.
• Griffin, M. J. (1996). Handbook of human vibration. Academic Press. ISBN 978-0-12-303041-2. La evidencia biodinámica y de efectos sobre la salud que sustenta las ponderaciones de ISO 8041-1, las medidas de dosis rms/MTVV/VDV y el razonamiento de lesión espinal del modelo de choques múltiples.
• Hopkins, C. (2007). Sound insulation. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-6526-1. La teoría de la eficiencia de radiación de placas en flexión (Ecs. 2.227-2.230, el límite de alta frecuencia de Leppington/Maidanik) que sustenta la sección de eficiencia de radiación.
• International Organization for Standardization. (2009). Acoustics — Determination of airborne sound power levels emitted by machinery using vibration measurement — Part 1: Survey method using a fixed radiation factor (ISO/TS 7849-1:2009). El factor de radiación que coincide con la eficiencia de radiación, cerrando la cadena de potencia acústica a partir de la vibración de la sección de eficiencia de radiación (método de control, factor de radiación fijo).
• International Organization for Standardization. (2009). Acoustics — Determination of airborne sound power levels emitted by machinery using vibration measurement — Part 2: Engineering method including determination of the adequate radiation factor (ISO/TS 7849-2:2009). El método de ingeniería de la misma cadena de potencia acústica a partir de la vibración, que determina el factor de radiación adecuado a partir de la medida.
• International Organization for Standardization. (2011). Mechanical vibration and shock — Experimental determination of mechanical mobility — Part 1: Basic terms and definitions, and transducer specifications (ISO 7626-1:2011). Las movilidades medidas en el punto de excitación de las que los resultados en forma cerrada de estructuras infinitas de la sección de movilidades puntuales son las contrapartes teóricas.
• Mansfield, N. J. (2004). Human response to vibration. CRC Press. ISBN 978-0-415-28239-0. Un recorrido moderno y compacto por las cadenas de evaluación de cuerpo entero de ISO 2631-1 y mano-brazo de ISO 5349 resumidas en esta página.