Movilidad mecánica y la familia de FRF (ISO 7626-1)

La movilidad mecánica es el cociente complejo entre una respuesta en velocidad y la fuerza que la produce, $Y=v/F$. Es un miembro de una familia de funciones de respuesta en frecuencia (FRF) movimiento-por-fuerza: cuál se usa depende solo de si el movimiento es un desplazamiento, una velocidad o una aceleración, y cada una tiene una recíproca fuerza-por-movimiento. La ISO 7626-1:2011 define la familia completa (Tabla 1, con la definición de movilidad del 3.1.2), y el clásico resonador de un grado de libertad (SDOF) en forma cerrada sirve de referencia para esas definiciones. La ISO 7626-2:2015 añade el lado de medición: la estimación de FRF a partir de señales medidas y sus criterios de aceptación. Esta base de FRF sustenta las normas de fuente y transmisión de ruido estructural: ISO 9611, ISO 10846, EN 15657 y EN 12354-5.

Toda la familia de la Tabla 1 en una sola figura. Las tres curvas alcanzan el máximo a la misma frecuencia porque describen el mismo resonador; lo que las distingue es la pendiente a uno y otro lado de él, que difiere en una potencia de $\omega$ de una fila de la tabla a la siguiente. Por eso la receptancia realza el extremo de baja frecuencia, controlado por la rigidez, la acelerancia el de alta frecuencia, controlado por la masa, y la movilidad queda entre ambas; y por eso la movilidad es la moneda del flujo de potencia (sección 1). Cada curva va escalada por la constante que se imprime en su entrada de la leyenda ($k$, $k/{\omega }_0$ y $k/{\omega }_0^2$) para que las tres alcancen el máximo a la misma altura y sus formas sean comparables; los niveles absolutos difieren en órdenes de magnitud.

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

m, k, c = 2.0, 8000.0, 5.0
f0 = vibration.resonance_frequency(m, k)
f = np.logspace(np.log10(f0 / 20.0), np.log10(f0 * 20.0), 600)
w0 = 2.0 * np.pi * f0
h = vibration.sdof_receptance(f, m, k, c)
y = vibration.convert_frf(h, f, "receptance", "mobility")
a = vibration.convert_frf(h, f, "receptance", "accelerance")

# Escaladas por una constante cada una, no normalizadas por su propio máximo:
# la gracia está en que las tres difieren en pendiente, y dividir por el
# máximo lo oculta.
for label, frf in (("receptancia |H| x k", np.abs(h) * k),
                   ("movilidad |Y| x k/w0", np.abs(y) * k / w0),
                   ("acelerancia |A| x k/w0^2", np.abs(a) * k / w0**2)):
    plt.loglog(f, frf, label=label)
plt.axvline(f0, ls="--", color="0.6")
plt.xlabel("Frecuencia [Hz]"); plt.ylabel("Magnitud de FRF escalada")
plt.legend(); plt.show()

1. La familia de funciones de respuesta en frecuencia (Tabla 1)

Para un movimiento armónico $x{e}^{j\omega t}$ la velocidad es $j\omega x$ y la aceleración $-{\omega }^{2}x$, de modo que las tres FRF movimiento-por-fuerza se derivan de la receptancia $H$ por una potencia de $j\omega$, y cada una tiene una recíproca fuerza-por-movimiento:

Movimiento	FRF (movimiento / fuerza)	Unidad	Recíproca (fuerza / movimiento)	Unidad
desplazamiento	receptancia $H=x/F$	m/N	rigidez dinámica $1/H$	N/m
velocidad	movilidad $Y=j\omega H$	m/(N·s)	impedancia $1/Y$	N·s/m
aceleración	acelerancia $A=-{\omega }^{2}H$	1/kg	masa aparente $1/A$	kg

La figura del principio de esta página es esa tabla dibujada: el mismo resonador visto por sus tres filas, con una potencia de $\omega$ de diferencia entre cada una.

convert_frf pasa entre cualquiera de las seis FRF, usando la receptancia como pivote. Una FRF de punto de excitación tiene la respuesta y la fuerza en el mismo punto ($i=j$); una FRF de transferencia las tiene en puntos distintos. Los tipos fuerza-por-movimiento son recíprocas elemento a elemento, es decir, las magnitudes libres de la ISO 7626-1, 3.1.4; las magnitudes matriciales bloqueadas de la Tabla 1 no se invierten elemento a elemento en sistemas de varias coordenadas (la Tabla 1 llama además «masa efectiva» a $F/a$, la magnitud aquí denominada masa aparente).

from phonometry import vibration

# Una movilidad de 2e-3 m/(N.s) a 80 Hz, expresada como las demás FRF:
Y = 2e-3
print(round(abs(vibration.convert_frf(Y, 80.0, "mobility", "impedance")), 1))     # 500.0  N.s/m
print(f"{abs(vibration.convert_frf(Y, 80.0, 'mobility', 'accelerance')):.3f}")    # 1.005  1/kg

La elección entre las tres FRF de movimiento es de conveniencia, no de física: llevan la misma información y convert_frf pasa de una a otra de forma exacta. La acelerancia es lo que entrega directamente una medición con acelerómetros; la movilidad es la moneda natural de las normas de potencia estructural (la potencia es fuerza por velocidad, de modo que $P=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\{Y\}|F{|}^2$ en un contacto); las recíprocas aparecen cuando una fuente se describe por lo que impone y no por cómo responde. Una movilidad en el punto de excitación se lee como tres regímenes, una línea de rigidez, un pico y una línea de masa, que la sección 4 muestra sobre la gráfica.

Por qué la potencia la deciden dos movilidades

Que $P=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\{Y\}|F{|}^2$ es solo la mitad de la historia, porque la fuerza en un contacto no viene dada: es lo que acuerdan las dos estructuras. Acopla una fuente de velocidad libre $v_{\mathrm{f}}$ y movilidad $Y_{\text{fuente}}$ a un receptor de movilidad $Y_{\text{receptor}}$ y la fuerza de contacto es

$$F=\frac{v_{\mathrm{f}}}{Y_{\text{fuente}}+Y_{\text{receptor}}},$$

de modo que la potencia que cruza depende de ambas movilidades a través de su suma. De ahí salen dos límites, y cada norma posterior está construida sobre uno de ellos.

• Cuando $|Y_{\text{fuente}}|\gg |Y_{\text{receptor}}|$ la fuente se comporta como una fuente de velocidad: entrega su velocidad libre haga lo que haga el receptor, y es la movilidad del receptor la que fija la fuerza.
• Cuando $|Y_{\text{fuente}}|\ll |Y_{\text{receptor}}|$ se comporta como una fuente de fuerza y entrega su fuerza bloqueada. Esa es la idealización en torno a la que están escritas la ISO 10846 y la EN 15657, y es la razón de que la rigidez de transferencia pueda caracterizar un aislador por una fuerza de bloqueo.
• La transferencia máxima de potencia queda entre ambos, con movilidades adaptadas. Y esa es la manera útil de leer un soporte elástico: funciona haciendo el lado de la fuente más móvil que el receptor, no absorbiendo nada.

Todo lo que mide el resto de esta página existe para poner número a una de esas dos movilidades.

2. El resonador SDOF de referencia (forma cerrada)

La referencia canónica en forma cerrada, expresada en la taxonomía de FRF de la Tabla 1 / 3.1.2, es una masa $m$, un amortiguamiento viscoso $c$ y una rigidez $k$, cuya receptancia es

$$H(\omega )=\frac{1}{k-{\omega }^{2}m+j\omega c},{\omega }_0=\sqrt{k/m}.$$

En la resonancia ${\omega }_0$ la movilidad en el punto de excitación es puramente real e igual a $1/c$ (el máximo de movilidad mide el amortiguamiento) mientras que la receptancia estática ($\omega \to 0$) es la flexibilidad $1/k$. «Puramente real» es una afirmación sobre la fase, y se generaliza: la fase de una movilidad en el punto de excitación va de $+90°$ en la línea de rigidez a $-90°$ en la línea de masa pasando por $0°$ en cada resonancia, y nunca sale de esa banda, sea cual sea la estructura (ISO 7626-2, A.4). Una FRF medida en el punto de excitación cuya fase se salga de $\pm 90°$ no es una FRF de punto de excitación: el acelerómetro y el transductor de fuerza no están en el mismo punto, o la fijación es flexible. Una FRF de transferencia, en cambio, puede caer en cualquier cuadrante. El mismo apartado añade una segunda comprobación que sale gratis: una FRF de punto de excitación presenta una antirresonancia entre cada par de resonancias, y que falte una indica un desplazamiento entre los dos transductores.

import numpy as np
from phonometry import vibration

m, k, c = 2.0, 8000.0, 5.0
f0 = vibration.resonance_frequency(m, k)             # 10.07 Hz

y0 = complex(vibration.sdof_mobility(f0, m, k, c))
print(round(y0.real, 4), round(y0.imag, 6))   # 0.2 0.0   -> |Y(f0)| = 1/c
print(round(complex(vibration.sdof_receptance(1e-6, m, k, c)).real, 7))  # 0.000125 = 1/k

3. FRF medidas y sus criterios de aceptación (ISO 7626-2)

En la disposición habitual de ISO 7626-2 la estructura cuelga de una suspensión flexible (la norma admite estructuras suspendidas libremente o ancladas; el apartado 5.2 pide que un apoyo anclado sea representativo de la aplicación prevista), un excitador ataca un punto a través de una cabeza de impedancia (una pila de transductores que mide fuerza y aceleración en el mismo punto, lo que da al montaje con excitador acoplado su FRF de punto de excitación) y acelerómetros recogen la respuesta en otros puntos para las FRF de transferencia. ISO 7626-5 cubre la alternativa de excitación por impacto con un excitador no unido a la estructura, en la práctica casi siempre un martillo instrumentado: cambia el espectro controlado del excitador acoplado por rapidez, con un espectro de excitación fijado por la masa del impactador y la rigidez de la punta.

Qué tiene que hacer la suspensión (apartado 5.3)

«Lo bastante blanda» no es el criterio; el apartado 5.3 de la ISO 7626-2 da tres números, y el primero de ellos es un criterio de movilidad, comprobable con las funciones que esta página ya ha presentado.

• La movilidad en el punto de excitación de la suspensión en cada punto de sujeción debería ser al menos diez veces la de la estructura en ese mismo punto, en todo el rango de frecuencias de interés. Este es el requisito que importa, porque es el que mantiene la suspensión fuera de la respuesta.
• Como requisito mínimo, toda resonancia de sólido rígido de la estructura suspendida debe quedar por debajo de la mitad de la frecuencia más baja de interés: la frecuencia más baja de interés, no el primer modo elástico.
• Las masas de los componentes de la suspensión próximos a la estructura (ganchos, tensores) deben ser menores que una décima parte de la masa efectiva libre de la estructura en cada frecuencia de interés.

Y cuatro reglas prácticas que las acompañan: sujetar cerca de los puntos nodales, localizados con ensayos previos, para que la suspensión interfiera lo menos posible; llevar los cables perpendiculares a la dirección de excitación cuando sea viable, contando con que aun así las vibraciones transversales de los cables afectarán a los datos; mantener las resonancias de la suspensión bien lejos de las frecuencias modales de la estructura, porque los cordones elásticos y las almohadillas de espuma aportan masa pero poco amortiguamiento; y vigilar el amortiguamiento que añade la propia suspensión, que el apartado señala como PRECAUCIÓN. La suspensión empleada debe describirse en el informe de ensayo.

La regla del 10× merece ejecutarse, no citarse. Para el resonador de la sección 2 el caso peor es su propio pico, donde la estructura es lo más móvil que llega a ser:

# `vibration` lo importa el bloque de la figura de más arriba; los bloques de
# una página se ejecutan en orden de lectura.
f0 = vibration.resonance_frequency(2.0, 8000.0)                   # 10.07 Hz
y_structure = abs(complex(vibration.sdof_mobility(f0, 2.0, 8000.0, 5.0)))
print(round(y_structure, 3))                                      # 0.2 = 1/c

# La suspensión vista en el mismo punto, desconectada de la estructura:
# un cordón elástico de 31,6 N/m, cuya movilidad propia es omega / k.
y_suspension = abs(complex(
    vibration.convert_frf(31.6, f0, "dynamic_stiffness", "mobility")))
print(round(y_suspension / y_structure, 1))       # 10.0 -> apartado 5.3 cumplido

Ese cordón deja el rebote de sólido rígido de la estructura de 2 kg en 0,63 Hz, así que el requisito mínimo se cumple con holgura para cualquier frecuencia más baja de interés por encima de 1,3 Hz. La regla de movilidad es la que ata, y es el mismo criterio, en las mismas unidades, que la regla de acoplo del excitador de más abajo: todo lo que se fije a la estructura debe ser al menos diez veces más móvil que la estructura misma.

Fijar el excitador (apartado 6.4.4)

La ISO 7626-2 llama al acoplo del excitador «a menudo el problema más difícil que aparece al usar excitadores de vibración fijos para medir la movilidad de estructuras ligeras», y le dedica un criterio y un diseño.

• El criterio de sujeción. Con el excitador y sus accesorios desconectados de la estructura, las movilidades laterales y rotacionales en el punto de excitación del acoplo deben ser al menos diez veces mayores, en todas las frecuencias de interés, que los elementos correspondientes de la matriz de movilidad en el punto de excitación de la estructura. Un excitador que no lo cumpla sujeta la estructura lateral y rotacionalmente, y los primeros modos son las primeras víctimas.
• La varilla de arrastre. Rigidez alta a lo largo del eje de excitación y flexibilidad suficiente en todas las demás direcciones: lo habitual son varillas esbeltas y cortas, pero pueden dar mejor resultado varillas gruesas con tramos delgados y flexibles cerca de cada extremo. Alinea el excitador y la varilla con el eje del transductor de fuerza. Dos cosas que vigilar: los modos de flexión de la propia varilla dentro del rango de frecuencias pueden interferir en la medición, y la flexión del sistema móvil del excitador puede inyectar momentos que el transductor de fuerza nunca llega a ver.
• Dónde van los dos transductores, que es donde se decide la validez y lo que dibuja el recuadro de la figura anterior. Con una varilla de arrastre flexible, el acelerómetro debe fijarse directamente a la estructura, nunca a través de la varilla, cuya flexibilidad axial invalida la medida de la respuesta. El transductor de fuerza debe medir la fuerza transmitida de la varilla a la estructura; ponerlo en el extremo del excitador se admite «solo con extrema precaución», y entonces hay que comprobar la flexibilidad de la varilla según la ISO 7626-1 y compensar su masa con el procedimiento de cancelación de masa de más abajo.
• Los conos reductores de área pueden hacer falta para aproximar una fuerza puntual, y ellos mismos pueden introducir un momento espurio si se usan sin cuidado.

Qué le hacen los transductores a la respuesta (apartados 6.4.2, 6.4.3 y 7.3)

Todo transductor que se fija añade masa, y la fuerza espuria necesaria para acelerar esa masa se mide como si la hubiera producido la estructura. Lo dañino es la consecuencia: una carga de inercia sin compensar desplaza las frecuencias de los picos de respuesta, y una resonancia medida en el sitio equivocado la hereda todo lo que viene después: el ajuste modal, el amortiguamiento por el ancho de banda de media potencia, la lectura $|Y|=1/c$ de la sección 2. La inercia rotacional hace lo mismo con los momentos (6.4.3), y las cabezas de impedancia son las peores, porque su momento de inercia respecto del punto de montaje puede ser grande.

La secuencia de la norma es: elegir la menor masa y la menor inercia compatibles con la sensibilidad; y si eso no basta, compensar.

• Cuándo actuar. Debe considerarse la compensación electrónica cuando la magnitud de la movilidad en el punto de excitación de la estructura supere $0,01/(f{m}_{\mathrm{t}})$ en todas las frecuencias de interés, siendo $m_{\mathrm{t}}$ la masa efectiva total de los accesorios de acoplo más la masa de extremo efectiva del transductor de fuerza o de la cabeza de impedancia (y la de un acelerómetro independiente en el punto de excitación, si se monta uno).
• En qué consiste. «Cancelación de masa»: multiplicar la aceleración en el punto de excitación por $m_{\mathrm{t}}$ y restar el producto de la señal de fuerza, en analógico o digitalmente. Una medición de movilidad de transferencia necesita por tanto un acelerómetro aparte en el punto de excitación que suministre esa señal.
• Qué no puede hacer. Compensa solo la inercia de traslación en el punto de excitación y en la dirección de excitación, nunca la inercia rotacional. La norma recomienda encarecidamente reconsiderar la selección de transductores y rediseñar los accesorios de acoplo antes que recurrir a ella, y la confina al rango en que la razón entre la masa efectiva del acoplo y los transductores y la masa efectiva libre de la estructura en el punto de excitación queda entre 0,05 y 0,5.
• El apartado 7.2 añade la regla que hace repetible todo lo anterior: los transductores montados con espárrago se aprietan al par que recomienda el fabricante, y la flexibilidad de la fijación se comprueba según la ISO 7626-1.

Para el resonador de la sección 2 el umbral es fácil de situar. Su movilidad en el punto de excitación alcanza $1/c=0,2$ m/(N·s) a 10,07 Hz; con una cabeza de impedancia y accesorios de 20 g ($m_{\mathrm{t}}=0,02$ kg) el umbral $0,01/(f{m}_{\mathrm{t}})$ vale allí 0,050 m/(N·s), así que en su pico la estructura está cuatro veces por encima. Toma en su lugar una cabeza de 2 g y el umbral sube a 0,50 m/(N·s), por encima del pico. El umbral baja cuando sube la masa añadida, que es justo su razón de ser: la misma estructura necesita compensación con un transductor pesado y no la necesita con uno ligero.

El procesado de registros medidos con excitación aleatoria según la ISO 7626-2, 8.1.3 (el estimador H1, $\hat{H}=G(\text{respuesta},\text{fuerza})/G(\text{fuerza},\text{fuerza})$) y la coherencia ordinaria ${\gamma }^2=|G_{xy}{|}^2/(G_{xx}{G}_{yy})$ de sus comprobaciones de calidad son los estimadores espectrales ya existentes de la biblioteca, transfer_function y coherence (H1 es su valor por defecto).

Leer la coherencia, y el único sesgo que tiene H1 (Anexo A.1)

El Anexo A.1 es una tabla de diagnóstico, y es la página de la norma de la que más partido se saca de inmediato. Una coherencia bastante por debajo de 1 dice algo concreto según dónde cae.

• Muescas en las resonancias y antirresonancias significan resolución en frecuencia insuficiente (que además sesga la FRF calculada), ponderación temporal insuficiente, una estructura no lineal o un amplificador saturado, más de una fuerza de entrada, o ruido de digitalización y ruido electrónico por una fuerza de excitación insuficiente.
• Muescas en las resonancias en concreto pueden significar además que la fuerza del excitador cae ahí, algo inherente cuando un excitador ataca una estructura poco amortiguada. De ahí sale el sesgo que conviene conocer antes de recomendar H1: si la señal de fuerza cae por debajo del suelo de ruido, la estimación H1, el espectro cruzado dividido por el autoespectro de fuerza, sale demasiado baja, justo en el pico de resonancia del que se está enseñando a leer el amortiguamiento. H2 (autoespectro de respuesta en el denominador) tiene el sesgo contrario, y es al que hay que recurrir cuando el ruido está en la fuerza; Hv queda entre ambos. transfer_function da H1 por defecto.
• Una caída suave en todo el rango es una relación señal-ruido pobre, casi siempre por rango dinámico insuficiente: conforma el espectro de excitación, o usa promediado síncrono en el dominio del tiempo.
• Una coherencia baja en cualquier sitio puede ser sencillamente no linealidad.

Dos avisos pillan a los principiantes. Una coherencia calculada a partir de un único registro vale siempre un ficticio 1,0, así que no significa nada mientras no haya varios promedios. Y una coherencia alta no demuestra que los datos sean válidos: puede indicar igualmente diafonía entre los canales de fuerza y de respuesta.

Los criterios de aceptación

Además de los estimadores, se ofrecen dos criterios de aceptación de la ISO 7626-2:

• Calibración operacional con masa rígida (7.5.2). La FRF medida de un bloque rígido de masa conocida, suspendido libremente, debe coincidir dentro de ±5 % con $|A|=1/m$ (acelerancia) o $|Y|=1/(2\pi fm)$ (movilidad).
• Error aleatorio (Anexo A + 8.1.3). Deben promediarse suficientes espectros para que el error aleatorio normalizado $\epsilon =\sqrt{(1-{\gamma }^2)/(2n{\gamma }^2)}$ en cada resonancia de una movilidad de punto de excitación quede por debajo del 5 %.

import numpy as np
from phonometry import vibration

# Un bloque de calibración de 10 kg: |A| debe ser 1/m = 0,100 1/kg en toda frecuencia.
f = np.array([20.0, 100.0, 500.0])
res = vibration.rigid_mass_calibration_check([0.100, 0.102, 0.097], f, mass=10.0)
print(res.passed, res.within_tolerance.tolist())   # True [True, True, True]

# El ejemplo del Anexo A: coherencia 0,8 necesita unos 75 promedios para < 5 %.
print(round(float(vibration.random_error_percent(0.8, 75)), 2))   # 4.08  %

El criterio de error aleatorio es una decisión que se toma antes de medir, no una comprobación posterior, y cuántos promedios cuesta depende mucho de la coherencia que se espere:

Lo que cuesta el criterio, en función de lo buena que ya sea la medición. Llegar al 5 % cuesta 11 promedios con ${\gamma }^2=0,95$ y 200 con ${\gamma }^2=0,5$: un factor veinte por un factor dos en coherencia. Ese es el argumento para arreglar la medición, con el diagnóstico del Anexo A.1 de más arriba, en lugar de promediar para taparla.

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

averages = np.unique(np.round(np.logspace(np.log10(2.0), np.log10(1000.0), 260)))
for coherence in (0.5, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95):
    error = [float(vibration.random_error_percent(coherence, int(n)))
             for n in averages]
    plt.loglog(averages, error, label=f"coherencia {coherence}")
    # El n con el que esta coherencia alcanza el criterio del 5 %.
    print(coherence, round((1.0 - coherence) / (2.0 * coherence * 0.05**2)))
plt.axhline(5.0, ls="--", color="0.4")
plt.xlabel("Número de espectros promediados"); plt.ylabel("Error aleatorio [%]")
plt.legend(); plt.show()

Tres ensayos más que pide la norma y que esta página no ejecuta

El apartado 10 es explícito en que el procedimiento de promediado del Anexo A.1 se aplica a la excitación aleatoria, y en que «en A.2 a A.4 se describen ensayos adicionales, aplicables a todos los tipos de excitación». Esos tres no están implementados aquí, pero son baratos, y una medición que solo ha pasado los dos criterios anteriores todavía no está validada.

• A.2, linealidad. Las uniones atornilladas, las holguras de los apoyos y detalles parecidos hacen no lineales las estructuras reales. Mide la FRF y repítela con la amplitud de excitación bastante aumentada y bastante disminuida; si los resultados no coinciden, la causa exige un análisis más detenido. El apartado lo pide en el transcurso de cada serie de ensayos, y es la comprobación que atrapa lo que una muesca de coherencia solo insinúa.
• A.3, reciprocidad. Para una estructura elástica lineal $Y_{ij}(f)=Y_{ji}(f)$: intercambia el excitador y el acelerómetro de respuesta y la movilidad de transferencia debe salir igual. Es un ensayo potente de extremo a extremo de toda la cadena, sujeciones incluidas, y cuesta una medición más. (Algunos elementos, los cojinetes hidrodinámicos entre ellos, no son recíprocos de verdad; entre un elemento así y el punto de excitación el ensayo no se aplica.)
• A.4, punto de excitación frente a transferencia. Las comprobaciones de fase y de antirresonancia de la sección 2: una FRF de punto de excitación se queda dentro de $\pm 90°$ y presenta una antirresonancia entre cada par de resonancias.

Conviene mantener la distinción: A.1 es un criterio de precisión, que responde a cuántos promedios cuesta un error aleatorio dado, mientras que A.2 a A.4 son criterios de validez que ningún promediado arregla.

La verificación de calibración devuelve un RigidMassCalibrationResult con la desviación por frecuencia y los indicadores de cumplimiento, y un .plot(): la magnitud de la FRF medida frente a la recta de masa rígida con su banda de tolerancia de ±5 % (panel superior) y la desviación relativa frente a la misma banda (panel inferior, donde una tolerancia de pocos por ciento es realmente legible). Una calibración que se sale de la banda hacia unos pocos kHz señala un error del transductor o de la flexibilidad del acoplamiento, justo lo que la verificación pretende detectar:

import numpy as np
from phonometry import vibration

m = 10.0                                                  # masa del bloque de calibración
f = np.logspace(np.log10(20.0), np.log10(5000.0), 400)
drift = 0.05 * (f / 2500.0) ** 2                          # deriva en alta frecuencia
measured = (1.0 / m) * (1.0 + 0.015 * np.sin(2 * np.pi * np.log10(f)) + drift)
res = vibration.rigid_mass_calibration_check(measured, f, mass=m)
print(res.passed)                                         # False (la deriva supera el 5 %)
res.plot()

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

m = 10.0
f = np.logspace(np.log10(20.0), np.log10(5000.0), 400)
drift = 0.05 * (f / 2500.0) ** 2
measured = (1.0 / m) * (1.0 + 0.015 * np.sin(2 * np.pi * np.log10(f)) + drift)
res = vibration.rigid_mass_calibration_check(measured, f, mass=m)
bad = ~res.within_tolerance

fig, (top, bot) = plt.subplots(2, 1, sharex=True, figsize=(10, 7),
                               gridspec_kw={"height_ratios": [1.5, 1.0]})
top.fill_between(f, res.expected * 0.95, res.expected * 1.05, color="C1",
                 alpha=0.15, label="banda de tolerancia ±5 %")
top.semilogx(f, res.expected, "--", color="C1", label="esperado |A| = 1/m")
top.semilogx(f, res.measured, color="C0", label="dentro de tolerancia")
top.semilogx(f[bad], res.measured[bad], "o", color="C1", label="fuera de tolerancia")
top.set_ylabel("Acelerancia |A| [1/kg]"); top.legend()

bot.axhspan(-5.0, 5.0, color="C1", alpha=0.15)
bot.semilogx(f, 100.0 * res.deviation, color="C0")
bot.semilogx(f[bad], 100.0 * res.deviation[bad], "o", color="C1")
bot.set_xlabel("Frecuencia [Hz]"); bot.set_ylabel("Desviación [%]")
plt.show()

4. El objeto MobilityResult

sdof_mobility_result agrupa la FRF en frecuencia en un MobilityResult, que expone .magnitude, .phase, .to(target) (cualquier tipo de la Tabla 1) y un .plot() de $|Y(f)|$ con la resonancia marcada:

import numpy as np
from phonometry import vibration

f = np.logspace(np.log10(0.5), np.log10(200.0), 400)
res = vibration.sdof_mobility_result(f, mass=2.0, stiffness=8000.0, damping=5.0)
z = res.to("impedance")                        # impedancia = 1/Y por frecuencia
print(res.frequencies[int(np.argmax(res.magnitude))].round(1))   # ~10.1 Hz

res.plot()   # |Y(f)| con la resonancia marcada (requiere matplotlib)

Leer una movilidad en el punto de excitación es un diagnóstico estructural. Por debajo de la resonancia la magnitud sube por la línea de rigidez $\omega /k$, por encima baja por la línea de masa $1/(\omega m)$, y la altura del pico entre ambas es $1/c$, una lectura directa del amortiguamiento para este resonador aislado; en una estructura real con modos solapados, el amortiguamiento se estima en cambio con ajuste modal o con el ancho de banda de media potencia. El panel inferior es esa misma afirmación en fase: $+90°$ en la línea de rigidez, $-90°$ en la línea de masa y exactamente $0°$ en la resonancia, que es lo que significa «puramente real» y por qué el pico vale $1/c$.

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

m, k, c = 2.0, 8000.0, 5.0
f = np.logspace(np.log10(0.5), np.log10(200.0), 400)
res = vibration.sdof_mobility_result(f, mass=m, stiffness=k, damping=c)

# Una línea: |Y(f)| con la resonancia marcada:
res.plot(language="es")
plt.show()

# A mano, añadiendo las asíntotas de rigidez y de masa que describe la prosa:
w = 2.0 * np.pi * f
fig, ax = plt.subplots()
ax.loglog(f, res.magnitude, label="|Y(f)| en el punto de excitación")
ax.loglog(f, w / k, ":", label="línea de rigidez ω/k")
ax.loglog(f, 1.0 / (w * m), ":", label="línea de masa 1/(ωm)")
ax.axhline(1.0 / c, ls="--", color="0.6", label="pico |Y| = 1/c")
ax.set_xlabel("Frecuencia [Hz]")
ax.set_ylabel("Movilidad |Y| [m/(N·s)]")
ax.set_title("Lectura de una movilidad en el punto de excitación (ISO 7626-1)")
ax.legend()
plt.show()

5. Movilidades de referencia cuando no se ha medido nada

El SDOF es una referencia para las definiciones, no un modelo de nada que tenga en sus manos un acústico de la edificación. En una placa grande o una viga larga, excitadas lejos de sus bordes, las ondas reflejadas que hacen resonar a una estructura real se han extinguido antes de volver, y la movilidad en el punto de excitación toma la forma cerrada de la estructura infinita equivalente, que es exactamente el sustituto que quiere la EN 12354-5 para una movilidad de receptor cuando no hay medida. Tres personajes, de la Tabla 5.1 de Cremer, Heckl y Petersson:

• la placa infinita es una resistencia real pura, $Y=1/(8\sqrt{B^{\prime }{m}^{\prime \prime }})$, independiente de la frecuencia: absorbe igual a todas las frecuencias y no tiene pico del que leer un amortiguamiento;
• la viga infinita es $Y=(1-\mathrm{j})/(4m^{\prime }{c}_{\mathrm{B}})$, es decir, $-45°$ de fase a toda frecuencia y una magnitud que cae como ${\omega }^{-1/2}$, porque la propia velocidad de la onda de flexión $c_{\mathrm{B}}$ crece como $\sqrt{\omega }$;
• una barra en movimiento longitudinal es $Y=1/(\rho c_{\mathrm{L}}S)$, otra vez real y plana: el análogo mecánico de una línea de transmisión adaptada.

import numpy as np

f = np.array([50.0, 500.0])

# Una losa de hormigón de 140 mm: E = 30 GPa, nu = 0,2, rho = 2400 kg/m3.
b_plate = vibration.plate_bending_stiffness(3.0e10, 0.14, 0.2)
plate = vibration.infinite_plate_point_mobility(f, b_plate, 336.0)
print(f"{float(plate.magnitude[0]):.3e}", round(float(np.degrees(plate.phase[0]))))
#  2.551e-06 0     -> real, y lo mismo a 500 Hz

# Una viga de acero de 100 x 200 mm, excitada en un punto lejos de sus extremos.
b_beam = 2.1e11 * 0.1 * 0.2**3 / 12.0
beam = vibration.infinite_beam_point_mobility(f, b_beam, 7800.0 * 0.02)
print(f"{float(beam.magnitude[0]):.3e}", round(float(np.degrees(beam.phase[0]))))
#  7.388e-06 -45
print(np.round(vibration.beam_bending_wave_speed(f, b_beam, 7800.0 * 0.02), 1))
#  [306.8 970.1]  -> c_B crece como sqrt(f), así que |Y| cae como 1/sqrt(f)

Ambos constructores devuelven un MobilityResult, así que se representan, se convierten con .to() y se informan exactamente igual que el SDOF de más arriba. Otros dos cubren los grados de libertad que ese par deja fuera: infinite_beam_moment_mobility es la movilidad rotacional que necesitan una línea de unión o un soporte atornillado por dos puntos, en rad/(N·m·s), para cuando la excitación es un momento y no una fuerza; y longitudinal_rod_mobility (con su recíproca longitudinal_rod_impedance) cubre un puntal o un tramo de tubería cargados a lo largo de su eje.

El contraste al que va toda la sección. Una estructura infinita no devuelve nunca nada reflejado, así que no tiene resonancia ni pico: la placa y la barra son reales y planas, la viga cae como $f^{-1/2}$ con un $-45°$ constante. Leer una gráfica de movilidad como «línea de rigidez, pico, línea de masa» es una afirmación sobre estructuras finitas; una placa grande es el caso en que no aparece ninguna de las tres.

# Una línea cada una, sobre los mismos ejes que el SDOF de la sección 4.
plate.plot(language="es")
beam.plot(language="es")

¿A dónde van estos números? Al aislamiento acústico de paneles, que usa las mismas funciones para poner precio a la radiación de un panel, y a la movilidad de receptor de EN 12354-5 del ruido estructural instalado.

Ficha de informe

MobilityResult.report(path) genera un informe de una página con la medición de movilidad mecánica (definiciones de FRF de la ISO 7626-1:2011, medición según la ISO 7626-2:2015). La movilidad es una función de respuesta en frecuencia continua, no una magnitud por bandas de octava, de modo que la ficha la presenta con honestidad como el espectro de magnitud $|Y(f)|$ más una tabla compacta de puntos característicos (el tipo de FRF, en punto de excitación o de transferencia, el rango de frecuencias, la frecuencia del máximo, la movilidad máxima y la fase allí), y una movilidad máxima $|Y|$ enmarcada a la frecuencia en que ocurre (para una FRF en punto de excitación, una resonancia donde $|Y|=1/c$ mide el amortiguamiento). Es una caracterización, así que no hay veredicto de cumple/no cumple; language="es" genera la ficha en español. La ficha siempre incrusta el espectro $|Y(f)|$, por lo que necesita los extras de informe y de gráficos (pip install "phonometry[report,plot]").

from phonometry import ReportMetadata, vibration

res = vibration.sdof_mobility_result(f, mass=2.0, stiffness=8000.0, damping=5.0)
res.report(
    "movilidad.pdf",
    metadata=ReportMetadata(
        specimen="Soporte de máquina (punto de excitación)",
        measurement_standard="ISO 7626-2",
    ),
    language="es",
)   # ficha de una página (necesita phonometry[report,plot])

Ficha de movilidad mecánica de una página: una cabecera de metadatos, una tabla de los puntos característicos de la FRF (el tipo de FRF, el rango de frecuencias, la frecuencia del máximo, la movilidad máxima y la fase allí) junto al espectro de magnitud de la movilidad, y la movilidad máxima enmarcada.

Descargar el informe (PDF)

Ficha de movilidad mecánica (MobilityResult.report): los puntos característicos de la FRF y el espectro de magnitud de la movilidad.

Qué cubre esta guía

• Cubierto

  La familia de FRF de la ISO 7626-1:2011 (Tabla 1): receptancia, movilidad y acelerancia, con sus recíprocas fuerza-por-movimiento, que se convierten entre sí con convert_frf. También se cubren la distinción entre punto de excitación y transferencia, y el resonador SDOF en forma cerrada usado como referencia (sdof_receptance, sdof_mobility, sdof_accelerance, resonance_frequency, sdof_mobility_result), y las movilidades puntuales de estructura infinita que hacen de sustituto de una placa, una viga o un puntal reales (infinite_plate_point_mobility, infinite_beam_point_mobility, infinite_beam_moment_mobility, longitudinal_rod_mobility y sus recíprocas de impedancia, con plate_bending_stiffness y beam_bending_wave_speed). En el lado de medición también se cubre el procesado H1 de excitación aleatoria de la ISO 7626-2:2015 (transfer_function, coherence, compartidos con la guía de electroacústica), junto con dos criterios de aceptación: la calibración operacional con masa rígida del 7.5.2 (rigid_mass_calibration_check) y el criterio de error aleatorio del Anexo A (random_error_percent).

• No cubierto

  La ISO 7626-5 cubre la excitación por martillo de impacto como alternativa al excitador acoplado. Se nombra aquí solo como contexto: ninguna función sintetiza ni procesa un espectro de excitación por impacto. Las magnitudes matriciales bloqueadas de la Tabla 1, necesarias para sistemas de varias coordenadas, tampoco están implementadas. convert_frf devuelve solo las recíprocas libres elemento a elemento de la ISO 7626-1, 3.1.4, correctas para el punto de excitación o para una sola vía, pero no para una matriz de FRF completa. Del procedimiento de aceptación solo se calculan los dos criterios anteriores: las reglas de suspensión del apartado 5.3, el criterio de acoplo del excitador del 6.4.4, el umbral de cancelación de masa del 7.3 y los ensayos de linealidad, reciprocidad y punto de excitación de A.2 a A.4 se describen aquí y se dejan al operador, igual que la Desigualdad 3 de la ISO 10846 se describe pero no se calcula en la página de rigidez de transferencia.

Véase también

• Rigidez dinámica de transferencia (ISO 10846): el límite de fuerza bloqueada de la sección 1, aplicado a caracterizar un aislador.
• Potencia acústica estructural de equipos (EN 15657): donde la movilidad y la velocidad libre de una fuente se convierten en una potencia instalada.
• Ruido estructural instalado (EN 12354-5): la predicción que consume una movilidad de receptor, medida o tomada de la sección 5.
• Transmisión de onda de flexión en uniones de placas: en qué se convierten en una unión entre dos de ellas las movilidades de placa de la sección 5.
• Respuesta en frecuencia y coherencia: los estimadores transfer_function y coherence que ejecuta la sección 3.
• Referencia de la API: vibration.structural.mechanical_mobility.
• Teoría: Movilidades puntuales y eficiencia de radiación: las movilidades puntuales de estructura infinita y la eficiencia de radiación, y por qué son promedios en torno a los que oscila una estructura finita.

Referencias

• Cremer, L., Heckl, M. y Petersson, B. A. T. (2005). Structure-borne sound: Structural vibrations and sound radiation at audio frequencies (3.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/b137728La monografía de referencia sobre vibración estructural: movilidades de punto y de transferencia de vigas y placas, y el flujo de potencia P = ½·Re{Y}·|F|² que hace de la movilidad la magnitud de trabajo de esta página. ISBN 978-3-540-22696-3.
• International Organization for Standardization. (2011). Mechanical vibration and shock — Experimental determination of mechanical mobility — Part 1: Basic terms and definitions, and transducer specifications (ISO 7626-1:2011). La familia de FRF y sus recíprocas (Tabla 1, con las definiciones de movilidad del 3.1.2 y de magnitud libre del 3.1.4), las distinciones libre/bloqueada y la distinción punto de excitación / transferencia implementadas aquí. La conformidad se ancla en las identidades en forma cerrada del SDOF coherentes con esas definiciones: el máximo de movilidad en el punto de excitación |Y(ω0)| = 1/c, la receptancia estática H(0) = 1/k y la reciprocidad exacta de la Tabla 1 impedancia·movilidad = 1.
• International Organization for Standardization. (2015). Mechanical vibration and shock — Experimental determination of mechanical mobility — Part 2: Measurements using single-point translation excitation with an attached vibration exciter (ISO 7626-2:2015). El lado de medición: el procesado H1 de excitación aleatoria del 8.1.3, la calibración operacional con masa rígida del 7.5.2 (±5 %) y el criterio de error aleatorio del Anexo A (< 5 % en las resonancias). La conformidad se ancla en los valores de la calibración con masa rígida (|A| = 0,100 1/kg para 10 kg; |Y| = 1,59155e-4 m/(N·s) a 100 Hz) y el ejemplo del Anexo A (γ² = 0,8, n = 75 → ε = 4,08 %).