Predicción del aislamiento de paneles

Un ensayo de laboratorio mide el índice de reducción acústica $R$ de un elemento acabado; esta página, en cambio, predice $R(f)$ a partir de las propiedades físicas de la construcción, de modo que un cerramiento se puede diseñar antes de construirlo. Cubre el aislamiento aéreo de un panel simple (la ley de masas y la caída del aislamiento en la coincidencia), la pared doble (su resonancia masa-muelle-masa), la transmisión por rendijas y aberturas que limita cualquier construcción real, la eficiencia de radiación de una placa en flexión y las movilidades puntuales que fijan la potencia vibratoria que una estructura absorbe. Junto a eso lleva tres atajos y casos particulares que dan esas mismas fuentes: el método de la meseta, una estimación a mano de la curva entera de un panel simple a partir de una tabla de materiales (Norton 3.9.1); el panel ortótropo, donde una chapa grecada o nervada tiene dos frecuencias críticas y, por tanto, un rango de coincidencia en lugar de un valle (Vigran 6.5.3); y el puente de las llaves, que limita a un muro de fábrica con cámara valgan lo que valgan sus hojas (Hopkins 4.3.5.4). Las magnitudes medidas que estas predicciones alimentan están en Predicción del aislamiento (EN 12354) y Medición del aislamiento en campo (ISO 16283).

Una nota sobre dos símbolos antes de que empiecen las fórmulas. El índice de reducción acústica $R$ de las normas europeas y la pérdida por transmisión $TL$ de la bibliografía norteamericana que sigue esta página son la misma magnitud, $TL\equiv R=-10\lg \tau$; la página conserva el símbolo de cada fuente para que sus fórmulas se puedan contrastar con el texto impreso, y por eso los resultados exponen transmission_loss y lo valoran como $R_{\mathrm{w}}$. Del mismo modo, aquí se escribe la masa por unidad de superficie $m^{\prime \prime }$, que es la notación de Bies y de Hopkins para el $m^{\prime }$ que usan las guías de ISO 12354; $m$ a secas está reservado en el resto del sitio para el coeficiente de atenuación de potencia del aire de las fórmulas de reverberación, en 1/m.

Los cuatro modelos de esta página como un mapa, cada panel una sección de más abajo. Arriba a la izquierda, la hoja simple: 6 dB por octava hasta que el modelo de Sharp hunde el aislamiento en la coincidencia, 11,9 dB por debajo de la ley de masas en la banda de 2,5 kHz. Arriba a la derecha, repartir los mismos 24 kg/m² en dos: 3,4 dB peor que una sola hoja en la resonancia masa-muelle-masa de 89 Hz y 47,7 dB mejor a 5 kHz. Abajo a la izquierda, la eficiencia de radiación: 0,011 a 100 Hz, 2,61 en la coincidencia, y solo despacio de vuelta hacia 1. Abajo a la derecha, la fuga que zanja la discusión: un 1 % de la superficie abierto mantiene $R$ en 20,0 dB valga lo que valga la pared.

Ver el código de la figura conceptual

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import (
    coincidence_frequency, composite_transmission_loss,
    double_wall_transmission_loss, mass_law_transmission_loss,
    mass_spring_mass_resonance, plate_bending_stiffness,
    radiation_efficiency, single_panel_transmission_loss,
)

bands = np.array([50, 63, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800,
                  1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3150, 4000, 5000], dtype=float)
fig, ax = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 9))

bp = plate_bending_stiffness(6.2e10, 0.006, 0.24)
fc = coincidence_frequency(15.0, bp)
ml = mass_law_transmission_loss(bands, 15.0, incidence="field")
sp = single_panel_transmission_loss(bands, 15.0, critical_frequency=fc, loss_factor=0.024)
ax[0, 0].semilogx(bands, ml, "--", label="ley de masas de campo")
ax[0, 0].semilogx(bands, sp.transmission_loss, "-o", ms=3, label="R de panel simple (Sharp)")
ax[0, 0].axvline(fc, ls=":", color="r"); ax[0, 0].set_title("Panel simple")

dw = double_wall_transmission_loss(bands, 12.0, 12.0, 0.075)
ax[0, 1].semilogx(bands, mass_law_transmission_loss(bands, 24.0), "--", label="hoja simple")
ax[0, 1].semilogx(bands, dw.transmission_loss, "-o", ms=3, label="pared doble")
ax[0, 1].axvline(mass_spring_mass_resonance(12.0, 12.0, 0.075), ls=":", color="r")
ax[0, 1].set_title("Pared doble")

sig = radiation_efficiency(bands, 1.5, 1.25, fc)
ax[1, 0].loglog(bands, sig.radiation_efficiency, "-o", ms=3, label=r"$\sigma(f)$")
ax[1, 0].axhline(1.0, ls=":"); ax[1, 0].set_title("Eficiencia de radiación")

wall = sp.transmission_loss
comp = [float(composite_transmission_loss([0.99, 0.01], [w, 0.0])) for w in wall]
ax[1, 1].semilogx(bands, wall, "-o", ms=3, label="pared maciza")
ax[1, 1].semilogx(bands, comp, "-s", ms=3, label="pared + rendija 1 %")
ax[1, 1].axhline(20.0, ls=":"); ax[1, 1].set_title("Compuesta con abertura")

for a in ax.flat:
    a.set_xlabel("Frecuencia [Hz]"); a.legend(fontsize=8); a.grid(alpha=0.3)
fig.suptitle("Aislamiento acústico teórico de paneles")
fig.tight_layout(); plt.show()

Panel simple: ley de masas y coincidencia (Bies 7.2)

Un panel flexible y poco rígido transmite el sonido al ser movido en bloque por la presión incidente; cuanto más pesado y mayor la frecuencia, más se resiste. La ley de masas a incidencia normal (Bies Ec. 7.40) y su forma de campo difuso (Ec. 7.42) son

$$T{L}_0=10{\log }_{10}\left[1+{\left(\frac{\pi f{m}^{\prime \prime }}{{\rho }_0{c}_0}\right)}^2\right],TL=T{L}_0-{\Delta }_{\text{banda}},$$

con $m^{\prime \prime }$ la masa por unidad de superficie y ${\Delta }_{\text{banda}}=5,5$ dB (tercio de octava) o $4,0$ dB (octava). Por encima del codo del argumento la ley de masas sube 6 dB por octava y 6 dB por duplicar la masa: los dos hechos sobre los que descansa todo cálculo de aislamiento.

Un panel real también es rígido, así que en la frecuencia de coincidencia (crítica) (Bies Ec. 7.3)

$$f_{\mathrm{c}}=\frac{c_0^2}{2\pi }\sqrt{\frac{m^{\prime \prime }}{B^{\prime }}}=\frac{0,55c_0^2}{c_{\mathrm{L}}h},$$

la longitud de onda de flexión libre iguala la longitud de onda de traza del sonido incidente y el panel se vuelve transparente: la caída del aislamiento en la coincidencia. El método de Sharp mantiene la ley de masas de campo hasta $f_{\mathrm{c}}/2$, cae con una recta en $\log f$ y desde $f_{\mathrm{c}}$ sigue (Ec. 7.44) $TL=10{\log }_{10}[1+(\pi f{m}^{\prime \prime }/{\rho }_0{c}_0{)}^2]+10{\log }_{10}(2\eta f/\pi f_{\mathrm{c}})$ con el factor de pérdidas $\eta$. El valle se sitúa en el punto B de la carta de diseño de Bies, $TL=20{\log }_{10}(f_{\mathrm{c}}{m}^{\prime \prime })+10{\log }_{10}\eta -44$.

Toda la sección en un esquema: un campo difuso excita una hoja simple y el $R(f)$ predicho sube con la ley de masas hasta la coincidencia. Una placa de yeso laminado de 12,5 mm sitúa $f_{\mathrm{c}}$ cerca de 2,6 kHz y puntúa $R_{\mathrm{w}}=27$ dB.

import numpy as np
from phonometry import (
    coincidence_frequency, plate_bending_stiffness,
    single_panel_transmission_loss,
)

# Vidrio flotado de 6 mm: E = 62 GPa, rho = 2500 kg/m3, nu = 0.24, eta = 0.024.
bands = np.array([100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800,
                  1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3150], dtype=float)
mass = 2500.0 * 0.006                                 # 15 kg/m2
bp = plate_bending_stiffness(6.2e10, 0.006, 0.24)     # B' [N.m]
fc = coincidence_frequency(mass, bp)
print(round(fc))                                      # 2107 Hz (Hopkins declara ~2079)

res = single_panel_transmission_loss(bands, mass, critical_frequency=fc,
                                     loss_factor=0.024)
print(round(res.rating().rating))                     # 32  ->  Rw = 32 dB (vidrio 6 mm de catálogo)

res.plot()   # R(f) previsto con la frecuencia crítica marcada (requiere matplotlib)

El espectro predicho entra directamente en el índice ISO 717-1 mediante res.rating(), y en EN 12354 como el $R$ de elemento «predicho» allí donde la norma exigiría una medida de laboratorio.

¿Qué factor de pérdidas es $\eta$? El factor de pérdidas total del elemento tal como está montado, no el factor de pérdidas interno del material. En un elemento montado, el total es el interno más el de radiación más las pérdidas en los bordes, y para un elemento pesado en un hueco de ensayo domina el término de bordes: el anexo C de ISO 12354-1 da ${\eta }_{\mathrm{tot},\mathrm{lab}}\approx {\eta }_{\mathrm{int}}+m^{\prime }/(485\sqrt{f})\approx 0,01+m^{\prime }/(485\sqrt{f})$ para elementos por debajo de 800 kg/m², al alcance sin salir de la biblioteca como laboratory_total_loss_factor. Para este vidrio de 15 kg/m² esa estimación vale 0,011 a 500 Hz, apenas por encima del valor interno; para un forjado de hormigón de 484 kg/m² vale 0,055, cinco veces la cifra del material. La vía medida es el tiempo de reverberación estructural y $\eta =2,2/(f{T}_{\mathrm{s}})$, la misma magnitud que miden las guías de ISO 10848 y de EN 15657. Conviene saber qué hay en juego: la profundidad del valle lleva $10\lg \eta$, así que un factor de tres en $\eta$ mueve la región de coincidencia 4,8 dB y no cambia nada por debajo de $f_{\mathrm{c}}/2$.

El espectro de Sharp previsto se evalúa exactamente como una medición: la caída del aislamiento en $f_{\mathrm{c}}\approx 2,1$ kHz concentra la mayor parte de las desviaciones desfavorables, y la referencia desplazada leída a 500 Hz da el $R_{\mathrm{w}}=32$ dB de catálogo del vidrio de 6 mm.

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import (
    coincidence_frequency, plate_bending_stiffness,
    single_panel_transmission_loss,
)

# Vidrio flotado de 6 mm: E = 62 GPa, rho = 2500 kg/m3, nu = 0,24, eta = 0,024.
bands = np.array([100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800,
                  1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3150], dtype=float)
mass = 2500.0 * 0.006
bp = plate_bending_stiffness(6.2e10, 0.006, 0.24)
fc = coincidence_frequency(mass, bp)
res = single_panel_transmission_loss(bands, mass, critical_frequency=fc,
                                     loss_factor=0.024)
w = res.rating()

# Una línea cada una: el R(f) previsto, o la curva evaluada frente a la referencia:
res.plot(language="es")
w.plot(language="es")
plt.show()

# A mano, combinando ambas en unos mismos ejes:
fig, ax = plt.subplots()
ax.semilogx(bands, res.transmission_loss, "o-", label="R previsto (Sharp)")
ax.semilogx(w.band_centers, w.shifted_reference, "s--",
            label="referencia desplazada")
ax.fill_between(w.band_centers, w.measured, w.shifted_reference,
                where=w.measured < w.shifted_reference, interpolate=True,
                alpha=0.3, label="desviaciones desfavorables")
ax.axvline(fc, ls=":", color="tab:green", label=f"fc = {fc:.0f} Hz")
ax.set_xlabel("Frecuencia [Hz]")
ax.set_ylabel(r"Índice de reducción acústica $R$ "
              r"(pérdida por transmisión $\mathrm{TL}$) [dB]")
ax.set_title(f"Rw = {w.rating} dB  (C={w.c:+d}; Ctr={w.ctr:+d})")
ax.legend()
plt.show()

El clip de abajo mira la coincidencia mientras ocurre en un campo FDTD elástico 2D: una placa de acero de 10 mm inmersa en aire, excitada por una onda plana sostenida a 45 grados, con las dos frecuencias elegidas con la coincidence_frequency de la biblioteca. A fc/2 = 603 Hz la transmisión medida cae sobre la ley de masas oblicua; a 2 fc = 2413 Hz la traza a 45 grados iguala exactamente la longitud de onda de flexión y la placa en coincidencia reirradia un haz a 45 grados que crece a lo largo de la placa, clavando el nivel transmitido en la cifra de fc/2 aunque la ley de masas exige 12 dB más de bloqueo a cuatro veces la frecuencia. El aire excita el pesado acero tan débilmente que la onda de flexión resonante necesita decenas de metros de placa iluminada para desarrollarse del todo, y por eso las medidas muestran una caída real del aislamiento y no una transparencia total.

Lo que la placa deja pasar queda unos 47 dB por debajo de la onda incidente, así que en la escala de color que fija la onda estacionaria sobre la placa el campo transmitido saldría como una banda negra. Por eso los dos paneles dibujan el aire bajo la placa con la ganancia de representación que imprimen (×150, es decir +44 dB); la ganancia es la misma en ambos para que sigan siendo comparables, y los niveles anotados son los medidos, los físicos.

Dos campos FDTD elásticos lado a lado de la misma placa de acero de 10 mm tendida en aire mientras llega una onda plana sostenida a 45 grados. A 603 Hz, la mitad de la frecuencia de coincidencia, la onda se refleja casi por completo y el débil nivel transmitido coincide con la ley de masas oblicua. A 2413 Hz, el doble de la frecuencia de coincidencia, la traza acústica iguala la longitud de onda de flexión libre y un haz transmitido a 45 grados crece bajo la placa, manteniendo el mismo nivel que el panel de baja frecuencia donde la ley de masas predecía 12 dB más de aislamiento; el aire bajo la placa se dibuja en los dos paneles con una ganancia de representación anotada de 150 veces (+44 dB) para que el campo transmitido sea legible, con la frecuencia de coincidencia de 1206 Hz de la biblioteca y los niveles medidos y de la ley de masas anotados.

Descargar la animación (WebM)

Dos campos FDTD elásticos lado a lado de la misma placa de acero de 10 mm tendida en aire mientras llega una onda plana sostenida a 45 grados. A 603 Hz, la mitad de la frecuencia de coincidencia, la onda se refleja casi por completo y el débil nivel transmitido coincide con la ley de masas oblicua. A 2413 Hz, el doble de la frecuencia de coincidencia, la traza acústica iguala la longitud de onda de flexión libre y un haz transmitido a 45 grados crece bajo la placa, manteniendo el mismo nivel que el panel de baja frecuencia donde la ley de masas predecía 12 dB más de aislamiento; el aire bajo la placa se dibuja en los dos paneles con una ganancia de representación anotada de 150 veces (+44 dB) para que el campo transmitido sea legible, con la frecuencia de coincidencia de 1206 Hz de la biblioteca y los niveles medidos y de la ley de masas anotados.

Descargar la animación (WebM)

Estimaciones rápidas: el método de la meseta (Norton 3.9.1)

Antes del modelo físico hay un atajo que los técnicos llevan décadas dibujando a mano. El método de la meseta (Norton y Karczub 2003, sección 3.9.1, según Watters) aproxima toda la curva de incidencia de campo de un panel simple con tres números por material, tabulados en PLATEAU_MATERIALS a partir de la tabla 3.1 de Norton: la densidad superficial por milímetro de espesor, la altura en decibelios de la meseta de coincidencia y la relación de frecuencias B/A que fija su anchura.

La construcción tiene tres partes:

1. la ley de masas de incidencia de campo TL = 10 lg(1 + (π f m''/ρ₀c₀)²) − 5 dB (Ecs. 3.104 y 3.106 de Norton), que sube 6 dB por octava;
2. una meseta de coincidencia horizontal a la altura tabulada, con el punto A donde la recta de la ley de masas la alcanza;
3. el punto B en $B/A\times f_A$, por encima del cual la estimación se recupera a 10 dB por octava.

No necesita ni la rigidez a flexión ni el factor de pérdidas (la meseta tabulada absorbe ambos) y supone campo difuso a ambos lados de un panel cuya longitud y anchura sean al menos veinte veces su espesor.

Las dos curvas son la misma recta por debajo del punto A. Por encima, la estimación por meseta sustituye toda la región de coincidencia por un único valor plano, que es exactamente lo que dice ser: una estimación, no la caída.

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import plateau_transmission_loss, single_panel_transmission_loss

# Vidrio float de 6 mm: la tabla 3.1 de Norton da 2,47 kg/m2 por mm, una
# meseta de coincidencia de 27 dB y B/A = 10; su frecuencia crítica es 2033 Hz.
bands = np.array([100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800, 1000,
                  1250, 1600, 2000, 2500, 3150, 4000, 5000, 6300, 8000,
                  10000], dtype=float)
quick = plateau_transmission_loss(bands, material="glass", thickness_mm=6.0,
                                  field_correction=5.5)
physical = single_panel_transmission_loss(bands, 2.47 * 6.0,
                                          critical_frequency=2033.0,
                                          loss_factor=0.02)

print(round(quick.plateau_start), round(quick.plateau_end))   # 374 3742
print(quick.plateau_height)                                   # 27.0
quick.plot(language="es")   # sombrea la meseta entre los puntos A y B
plt.show()

Una comprobación trabajada frente al libro: un muro de ladrillo macizo de 8 m x 3 m y 110 mm de espesor a 2,1 kg/m² por mm ($m^{\prime \prime }=231{\text{kg/m}}^2$) da 35,8 dB en la octava de 63 Hz, sobre la recta de la ley de masas, luego la meseta de ladrillo de 37 dB en las octavas de 125 Hz y 250 Hz, y después 10 dB por octava por encima del punto B: exactamente la respuesta publicada de Norton a su problema 3.11, banda a banda, en las dos regiones que la construcción fija analíticamente.

from phonometry import plateau_transmission_loss

octaves = [63.0, 125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0]
res = plateau_transmission_loss(octaves, material="brick", thickness_mm=110.0,
                                air_density=1.21)
print(res.transmission_loss.round(1))
# [35.8 37.  37.  43.3 53.3 63.3 73.3]

El modelo físico tiene su propia variante a lo Norton para la región por encima de la coincidencia: coincidence_model="cremer" sustituye la Ec. 7.44 de Sharp por la empírica de Cremer TL = TL₀ + 10 lg(f/fc − 1) + 10 lg η − 2 dB (Ec. 3.110 de Norton) y lleva la ley de masas hasta la propia fc sin puente interpolado. Ambas suben a unos 10 dB por octava muy por encima de la coincidencia; se diferencian en cómo salen de la caída.

Paneles ortótropos: un rango de coincidencia, no un valle (Vigran 6.5.3)

La chapa grecada y la nervada no son isótropas. Son muy rígidas en el sentido de las grecas y casi tan flexibles como una chapa plana en el transversal, de modo que en lugar de una frecuencia de coincidencia tienen todo un rango de coincidencia delimitado por las dos rigideces principales a flexión (Vigran ec. 6.107, la $f_{\mathrm{c}}=(c_0^2/2\pi )\sqrt{m^{\prime \prime }/B}$ isótropa evaluada dos veces):

$$f_{\mathrm{c}1}=\frac{c_0^2}{2\pi }\sqrt{\frac{m^{\prime \prime }}{B_1}},f_{\mathrm{c}2}=\frac{c_0^2}{2\pi }\sqrt{\frac{m^{\prime \prime }}{B_2}},B_1>B_2.$$

La dirección más rígida fija la frecuencia de coincidencia más baja, y ahí está la trampa: grecar una chapa para ganar resistencia arrastra $f_{\mathrm{c}1}$ hacia abajo, a menudo hasta unos pocos cientos de hercios, mientras $f_{\mathrm{c}2}$ se sube a 15 kHz o 30 kHz. En todo ese tramo domina la transmisión resonante y $R$ se aplana muy por debajo de la ley de masas de una placa plana de la misma masa.

La impedancia de onda de flexión depende ahora del azimut $\vartheta$ además del ángulo de incidencia $\phi$ (Heckl 1960; Hansen 1993; Vigran ec. 6.108, que es la ec. 7.30 de Bies):

$$Z_{\mathrm{w}}=\mathrm{j}\omega m^{\prime \prime }\left[1-{\left(\frac{f}{f_{\mathrm{c}1}}{\cos }^2\vartheta +\frac{f}{f_{\mathrm{c}2}}{\sin }^2\vartheta \right)}^2(1+\mathrm{j}\eta ){\sin }^4\phi \right],$$

y el promedio en campo difuso de $\tau =|1+Z_{\mathrm{w}}\cos \phi /2{\rho }_0{c}_0{|}^{-2}$ pasa a ser una integral doble (Vigran ec. 6.111 = Bies ec. 7.38). Con $f_{\mathrm{c}1}=f_{\mathrm{c}2}$ se recupera exactamente la impedancia isótropa de Cremer.

orthotropic_transmission_loss ofrece las dos vías publicadas:

• method="integral" evalúa numéricamente esa integral doble. Es la única vía sensible al factor de pérdidas y la que muestra hasta dónde baja realmente la región de coincidencia. Los ángulos rasantes se excluyen con un ángulo límite: pasa area para el límite dependiente del tamaño de la ec. 7.36 de Bies (Vigran la escribe como ec. 6.113), o déjalo sin pasar para el limiting_angle fijo (78 grados por defecto, el valor de Sharp, que es el ${\sin }^2\phi =0,96$ de Vigran).

• method="heckl" es la aproximación en forma cerrada de Heckl para $\eta =0$, el gráfico de diseño de la fig. 7.9(b) de Bies: ley de masas de incidencia de campo por debajo de $f_{\mathrm{c}1}/2$, luego

  $${\tau }_{\mathrm{F}}\approx \frac{{\rho }_0{c}_0}{2{\pi }^2{m}^{\prime \prime }}\frac{f_{\mathrm{c}1}}{f^2}{\left[\ln \frac{4f}{f_{\mathrm{c}1}}\right]}^2(f_{\mathrm{c}1}\le f<f_{\mathrm{c}2}/2),{\tau }_{\mathrm{F}}\approx \frac{{\rho }_0{c}_0}{2m^{\prime \prime }}\frac{\sqrt{f_{\mathrm{c}1}{f}_{\mathrm{c}2}}}{f^2}(f>2f_{\mathrm{c}2}),$$

  con rectas en ${\log }_{10}f$ que salvan los dos huecos. No necesita factor de pérdidas ni cálculo numérico, pero exige $f_{\mathrm{c}2}>4f_{\mathrm{c}1}$ para que sus cuatro puntos de construcción queden ordenados.

Para la greca sinusoidal habitual las rigideces equivalentes vienen de Timoshenko y Woinowsky-Krieger a través de corrugated_plate_stiffness (Vigran ec. 3.115), y la densidad superficial ha de crecer con la longitud desarrollada del perfil, que es lo que devuelve corrugated_plate_mass_factor. orthotropic_plate_resonance es la frecuencia propia correspondiente de una placa ortótropa simplemente apoyada (Vigran ec. 3.113 = Bies ec. 7.27, según Hearmon 1959); su modo más bajo importa porque los dos modelos de panel infinito solo valen por encima de unos $1,5f_{1,1}$.

from phonometry import (
    coincidence_frequency, corrugated_plate_mass_factor,
    corrugated_plate_stiffness, orthotropic_critical_frequencies,
    orthotropic_plate_resonance, plate_bending_stiffness,
)

# Ejemplo resuelto de Vigran: chapa de acero de 1 m x 1 m y 1 mm de espesor,
# E = 210 GPa, nu = 0,3, m'' = 7,8 kg/m2, grecada con una sinusoide de 20 mm
# de altura total (amplitud H = 10 mm) y paso de 100 mm.
flat_b = plate_bending_stiffness(2.1e11, 1.0e-3, 0.3)
b_x, b_z, b_xz = corrugated_plate_stiffness(
    1.0e-3, 0.010, 0.100, youngs_modulus=2.1e11, poisson_ratio=0.3,
)
mass = 7.8 * corrugated_plate_mass_factor(0.010, 0.100)
print(round(flat_b, 1), round(b_x, 1), round(b_z))     # 19.2 17.5 2202
print(round(mass, 2))                                  # 8.52 kg/m2 (+9 %)

flat = {"length_x": 1.0, "length_z": 1.0, "mass_per_area": 7.8,
        "bending_stiffness_x": flat_b, "bending_stiffness_z": flat_b,
        "bending_stiffness_xz": flat_b}
corr = {"length_x": 1.0, "length_z": 1.0, "mass_per_area": mass,
        "bending_stiffness_x": b_x, "bending_stiffness_z": b_z,
        "bending_stiffness_xz": b_xz}
print(round(orthotropic_plate_resonance(1, 1, **flat), 1),
      round(orthotropic_plate_resonance(2, 2, **flat), 1))    # 4.9 19.7
print(round(orthotropic_plate_resonance(1, 1, **corr), 1),
      round(orthotropic_plate_resonance(2, 2, **corr), 1))    # 25.5 102.1

# La misma chapa, plana y grecada, en la imagen de la coincidencia:
print(round(coincidence_frequency(7.8, flat_b)))               # 11925 Hz
print([round(f) for f in orthotropic_critical_frequencies(mass, b_x, b_z)])
# [1165, 13064]

Las cuatro frecuencias propias son las respuestas impresas por Vigran (4,9 Hz y 19,7 Hz en plano; 25,5 Hz y 102 Hz grecada), y reproducir el par de la chapa grecada es lo que demuestra que el factor de masa pertenece ahí: con los 7,8 kg/m² planos las mismas fórmulas devuelven 26,7 Hz y 106,7 Hz.

El intercambio que hace el grecado, sobre la propia geometría de Vigran. Por debajo de $f_{\mathrm{c}1}$ los dos paneles quedan a unos 2 dB uno del otro (el grecado algo por encima: es un 9 % más pesado, y la integral en campo difuso usa un ángulo límite de 78 grados en lugar de la corrección de banda de 5,5 dB de Sharp). A lo largo del rango de coincidencia la chapa grecada cede hasta 13 dB, y $R_{\mathrm{w}}$ baja de 28 dB a 25 dB, con un panel más rígido y apenas más pesado.

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import (
    coincidence_frequency, corrugated_plate_mass_factor,
    corrugated_plate_stiffness, orthotropic_critical_frequencies,
    orthotropic_transmission_loss, plate_bending_stiffness,
    single_panel_transmission_loss,
)

bands = np.array([100, 125, 160, 200, 250, 315, 400, 500, 630, 800, 1000,
                  1250, 1600, 2000, 2500, 3150, 4000, 5000, 6300, 8000,
                  10000, 12500, 16000], dtype=float)
eta = 0.011
flat_b = plate_bending_stiffness(2.1e11, 1.0e-3, 0.3)
b_x, b_z, _ = corrugated_plate_stiffness(
    1.0e-3, 0.010, 0.100, youngs_modulus=2.1e11, poisson_ratio=0.3,
)
mass = 7.8 * corrugated_plate_mass_factor(0.010, 0.100)
fc1, fc2 = orthotropic_critical_frequencies(mass, b_x, b_z)

flat = single_panel_transmission_loss(
    bands, 7.8, critical_frequency=coincidence_frequency(7.8, flat_b),
    loss_factor=eta,
)
corrugated = orthotropic_transmission_loss(
    bands, mass, critical_frequency_lower=fc1, critical_frequency_upper=fc2,
    loss_factor=eta,
)
heckl = orthotropic_transmission_loss(
    bands, mass, critical_frequency_lower=fc1, critical_frequency_upper=fc2,
    method="heckl",
)

# Una línea: R(f) con el rango de coincidencia sombreado entre fc1 y fc2.
corrugated.plot(language="es")
plt.show()

# A mano, las tres curvas en unos mismos ejes:
fig, ax = plt.subplots()
ax.axvspan(fc1, fc2, color="0.85", zorder=0)
ax.semilogx(bands, flat.transmission_loss, "-o", ms=4, label="chapa plana")
ax.semilogx(bands, corrugated.transmission_loss, "-s", ms=4,
            label="grecada, integral")
ax.semilogx(bands, heckl.transmission_loss, "--", label="aproximación de Heckl")
ax.set(xlabel="Frecuencia [Hz]",
       ylabel=r"Índice de reducción acústica $R$ "
              r"(pérdida por transmisión $\mathrm{TL}$) [dB]")
ax.legend()
plt.show()

Merece la pena repetir dos advertencias que Bies añade a la rama de Heckl, porque ningún modelo suave predice ninguna de las dos. Por debajo de unos $0,7f_{\mathrm{c}1}$ la estimación infravalora $R$ en paneles pequeños, y el error crece a medida que el panel se reduce; y las chapas grecadas reales casi siempre muestran un valle de hasta 5 dB en algún punto entre 2 kHz y 4 kHz, que los cálculos por elementos finitos atribuyeron a resonancias de los tramos de panel entre nervios y no a ningún efecto de coincidencia.

Pared doble: la resonancia masa-muelle-masa (Bies 7.2.6)

Dos hojas separadas por una cámara se comportan como un sistema masa-muelle-masa, siendo el aire de la cámara (o el relleno) el muelle. Por debajo de su resonancia (Bies Ec. 7.62, Hopkins Ec. 4.73)

$$f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{s^{\prime \prime }(m_1+m_2)}{m_1{m}_2}}=60\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1{m}_{2}d}}\text{(caˊmara de aire vacıˊa)},$$

el conjunto se mueve como uno y sigue la ley de masas de la masa combinada; por encima, las dos leyes de masas se suman, reforzadas por la cámara, hasta la frecuencia límite $f_{\mathrm{l}}=c_0/(2\pi d)$ donde el refuerzo satura en 6 dB (Ec. 7.64). Un relleno poroso (cualquier PorousMediumResult) ablanda la cámara y baja $f_0$.

from phonometry import double_wall_transmission_loss, mass_spring_mass_resonance
from phonometry import mass_law_transmission_loss, miki

# Dos hojas de 12 kg/m2, cámara de aire de 75 mm.
f0 = mass_spring_mass_resonance(12.0, 12.0, 0.075)
print(round(f0))                                          # 89 Hz

# Por debajo de f0 la pared doble iguala la ley de masas de la masa total 24 kg/m2:
dw = double_wall_transmission_loss(bands, 12.0, 12.0, 0.075)
print(round(float(dw.transmission_loss[0]), 1),
      round(float(mass_law_transmission_loss(bands[0], 24.0)), 1))   # iguales

# Un relleno de lana mineral (un modelo poroso de materials) baja la resonancia:
fill = miki([f0], 7000.0)
print(round(mass_spring_mass_resonance(12.0, 12.0, 0.075, cavity_medium=fill)))  # < 89 Hz

dw.plot()   # R(f) de pared doble con la resonancia masa-muelle-masa marcada (requiere matplotlib)

El caso ligero clásico merece dibujarse a escala: dos placas de yeso de 8,8 kg/m² sobre una cámara vacía de 100 mm dejan $f_0$ en 90 Hz. plot_double_wall_geometry anota la resonancia en la cámara, y un resultado de double_wall_transmission_loss que retuvo su geometría redibuja su propia sección con dw.plot_geometry().

Todo el modelo en una sección: las dos hojas delgadas son las masas, la cámara de aire de 100 mm es el muelle, y $f_0$ = 90 Hz es donde cae el valle de toda curva de pared doble.

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import mass_spring_mass_resonance, plot_double_wall_geometry

# Dos placas de yeso de 8.8 kg/m² sobre una cámara de 100 mm.
f0 = mass_spring_mass_resonance(8.8, 8.8, 0.1)
plot_double_wall_geometry(8.8, 8.8, 0.1, resonance_frequency=f0,
                          language="es")
plt.show()

# Una predicción de pared doble retiene su geometría y la redibuja:
#   dw = double_wall_transmission_loss(bands, 8.8, 8.8, 0.1)
#   dw.plot_geometry(language="es")

Muros de fábrica con cámara: el puente de las llaves (Hopkins 4.3.5.4)

El modelo de doble hoja anterior trata la cámara como aire puro. Un muro de fábrica con cámara real está cosido por llaves de muro cada pocas hiladas, y esas llaves hacen dos cosas que el modelo con solo aire no puede ver: añaden un muelle mecánico en paralelo con el muelle de aire, lo que sube la frecuencia de resonancia masa-muelle-masa, y abren un camino estructural de una hoja a la otra.

Izquierda: una llave blanda hace caer el acoplamiento estructural como $1/f^3$; una rígida se mantiene sobre el techo rígido dos octavas más. Derecha: esas mismas llaves suben la resonancia de 26 Hz a 50 Hz, prolongando la rama de masa combinada. Los dos paneles salen de los dos fragmentos de código de esta sección: el de la derecha, de double_wall_transmission_loss con y sin tie_stiffness_per_area; el de la izquierda, de wall_tie_coupling_loss_factor(...).plot().

La llave como muelle (Hopkins Ec. 4.89). Una llave se caracteriza por un único número, su rigidez dinámica $s_{X\text{mm}}$ para un ancho de cámara $X$, medida sobre dos cubos de hormigón de 100 mm nominalmente idénticos (Sección 3.11.3.2, Ec. 3.202). $N$ llaves sobre una placa de área $S$ añaden $Nk/S$ a la rigidez del aire de la cámara:

$$f_{\mathrm{msm}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{s_{\mathrm{a}}+Nk/S}{{\rho }_{\mathrm{s}1}{\rho }_{\mathrm{s}2}/({\rho }_{\mathrm{s}1}+{\rho }_{\mathrm{s}2})}}.$$

Por debajo de $f_{\mathrm{msm}}$ las dos hojas actúan como una sola placa de masa combinada, así que las llaves rígidas son doblemente malas: suben la resonancia hasta el rango de valoración y puentean la cámara. WALL_TIE_STIFFNESS contiene la Tabla A4 de Hopkins, cuyas filas de 50 mm proceden de Hopkins, Wilson y Craik (1999) y la de 100 mm de Hall y Hopkins (2001).

Llave de muro	Ancho de cámara (mm)	$s_{X\text{mm}}$ (MN/m)
Llave de mariposa (BS 1243:1978)	50	1,7
Llave de doble triángulo (BS 1243:1978)	50	16,1
Llave de torsión vertical (BS 1243:1978)	50	94,0
Llave de torsión vertical (propietaria)	100	43,4

from phonometry import (
    double_wall_transmission_loss,
    mass_spring_mass_resonance,
    wall_tie_stiffness,
    wall_tie_stiffness_per_area,
)

print(wall_tie_stiffness("butterfly"))        # (0.05 m, 1.7e6 N/m)

# Hopkins Fig. 4.35: dos hojas de 140 kg/m2 con cámara vacía de 75 mm.
print(round(mass_spring_mass_resonance(140.0, 140.0, 0.075)))          # 26 Hz

# Se añaden 2,5 llaves/m2 de s_75mm = 2 MN/m: la resonancia casi se duplica.
ties = wall_tie_stiffness_per_area(2.5, 2.0e6)
print(round(mass_spring_mass_resonance(140.0, 140.0, 0.075,
                                       tie_stiffness_per_area=ties)))  # 50 Hz

dw = double_wall_transmission_loss(bands, 140.0, 140.0, 0.075,
                                   tie_stiffness_per_area=ties)

La llave como unión puntual (Hopkins Ecs. 4.84 a 4.88). Cada llave transmite potencia estructural entre las hojas. Con las movilidades en el punto de excitación $Y_i$, $Y_j$ de las dos hojas (placas delgadas infinitas, $Y=1/(8\sqrt{B^{\prime }{m}^{\prime \prime }})$, Ec. 2.190) y la movilidad del conector de un muelle lineal $Y_{\mathrm{c}}=\mathrm{i}\omega /k$ (Ec. 4.88), $N$ uniones idénticas y no correlacionadas dan el factor de pérdidas por acoplamiento (Ec. 4.87)

$${\eta }_{ij}=\frac{N}{\omega m_i}\frac{\mathrm{Re}\{Y_j\}}{|Y_i+Y_j+Y_{\mathrm{c}}{|}^2}.$$

El área de la placa se cancela ($N/m_i=n/{\rho }_{\mathrm{s}1}$ con $n$ llaves por m²), así que solo entra la densidad de llaves. Una unión rígida (un tornillo, un clavo, un perno o una llave tan rígida que nunca cede) es el límite $Y_{\mathrm{c}}=0$, donde ${\eta }_{ij}$ cae como $1/f$. Una llave elástica añade dos potencias más en cuanto $|Y_{\mathrm{c}}|=\omega /k$ supera a las movilidades de las placas: ${\eta }_{ij}$ cae entonces como $1/f^3$ y la razón frente al techo rígido como $1/f^2$. Es exactamente por lo que una llave de mariposa de 1,7 MN/m y una de torsión vertical de 94 MN/m se comportan de forma tan distinta.

import numpy as np
from phonometry import plate_bending_stiffness, wall_tie_coupling_loss_factor

freq = np.logspace(np.log10(50.0), np.log10(5000.0), 60)
b1 = plate_bending_stiffness(2.0e10, 0.1, 0.2)   # hojas de fábrica de 100 mm
res = wall_tie_coupling_loss_factor(
    freq, 150.0, 170.0, b1, b1, ties_per_area=2.5, tie="butterfly"
)
print(res.coupling_loss_factor[0], res.rigid_coupling_loss_factor[0])
res.plot()   # eta_ij frente al techo de unión rígida (requiere matplotlib)

Los datos de entrada de este modelo están impresos: la Tabla A4, confirmada valor a valor por la Tabla 1 de Hopkins, Wilson y Craik (1999), que imprime los mismos 1,7 / 16,1 / 94,0 MN/m para cámara de 50 mm. La Tabla 1 de Craik y Wilson (1995) mide los mismos tipos de llave con cámara de 85 mm y da 1,1 y 4,3 MN/m para la de mariposa y la de doble triángulo, así que corrobora el orden pero no los valores: la rigidez dinámica está definida para un ancho de cámara dado y cambia con él. La salida no está impresa en ninguna parte: todo índice de reducción acústica publicado de un muro de fábrica con cámara puenteado es una figura, de modo que la penalización por bandas que introducen las llaves no tiene oráculo numérico impreso. El desplazamiento de la resonancia sí lo tiene: la Fig. 4.35 de Hopkins imprime 26 Hz sin llaves y 50 Hz con ellas para el mismo muro.

Rendijas, orificios y aberturas (Hopkins 4.3.10)

Un pequeño camino de aire es el límite real de cualquier construcción pesada. El coeficiente de transmisión de una rendija recta (Gomperts, Hopkins Ec. 4.99) y de un orificio circular (Wilson y Soroka, Ec. 4.102) se predicen directamente, con las resonancias de la rendija en $d+2e=z\lambda /2$ (Ec. 4.101). Se combinan con la pared en la suma energética ponderada por área (Ec. 4.92)

$$R=-10{\log }_{10}\left(\frac{1}{{\sum }_n{S}_n}\sum _n{S}_{n}10^{-R_n/10}\right),$$

de modo que una abertura desnuda de área relativa $S_{\mathrm{a}}/S$ limita la composición a $10{\log }_{10}(S/S_{\mathrm{a}})$: una abertura del 1 % nunca puede superar los 20 dB, sea cual sea la pared.

from phonometry import (
    composite_transmission_loss, slit_transmission_coefficient,
    slit_resonance_frequencies,
)

# Una rendija de 2 mm x 100 mm de fondo: su transmisión tiene máximos en las
# resonancias de media longitud de onda del fondo de la rendija.
print(slit_resonance_frequencies(depth=0.1, width=0.002, orders=2).round().tolist())  # [~1500, ~3100]

# Una pared de Rw = 50 dB con el 1 % de su área abierta como rendija queda limitada:
print(round(float(composite_transmission_loss([0.99, 0.01], [50.0, 0.0])), 1))   # 20.0

La fuga que arruina una pared pesada es casi invisible, y .plot_geometry() lo deja claro dibujándola a escala: un hueco de 2 mm a través de 100 mm de fábrica.

La geometría minúscula detrás de una fuga grande: el hueco es 50 veces más profundo que ancho, y por eso se comporta como un tubo corto con resonancias de media longitud de onda del fondo cerca de 1,5 y 3,1 kHz, y no como una simple área abierta.

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import slit_transmission_coefficient

f = np.geomspace(100.0, 5000.0, 200)
result = slit_transmission_coefficient(f, width=0.002, depth=0.1)

# Una línea: la sección de la pared con la rendija a escala.
result.plot_geometry(language="es")
plt.show()

El clip de abajo pone los dos regímenes en paralelo en un campo FDTD 2D: un frente plano llega a un muro rígido de 0,10 m con una rendija de 25 mm (λ/20 a 686 Hz) y con un hueco de 0,50 m (una longitud de onda). La rendija estrecha re-radia lo que traga como una onda cilíndrica, con la transmisión de Gomperts del modelo anotada; el hueco del tamaño de la longitud de onda deja pasar el frente casi intacto y proyecta sombras de bordes nítidos. Lo que pasa por la rendija queda unos 23 dB por debajo de la onda estacionaria que hay frente al muro, así que en los paneles instantáneos el semiespacio tras el muro lleva la ganancia de representación que imprime cada panel (×10, es decir +20 dB, en la rendija y ninguna en el hueco del tamaño de la longitud de onda); los mapas RMS de abajo mantienen una sola escala compartida, que es donde se comparan nivel a nivel las dos aberturas.

Una onda plana de 686 Hz en un campo FDTD 2D choca contra un muro rígido con una rendija de 25 mm y, en un segundo panel, con un hueco de 0,50 m. La rendija estrecha re-radia una onda cilíndrica hacia el semiespacio de detrás, dibujada con una ganancia de representación anotada de diez veces (+20 dB) y con el coeficiente de transmisión de Gomperts anotado de 0,55; el hueco del tamaño de la longitud de onda deja pasar un haz con sombras de bordes nítidos a ganancia unidad, ambos mapas RMS en la misma escala de color.

Descargar la animación (WebM)

Una onda plana de 686 Hz en un campo FDTD 2D choca contra un muro rígido con una rendija de 25 mm y, en un segundo panel, con un hueco de 0,50 m. La rendija estrecha re-radia una onda cilíndrica hacia el semiespacio de detrás, dibujada con una ganancia de representación anotada de diez veces (+20 dB) y con el coeficiente de transmisión de Gomperts anotado de 0,55; el hueco del tamaño de la longitud de onda deja pasar un haz con sombras de bordes nítidos a ganancia unidad, ambos mapas RMS en la misma escala de color.

Descargar la animación (WebM)

Eficiencia de radiación de una placa en flexión (Hopkins 2.9)

Cuánta potencia aérea radia realmente una placa vibrante por unidad de velocidad cuadrática media es su eficiencia de radiación $\sigma$: el factor de radiación $\epsilon$ que Potencia acústica a partir de la vibración (ISO 7849) toma en otro caso como entrada medida. Se define como el cociente entre la potencia que la placa radia realmente y la que radiaría un pistón rígido de la misma superficie y la misma velocidad cuadrática media, de manera que $\sigma =1$ significa «tan eficiente como un pistón» — y, como muestran los números de abajo, cerca de la coincidencia una placa puede superarlo.

Hay tres regímenes, no dos (Leppington/Maidanik, Hopkins Ec. 2.227-2.230). Muy por debajo de $f_{\mathrm{c}}$ la longitud de onda de flexión es más corta que la acústica, las semiondas contiguas se cancelan mutuamente el caudal volumétrico y solo radian las franjas sin cancelar de los bordes y las esquinas. Por eso el cálculo necesita las dos dimensiones de la placa y su condición de borde: un borde empotrado radia más que uno simplemente apoyado, y una placa con bafles perpendiculares a sus bordes más que una enrasada en un bafle infinito — los argumentos boundary y baffle eligen entre ellos. Alrededor de $f_{\mathrm{c}}$ la longitud de onda de traza de la onda de flexión coincide con la acústica, la forma de Leppington $(1-f_{\mathrm{c}}/f{)}^{-1/2}$ diverge y queda limitada por la expresión en coincidencia; el panel de abajo alcanza un máximo de $\sigma =2,6$ en la banda de 2 kHz. Solo muy por encima de $f_{\mathrm{c}}$ se asienta $\sigma$ hacia 1: un tercio de octava pasada la coincidencia este panel sigue en 1,74.

$$\sigma =\frac{1}{\sqrt{1-f_{\mathrm{c}}/f}}(f>f_{\mathrm{c}}),\sigma \to 1(f\gg f_{\mathrm{c}}).$$

Merece la pena llevarse dos consecuencias. Una placa pequeña es, por debajo de $f_{\mathrm{c}}$, mejor radiador relativo que una grande del mismo material, porque la franja de borde que radia es una fracción mayor de ella: el panel de 1,5 × 1,25 m de abajo da $\sigma =0,011$ a 100 Hz, y un panel de 0,5 × 0,4 m del mismo vidrio, 0,034. Y la caída de $R$ en la coincidencia y el pico de coincidencia de $\sigma$ son el mismo suceso visto por los dos lados — la misma $\sigma$ reaparece en el factor de transmisión del modelo detallado de EN 12354 y como el factor de radiación que mide ISO 7849.

Tres regímenes en un mismo eje. Por debajo de $f_{\mathrm{c}}$ los dos vidrios se diferencian en un factor de tres en $\sigma$ aunque son el mismo vidrio — el más pequeño radia relativamente mejor, porque su franja de borde sin cancelar es una fracción mayor de él. En la coincidencia los dos superan la unidad: el vidrio de 1,5 × 1,25 m llega a 2,61 en la banda de 2 kHz, que es la que contiene $f_{\mathrm{c}}$ = 2107 Hz. Por encima, $\sigma$ vuelve hacia 1 solo despacio: todavía 1,74 un tercio de octava pasada la coincidencia y 1,32 a 5 kHz. El panel de la derecha es la geometría que supone el modelo y la razón de que necesite dos dimensiones y una condición de borde.

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt

sig_big = radiation_efficiency(bands, 1.5, 1.25, fc)
sig_small = radiation_efficiency(bands, 0.5, 0.4, fc)

fig, (ax_l, ax_r) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.5))
ax_l.loglog(bands, sig_big.radiation_efficiency, "-o", ms=3, label="1,5 x 1,25 m")
ax_l.loglog(bands, sig_small.radiation_efficiency, "-s", ms=3, label="0,5 x 0,4 m")
ax_l.axhline(1.0, ls=":")
ax_l.axvline(fc, ls=":", color="r")
ax_l.set(xlabel="Frecuencia [Hz]", ylabel=r"Eficiencia de radiación $\sigma$")
ax_l.legend()

# Una línea — la placa con bafle que supone el modelo:
sig_big.plot_geometry(ax=ax_r)
plt.show()

from phonometry import radiation_efficiency, sound_power_from_vibration

# El panel de vidrio de 6 mm (1.5 x 1.25 m) del ejemplo de panel simple anterior.
sig = radiation_efficiency(bands, 1.5, 1.25, fc)
print(sig.radiation_efficiency[bands == 2000].round(2))
# 2.6, el pico de coincidencia: la placa radia más que un pistón cerca de fc

# Alimenta la predicción directamente a ISO 7849 como el factor de radiación:
lw = sound_power_from_vibration(velocity_level=80.0, area=1.875,
                                radiation_factor=sig.radiation_efficiency,
                                frequencies=bands)

sig.plot()   # sigma(f) con el pico de coincidencia (requiere matplotlib)

Movilidades puntuales de estructuras infinitas (Cremer Tabla 5.1)

La potencia vibratoria que inyecta una fuerza puntual es $W=\frac{1}{2}|F{|}^2\mathrm{Re}\{Y\}$ (Cremer Ec. 5.23), así que la movilidad puntual $Y$ (la inversa de la impedancia) fija cuánta energía absorbe una estructura. Para estructuras infinitas son formas cerradas: una placa delgada infinita es una resistencia pura $Z=8\sqrt{B^{\prime }{m}^{\prime \prime }}$ (real, independiente de la frecuencia), mientras que una viga infinita tiene $Y=(1-\mathrm{j})/(4m^{\prime }{c}_{\mathrm{B}})$ (45 grados, decayendo como ${\omega }^{-1/2}$). Aportan la movilidad de receptor que EN 12354-5 necesita cuando no hay medida. infinite_plate_point_mobility e infinite_beam_point_mobility devuelven esas mismas magnitudes empaquetadas como un MobilityResult de ISO 7626, así que se representan, se convierten y se informan igual que cualquier FRF medida; la guía de movilidad mecánica las lee frente al resonador SDOF y añade los casos de momento y de barra longitudinal.

from phonometry import infinite_plate_impedance, infinite_beam_mobility, injected_power

z_plate = infinite_plate_impedance(bp, mass)          # Z = 8 sqrt(B' m'') [N.s/m]
print(round(z_plate))                                 # real, independiente de la frecuencia
w = injected_power(force=10.0, mobility=1.0 / z_plate)
print(round(float(w) * 1e3, 3), "mW")                 # W = |F|^2 / (16 sqrt(B' m''))

Parámetros de las funciones

Parámetro	Tipo	Unidades	Rango / defecto	Notas
mass_per_area	float	kg/m²	> 0	Densidad superficial $m^{\prime \prime }$
critical_frequency / bending_stiffness	float	Hz / N·m	dar uno	Coincidencia $f_{\mathrm{c}}$, o $B^{\prime }$ para calcularla
loss_factor	float	—	> 0; defecto 0.01 en hoja simple, 0.1 en doble hoja	Factor de pérdidas total $\eta$
band	str	—	'third' (−5,5 dB) / 'octave' (−4,0 dB)	Ancho de la corrección de campo
mass1 / mass2	float	kg/m²	> 0	Densidades superficiales de las hojas
gap	float	m	> 0	Profundidad de cámara $d$
cavity_medium	PorousMediumResult	—	defecto None	Relleno poroso; baja $f_0$
width (rendija)	float	m	> 0	Anchura $w$ de la rendija. Segundo argumento posicional tanto de slit_transmission_coefficient como de slit_resonance_frequencies
depth (rendija)	float	m	> 0	Fondo $d$ de la rendija (el espesor de la pared). Tercer argumento posicional de slit_transmission_coefficient, primero de slit_resonance_frequencies: las dos funciones toman el par en órdenes opuestos
field / position (rendija)	str	—	'diffuse'/'normal', 'mid'/'edge'	Campo incidente y posición
radius / depth (orificio)	float	m	> 0	Radio $a$ / fondo $d$ del orificio
areas / reduction_indices	seq	m² / dB	longitud $N$	Elementos de la composición (1-D o (N, bandas))
length_x / length_y	float	m	> 0	Dimensiones de la placa (radiación)
boundary / baffle	str	—	'simply_supported'/'clamped', 'infinite'/'perpendicular'	Constantes de borde y bafle

single_panel_transmission_loss y double_wall_transmission_loss devuelven un SoundReductionResult (transmission_loss, transmission_coefficient, critical_frequency / resonance_frequency, .rating(), .plot()); las funciones de rendija y orificio devuelven un ApertureTransmissionResult (transmission_coefficient, transmission_loss, .plot()); radiation_efficiency un RadiationEfficiencyResult (radiation_efficiency, radiation_index, .plot()). Las predicciones arrastran las salvedades de sus fuentes (el método de Sharp por encima de $1,5\times$ la primera resonancia del panel; la rendija sin viscosidad de Gomperts válida para $w<0,3\lambda$; «método n.º 1» de Leppington).

Qué cubre esta guía

• Cubierto

  Las propias fórmulas fuente: la ley de masas del apartado 7.2 de Bies y el método de coincidencia de Sharp (Ec. 7.40/7.42/7.44) para un panel simple, la resonancia masa-muelle-masa de la pared doble y su ganancia de cámara que satura (Ec. 7.62-7.64), los coeficientes de transmisión de rendija de Gomperts y de orificio circular de Wilson y Soroka de Hopkins con la suma compuesta ponderada por área (Ec. 4.92), la eficiencia de radiación de placa de Leppington/Maidanik (Ec. 2.227-2.230), y las impedancias y movilidades puntuales de placas y vigas infinitas de la Tabla 5.1 de Cremer con la relación de potencia inyectada, mediante single_panel_transmission_loss, double_wall_transmission_loss, slit_transmission_coefficient, composite_transmission_loss, radiation_efficiency, infinite_plate_impedance, infinite_beam_mobility e injected_power. A ellas se suma el capítulo ortótropo de Vigran: el rango de coincidencia de un panel nervado o grecado y su pérdida por transmisión aplanada, por la integral en campo difuso o por la forma cerrada de Heckl (Ec. 6.107-6.113), las rigideces equivalentes de Timoshenko de una greca sinusoidal (Ec. 3.115) y la frecuencia propia de placa ortótropa (Ec. 3.113), mediante orthotropic_transmission_loss, orthotropic_critical_frequencies, corrugated_plate_stiffness, corrugated_plate_mass_factor y orthotropic_plate_resonance. Los muros de fábrica con cámara añaden el puente de las llaves de las Secciones 3.11.3.2 y 4.3.5.4.1 de Hopkins: las rigideces dinámicas de la Tabla A4, el conjunto de llaves actuando en paralelo con el aire de la cámara (Ec. 4.89, accesible con el argumento tie_stiffness_per_area de mass_spring_mass_resonance y double_wall_transmission_loss) y el factor de pérdidas por acoplamiento de unión puntual con conector de muelle lineal (Ecs. 4.87 y 4.88), mediante wall_tie_stiffness, wall_tie_stiffness_per_area y wall_tie_coupling_loss_factor.

• No cubierto

  Cada predicción se mantiene dentro del rango de validez que declara su fuente, que la guía señala pero no extiende: el método de Sharp (y por tanto single_panel_transmission_loss) no es válido por debajo de aproximadamente $1,5\times$ la primera resonancia del panel, donde manda el propio comportamiento modal de baja frecuencia del panel, no la ley de masas; el modelo de rendija de Gomperts solo es válido para una rendija estrecha, $w<0,3\lambda$, así que una abertura ancha queda fuera de él; y solo está implementado el «método n.º 1» de Leppington para la eficiencia de radiación, no sus otras formulaciones publicadas. Los modelos ortótropos son modelos de panel infinito en las mismas condiciones: por debajo de unos $0,7f_{\mathrm{c}1}$ la rama de Heckl infravalora $R$ en paneles pequeños, y el valle entre 2 kHz y 4 kHz que muestra la chapa grecada real proviene de resonancias de los tramos de panel entre nervios, que ninguna de las dos vías predice. Solo la greca sinusoidal tiene aquí rigideces equivalentes; la chapa trapezoidal necesita las suyas, de la bibliografía que cita Vigran. El modelo de llaves está en la misma situación por su lado de salida: las entradas son datos impresos, pero no hay tabulado ningún índice de reducción acústica publicado de un muro de fábrica con cámara puenteado, así que la penalización por bandas que causan las llaves no tiene oráculo numérico y solo está anclado el desplazamiento de la resonancia (Hopkins Fig. 4.35, de 26 Hz a 50 Hz). El factor de pérdidas por acoplamiento no se introduce aquí en un análisis estadístico de energía completo; combinarlo con el camino aéreo exigiría toda la cadena sala-placa-cámara-placa-sala.

Véase también

• Predicción del aislamiento (EN 12354): ensambla el $R$ de elemento predicho o medido en el $R_{\mathrm{w}}^{\prime }$ in situ.
• Potencia acústica a partir de la vibración (ISO 7849): consume la eficiencia de radiación predicha como su factor de radiación.
• Movilidad mecánica y la familia de FRF (ISO 7626-1): la contraparte medida de las movilidades puntuales teóricas.
• Absorbentes porosos y multicapa: los modelos de relleno de cámara que consume una pared doble.
• Referencia de la API: building.prediction.panel_transmission, building.prediction.masonry_cavity_wall, building.prediction.aperture_transmission, vibration.structural.radiation_efficiency y vibration.structural.point_mobility.
• Teoría: Aislamiento acústico y absorción, predichos: la ley de masas, la caída del aislamiento en la coincidencia y el coeficiente de transmisión que devuelven los modelos de panel.

Referencias

• Bies, D. A., Hansen, C. H. y Howard, C. Q. (2017). Engineering Noise Control (5.ª ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9781351228152apartado 7.2: la ley de masas (Ec. 7.40/7.42), la frecuencia de coincidencia (Ec. 7.3), el método de panel simple de Sharp (7.2.4.1) y el modelo de pared doble (7.2.6, Ec. 7.62-7.64). ISBN 978-1-4987-2405-0.
• Craik, R. J. M. y Wilson, R. (1995). Sound transmission through masonry cavity walls. Journal of Sound and Vibration 179(1), 79-96. https://doi.org/10.1006/jsvi.1995.0006Tabla 1: los mismos tipos de llave medidos con una cámara de 85 mm (mariposa 1,1 MN/m, doble triángulo 4,3 MN/m), que corroboran el orden de la Tabla A4 pero no sus valores, porque la rigidez dinámica se define para una anchura de cámara dada.
• Cremer, L., Heckl, M. y Petersson, B. A. T. (2005). Structure-Borne Sound (3.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/b137728Capítulo 5, Tabla 5.1: la recopilación de impedancias y movilidades puntuales de estructuras infinitas (placa Z = 8 sqrt(B' m''), viga, barra) y la potencia inyectada W = 0.5 |F|^2 Re{Y} (Ec. 5.23). ISBN 978-3-540-22696-3.
• Hall, R. y Hopkins, C. (2001). The measurement of dynamic stiffness of wall ties used in masonry cavity walls. Proceedings of the Institute of Acoustics 23(8), 259-266. La fila de cámara de 100 mm de la Tabla A4 de Hopkins: la llave de torsión vertical propietaria, con 43,4 MN/m.
• Hopkins, C. (2007). Sound insulation. Butterworth-Heinemann. https://doi.org/10.4324/9780080550473apartado 2.9 (eficiencia de radiación de placa, Leppington/Maidanik Ec. 2.227-2.230) y apartado 4.3.10 (rendijas, orificios y aberturas, Gomperts Ec. 4.99, Wilson y Soroka Ec. 4.102, composición Ec. 4.92). ISBN 978-0-7506-6526-1.
• Hopkins, C., Wilson, R. y Craik, R. J. M. (1999). Dynamic stiffness as an acoustic specification parameter for wall ties used in masonry cavity walls. Applied Acoustics 58, 51-68. https://doi.org/10.1016/S0003-682X(98)00068-1La medición que hay detrás de las filas de 50 mm de la Tabla A4 de Hopkins: mariposa 1,7 MN/m, doble triángulo 16,1 MN/m y torsión vertical 94,0 MN/m.
• Norton, M. P. y Karczub, D. G. (2003). Fundamentals of noise and vibration analysis for engineers (2.ª ed.). Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO9781139163927apartado 3.9.1: el método de la meseta según Watters, con la Tabla 3.1 (densidad superficial por milímetro, altura de la meseta y relación de frecuencias B/A) detrás de PLATEAU_MATERIALS; Ecs. 3.104/3.106 (ley de masas a incidencia de campo), Ec. 3.110 (la rama por encima de la coincidencia de la variante coincidence_model='cremer') y el problema 3.11, el muro de ladrillo resuelto que se reproduce aquí. ISBN 978-0-521-49913-2.
• Vigran, T. E. (2008). Building Acoustics. Taylor & Francis. https://doi.org/10.1201/9781482266016apartados 3.7.3.3 (frecuencias propias de placa ortótropa, Ecs. 3.113-3.115 según Timoshenko y Woinowsky-Krieger) y 6.5.3 (transmisión de paneles ortótropos, Ecs. 6.107-6.113 según Heckl 1960 y Hansen 1993). ISBN 978-0-415-42853-8.