Vibración junto a una vía férrea (DIN 45672)

Un tren que pasa junto a una casa mete vibración en el terreno durante veinte segundos y se va, y la pregunta rara vez es qué fueron esos veinte segundos. Es si la vibración en el edificio es mayor que junto al muro de la vía, si la manta bajo el balasto cambió algo, o si los mercancías de la noche son peores que los de viajeros del día. Todas comparan dos números, y dos números solo se pueden comparar si se formaron del mismo modo.

Para eso está la DIN 45672. La parte 1 dice cómo medir junto a una vía: dónde van los captadores, qué direcciones, qué trenes, qué tiene que llevar el informe. La parte 2 dice cómo reducir el registro una vez que existe, y es la parte que implementa esta página, con el vibrómetro de la DIN 45669-1 en su rango de trabajo ferroviario de 4 Hz a 315 Hz. Ninguna de las dos dice qué puede valer el resultado: la valoración es la DIN 4150-2 para las personas y la DIN 4150-3 para los edificios.

Lo primero que hace la parte 2 es cortar el registro en tres tramos, y toda magnitud que viene después lleva el índice del tramo sobre el que se leyó (apartado 5).

• T₁, unos cuatro segundos con la vibración más grande en el centro. Es donde se leen los valores característicos del paso. Un tren corto o rápido pide a menudo menos, y entonces T₁ puede ser tan largo como T₂ y no más.
• T₂, el paso en sí: el tiempo que tarda un tren en cruzar una sección de medida imaginaria. La experiencia, dice la norma, pone su comienzo donde la amplitud llega a más o menos un cuarto de los máximos más frecuentes del paso, y su final donde vuelve a ese mismo valor. Eso es un juicio sobre el registro, así que la biblioteca lo pide en lugar de adivinarlo.
• T₃, el suceso entero, con la llegada y la salida en silencio incluidas. Es el tramo sobre el que se forma la energía del paso.

import numpy as np

from phonometry import vibration

fs_hz = 2048
t = np.arange(30 * fs_hz) / fs_hz
rng = np.random.default_rng(7)
envelope = np.clip((t - 6) / 3, 0, 1) * np.clip((24 - t) / 3, 0, 1)
bogies = 1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 1.6 * t) ** 2
record = envelope * bogies * (
    0.20 * np.sin(2 * np.pi * 40 * t)
    + 0.08 * np.sin(2 * np.pi * 63 * t + 1.0)
    + 0.03 * rng.standard_normal(t.size)
)

passage = vibration.evaluate_train_passage(record, fs_hz, t2_s=(6.75, 23.25))
passage.plot(language="es")

El registro de arriba es sintético y tiene la forma de uno real: la envolvente de un tren que llega y se va, un pulso por bogie, un tono de paso de traviesas a 40 Hz, una resonancia de forjado a 63 Hz y algo de ruido de banda ancha. Su T₂ empieza donde la envolvente llega a un cuarto, 6,75 s, y acaba donde vuelve a él, 23,25 s:

import numpy as np

from phonometry import vibration

fs_hz = 2048
t = np.arange(30 * fs_hz) / fs_hz
rng = np.random.default_rng(7)
envelope = np.clip((t - 6) / 3, 0, 1) * np.clip((24 - t) / 3, 0, 1)
bogies = 1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 1.6 * t) ** 2
record = envelope * bogies * (
    0.20 * np.sin(2 * np.pi * 40 * t)
    + 0.08 * np.sin(2 * np.pi * 63 * t + 1.0)
    + 0.03 * rng.standard_normal(t.size)
)

passage = vibration.evaluate_train_passage(record, fs_hz, t2_s=(6.75, 23.25))
for name, (start, end), rms in zip(
    ("T1", "T2", "T3"), passage.intervals_s, passage.interval_rms_mm_s
):
    print(f"{name}: de {start:5.2f} s a {end:5.2f} s, eficaz {rms:.4f} mm/s")
# T1: de 13.47 s a 17.47 s, eficaz 0.1945 mm/s
# T2: de  6.75 s a 23.25 s, eficaz 0.1783 mm/s
# T3: de  0.00 s a 30.00 s, eficaz 0.1324 mm/s
print(f"v_max {passage.peak_velocity_mm_s:.3f} mm/s")        # 0.481 mm/s
print(f"v_Fmax {passage.running_rms_max_mm_s:.3f} mm/s")     # 0.218 mm/s
print(f"KB_Fmax {passage.kbf_max:.3f}")                      # 0.216

Antes de leer nada, el registro pasa por la limitación de banda del rango ferroviario de la DIN 45669-1, como pasa dentro del vibrómetro. Por eso un registro tiene que ser la velocidad que da el captador, y por eso KB_Fmax, el número con el que la DIN 4150-2 juzga a las personas, sale de la misma llamada que lo demás.

El valor eficaz móvil de la fórmula (1) es el promedio exponencial que un sonómetro llama Fast, τ = 125 ms, y su nivel respecto a v₀ = 5·10⁻⁸ m/s es el nivel de velocidad de la fórmula (2). Ojo con la referencia: la DIN 45672-2 define estos 5·10⁻⁸ m/s ella misma, sin nombrar de dónde salen. Son los 50 nm/s que la nota b de la Tabla 3 de la ISO 1683:2015 dice que también se usan para el ruido estructural, no el 1 nm/s de la fila principal de esa tabla, así que la misma vibración queda a 34 dB de distancia con una y con otra.

import numpy as np

from phonometry import vibration

fs_hz = 2048
t = np.arange(3 * fs_hz) / fs_hz
one_mm_s_rms = np.sqrt(2) * np.sin(2 * np.pi * 40 * t)
level = vibration.running_velocity_level(one_mm_s_rms, fs_hz)
print(f"{level[-fs_hz:].mean():.2f} dB")  # 86.02 dB

El promedio arranca en reposo, así que el primer trozo de cualquier registro lee bajo, y el apartado 4 dice por qué importa: el promediado tiene que estar en marcha antes de que llegue el tren. Cifra el coste en un 14 % tras 2τ y un 2 % tras 4τ, y eso es lo que le falta al cuadrado medio, e⁻² y e⁻⁴. Al valor eficaz móvil del que habla la frase, y el que dibuja su propia figura 3, le falta un 7 % y un 0,9 %. El consejo vale; el tamaño del error está exagerado al doble, y la página de erratas tiene el detalle.

La magnitud con la que se resume un paso es su valor de suceso (fórmula (8)): el eficaz de intervalo del suceso entero referido a una hora,

v_E = ṽ₃ · √(T₃ / 3600 s)

que es la velocidad constante que, mantenida una hora, lleva la energía que llevó el paso. Su nivel (fórmula (9)) es lo mismo en decibelios, y como cada valor de suceso ya es la energía de un paso repartida sobre la misma hora, los pasos de una hora se suman en cuadrado (fórmula (10)):

from phonometry import vibration

one = vibration.event_velocity(0.1324, 30.0)
print(f"un paso: v_E = {one:.5f} mm/s")  # 0.01209 mm/s
print(f"L_vE = {vibration.event_velocity_level(0.1324, 30.0):.2f} dB")  # 47.67 dB

six = vibration.combined_event_velocity([one] * 6)
print(f"seis en una hora: {six:.5f} mm/s")  # 0.02961 mm/s, raíz de 6 veces uno

Ese es el número que comparar entre dos horas de tráfico, y es la razón de que T₃ incluya los extremos en silencio: no llevan energía, y a la hora le da igual cuánto duró el registro.

El apartado 7.2 analiza el paso en tercios de octava desde 4 Hz hasta 315 Hz como mínimo, e imprime dos espectros como resultado: el nivel de intervalo sobre T₂ (fórmula (6)), el valor eficaz móvil de cada banda promediado sobre el paso, y el nivel máximo sobre T₃ (fórmula (7)), el mayor valor que alcanza el eficaz móvil de cada banda. La distancia entre los dos es la cresta de la banda: ancha donde la vibración llega a golpes, estrecha donde es constante.

import numpy as np

from phonometry import vibration

fs_hz = 2048
t = np.arange(30 * fs_hz) / fs_hz
rng = np.random.default_rng(7)
envelope = np.clip((t - 6) / 3, 0, 1) * np.clip((24 - t) / 3, 0, 1)
bogies = 1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 1.6 * t) ** 2
record = envelope * bogies * (
    0.20 * np.sin(2 * np.pi * 40 * t)
    + 0.08 * np.sin(2 * np.pi * 63 * t + 1.0)
    + 0.03 * rng.standard_normal(t.size)
)

passage = vibration.evaluate_train_passage(record, fs_hz, t2_s=(6.75, 23.25))
ax = passage.plot_spectrum(language="es")

t2 = slice(round(6.75 * fs_hz), round(23.25 * fs_hz))
spectrum = vibration.narrowband_psd(passage.velocity_mm_s[t2], fs_hz)
centres, rms = vibration.third_octaves_from_narrowband(
    spectrum.frequencies, spectrum.psd
)
narrow = 20 * np.log10(rms / vibration.VELOCITY_LEVEL_REFERENCE_MM_S)
positions = [list(centres).index(band) for band in passage.band_centres_hz]
ax.plot(range(len(positions)), narrow[positions], "x", label="T2 desde la banda estrecha")
ax.legend()

import numpy as np

from phonometry import vibration

fs_hz = 2048
t = np.arange(30 * fs_hz) / fs_hz
rng = np.random.default_rng(7)
envelope = np.clip((t - 6) / 3, 0, 1) * np.clip((24 - t) / 3, 0, 1)
bogies = 1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 1.6 * t) ** 2
record = envelope * bogies * (
    0.20 * np.sin(2 * np.pi * 40 * t)
    + 0.08 * np.sin(2 * np.pi * 63 * t + 1.0)
    + 0.03 * rng.standard_normal(t.size)
)

passage = vibration.evaluate_train_passage(record, fs_hz, t2_s=(6.75, 23.25))
bands = list(passage.band_centres_hz)
for band in (40.0, 63.0):
    i = bands.index(band)
    print(
        f"{band:g} Hz: L_vF2 {passage.band_interval_levels_db[1, i]:.1f} dB,"
        f" L_vFmax {passage.band_max_levels_db[i]:.1f} dB"
    )
# 40 Hz: L_vF2 70.4 dB, L_vFmax 72.0 dB
# 63 Hz: L_vF2 62.4 dB, L_vFmax 64.3 dB
print(f"nivel suma {vibration.band_sum_level(passage.band_interval_levels_db[1]):.1f} dB")
# 71.1 dB, fórmula (B.3)

Los tercios de octava son gruesos donde resuena un forjado, así que el apartado 7.3 pide además la densidad espectral de potencia unilateral de la fórmula (12), por bloques con ventana de Hanning, al menos medio bloque de solape y un promedio lineal de los bloques. La resolución que recomienda es 1,25 Hz, lo bastante fina para la resonancia de un forjado corriente, que con los 500 Hz y las 400 líneas de un analizador habitual es un bloque de 0,8 s. Las líneas vuelven a sumar el cuadrado medio del tramo, que es la fórmula (14).

Para comparar un resultado en banda estrecha con uno en tercios de octava, la fórmula (23) vuelve a sumar las líneas de cada banda, y la tabla 1 dice cuántas líneas lleva cada banda: 1 a 4 Hz, 6 a 31,5 Hz, 58 a 315 Hz. La norma da los recuentos «por comparabilidad» y no los deduce. Son lo que cabe en un sexto de octava a cada lado del centro nominal, en todas partes salvo a 10 Hz y 12,5 Hz, donde esos bordes darían una línea y tres y la tabla da dos y dos. La tabla dice cuántas líneas y no cuáles, así que la biblioteca declara su elección: las Kₙ líneas más cercanas al centro nominal en un eje logarítmico, que son justo las que caen dentro de los bordes nominales allí donde el recuento es el que dan los bordes, y 10 y 11,25 Hz, luego 12,5 y 13,75 Hz, donde no lo es. Es una regla de bandas nominales y se comporta como tal: los bordes nominales no se tocan, así que seis líneas caen entre dos bandas (71,25 Hz, 141,25 Hz y 142,5 Hz, y de 353,75 Hz a 356,25 Hz) y cinco cuentan en dos (178,75 Hz, 223,75 Hz, y de 446,25 Hz a 448,75 Hz). Un tono en uno de esos huecos no está en ninguna banda, y conviene saberlo antes de convertir un espectro.

import numpy as np

from phonometry import vibration

fs_hz = 2048
t = np.arange(30 * fs_hz) / fs_hz
rng = np.random.default_rng(7)
envelope = np.clip((t - 6) / 3, 0, 1) * np.clip((24 - t) / 3, 0, 1)
bogies = 1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 1.6 * t) ** 2
record = envelope * bogies * (
    0.20 * np.sin(2 * np.pi * 40 * t)
    + 0.08 * np.sin(2 * np.pi * 63 * t + 1.0)
    + 0.03 * rng.standard_normal(t.size)
)
passage = vibration.evaluate_train_passage(record, fs_hz, t2_s=(6.75, 23.25))

t2 = slice(round(6.75 * fs_hz), round(23.25 * fs_hz))
spectrum = vibration.narrowband_psd(passage.velocity_mm_s[t2], fs_hz)
print(f"bloque {spectrum.nperseg / fs_hz:.2f} s")  # 0.80 s
centres, rms = vibration.third_octaves_from_narrowband(
    spectrum.frequencies, spectrum.psd
)
levels = 20 * np.log10(rms / vibration.VELOCITY_LEVEL_REFERENCE_MM_S)
for band in (40.0, 50.0, 63.0):
    print(f"{band:g} Hz desde banda estrecha: {levels[list(centres).index(band)]:.1f} dB")
# 40 Hz desde banda estrecha: 70.5 dB   (70.4 dB con el filtro de banda)
# 50 Hz desde banda estrecha: 39.2 dB   (44.7 dB con el filtro de banda)
# 63 Hz desde banda estrecha: 62.5 dB   (62.4 dB con el filtro de banda)

Los dos caminos coinciden donde está la energía y se separan donde hay poca, a 50 Hz entre los dos tonos: los faldones de un filtro de banda dejan pasar algo de los 40 Hz y los 63 Hz vecinos y una línea de Hanning no. La norma lo dice, y dice que la comparación solo es justa a la resolución para la que está escrita la tabla 1, que es por lo que la biblioteca rechaza un espectro con otro espaciado. El nivel de una densidad respecto a (5·10⁻⁸ m/s)²/Hz, como lo dibuja su figura 7, es spectral_density_level, y una densidad leída de un analizador en V²/Hz se pasa a (mm/s)²/Hz dividiendo por el cuadrado del coeficiente del captador y del de la ganancia, que es todo lo que dice el anexo A.

La parte 2 existe para comparar, y sus últimos apartados son las comparaciones. La pérdida por inserción de un elemento elástico (anexo B, fórmula (B.1)) es la caída de cada nivel en tercio de octava en un punto al montar el elemento, y el anexo añade un aviso que vale la pena repetir: pertenece al punto donde se midió. Y los resultados de una clase de trenes se promedian energéticamente (apartado 9): los valores eficaces como la raíz del cuadrado medio, los niveles como el nivel de la energía media.

from phonometry import vibration

before = [70.4, 62.4]  # 40 Hz y 63 Hz, sin la manta
after = [61.0, 50.9]
print(vibration.elastic_insertion_loss(before, after))  # [ 9.4 11.5]

average = vibration.passage_average_level([70.4, 72.1, 69.0])
print(f"{average:.1f} dB")  # 70.7 dB
rms = vibration.passage_average_velocity([0.18, 0.21, 0.16])
print(f"{rms:.4f} mm/s")  # 0.1845 mm/s

La parte 1 es procedimiento, con una excepción. Su apartado 4.5 describe el terreno por las velocidades de sus ondas de compresión y de cizalla, y deduce de ellas las constantes que necesita una predicción. Un continuo elástico ilimitado transporta dos clases de onda, y sus velocidades quedan fijadas por dos constantes elásticas y la densidad, así que medir las dos velocidades lo fija todo: el módulo de cizalla a partir de la onda de cizalla, el coeficiente de Poisson a partir de su cociente (fórmula (3)) y el módulo de elasticidad a partir de las dos juntas.

Dos de las fórmulas del apartado están mal impresas, y la página de erratas tiene la lectura. La fórmula (1) escribe la velocidad de compresión primero como √(E/ρ), la velocidad de una onda en una barra delgada, y luego como √(G(1−ν)/(ρ(1−2ν))), a la que le falta un factor 2. La fórmula (5) se apoya en la primera y escribe E = v_p² ρ, que a partir de un v_p medido devuelve el módulo de onda P en lugar de E. La fórmula (3), impresa entre las dos, es correcta, y la biblioteca usa las relaciones de las que se deduce:

from phonometry import vibration

v_p, v_s, rho = 400.0, 180.0, 1900.0  # una arena de compacidad media, m/s y kg/m3

nu = vibration.poisson_ratio_from_wave_speeds(v_p, v_s)
g = vibration.shear_modulus_from_wave_speed(v_s, density_kg_m3=rho)
e = vibration.youngs_modulus_from_wave_speeds(v_p, v_s, density_kg_m3=rho)
print(f"nu = {nu:.3f}, G = {g / 1e6:.1f} MPa, E = {e / 1e6:.0f} MPa")
# nu = 0.373, G = 61.6 MPa, E = 169 MPa
print(f"E como la imprime la fórmula (5): {v_p**2 * rho / 1e6:.0f} MPa")  # 304 MPa

strain = vibration.shear_strain_amplitude(0.2e-3, shear_wave_speed_m_s=v_s)
print(f"deformación de cizalla de 0,2 mm/s: {strain:.1e}")  # 1.1e-06
print(strain < vibration.SHEAR_STRAIN_LINEAR_LIMIT)  # True

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from phonometry import vibration

nu = np.linspace(0.0, 0.49, 300)
continuum = [
    vibration.compression_wave_speed(1.0, poisson_ratio=n, density_kg_m3=1.0)
    for n in nu
]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.plot(nu, continuum, label="continuo, la inversa de la fórmula (3)")
ax.plot(nu, np.sqrt((1 - nu) / (1 - 2 * nu)), "--", label="fórmula (1), segundo radical")
ax.plot(nu, np.sqrt(2 * (1 + nu)), ":", label="fórmula (1), sqrt(E / rho)")
ax.set_xlabel("Coeficiente de Poisson")
ax.set_ylabel("v_p / v_s")
ax.legend()

La deformación importa porque el módulo de cizalla de un suelo baja cuando crece la deformación: la figura 1 del apartado lo tiene constante hasta una deformación de cizalla de unos 10⁻⁴ y cayendo por debajo del 20 % de ese valor más allá. El tráfico ferroviario, y las medidas que leen las velocidades, deforman el terreno en torno a 10⁻⁶, así que el módulo que se mide es el que se aplica.

La parte 1 es la otra mitad de la pareja: dice dónde van los captadores y qué tiene que ser un registro antes de que la parte 2 pueda reducirlo. La sección es el 6.1, perpendicular a la vía, y lleva el punto de emisión en el terreno a 8 m del eje (6.2.1.2), los de transmisión al doble de distancia cada vez hasta 128 m (6.2.2) y los de inmisión en el edificio que sitúan la DIN 45669-2, la DIN 4150-2 y la DIN 4150-3 (6.2.3). En el terreno las direcciones son las x, y y z del 6.4.1; en el edificio se giran alrededor de z para que x′ siga el muro exterior más próximo al eje de la vía, y la dirección que se prefiere es la normal a las superficies que delimitan el recinto (6.4.4).

Usa un vibrómetro conforme a la DIN 45669-1, verificado al menos cada tres años, que trabaje de 4 Hz a 315 Hz, o hasta 80 Hz si el resultado es para la DIN 4150-2, y pruébalo tras cada montaje. Traza una sección perpendicular a la vía: un punto de emisión en el terreno a 8 m del eje, en terreno inalterado si es posible, puntos de transmisión a 16 m, 32 m, 64 m y 128 m, y los de inmisión donde los sitúan las DIN 45669-2, DIN 4150-2 y DIN 4150-3. En terraplén o trinchera las distancias van en proyección; junto a un puente se miden desde la proyección del eje sobre el terreno, al lado de una pila, a 8 m, o a 16 m o 32 m si el relleno es grande; en túnel, pon los puntos con preferencia en la solera, a 2 m o más de toda junta. Mide en tres direcciones, o solo en z sobre el terreno si bastan menos, y traza más de una sección para un tramo de línea. En carril y túnel, pega placas metálicas planas con adhesivo duro y aislante; en el terreno y en el edificio, acopla como dice la DIN 45669-2, y no dejes que la masa añadida pase de un décimo de la masa dinámica de lo medido. Registra varios pasos de cada clase de tren, todos los puntos a la vez si se puede, con la velocidad, cuando importa, determinada con una desviación máxima del 5 %, y descarta los trenes que frenan, aceleran o se cruzan, salvo que sea lo habitual. Registra también el fondo: mismos puntos, misma cadena, sin tren. El informe da posiciones, direcciones, vía, terreno, edificio y la evaluación según la DIN 45672-2.

La DIN 45672-1 es un método de medida: puntos de medida en el camino de la vía al edificio, direcciones, acoplamiento, los trenes que registrar y el informe que redactar. Nada de eso es aritmética y la biblioteca no calcula nada de ello, pero ese procedimiento es lo que decide lo que vale un registro, así que queda resumido arriba; el acoplamiento al que remite es la DIN 45669-2. Tampoco hay valoración ninguna: los números que produce esta página solo se comparan con algo en la DIN 4150-2 y la DIN 4150-3.

Qué cubre esta guía

Sección titulada «Qué cubre esta guía»

• Los tres tramos del apartado 5, el valor eficaz móvil y los niveles de velocidad y de aceleración de las fórmulas (1) a (3), el eficaz de intervalo de las fórmulas (4) y (5), y el valor de suceso, su nivel y su suma sobre los pasos de una hora, fórmulas (8) a (10).

• Los niveles en tercios de octava de las fórmulas (6) y (7) de 4 Hz a 315 Hz, o hasta 80 Hz como permite la DIN 45672-1, y la distribución de amplitudes de la fórmula (11).

• Las densidades en banda estrecha de las fórmulas (12) a (14) a la resolución del 7.3.2, el paso a tercios de octava de la fórmula (23) con todos los recuentos de la tabla 1, el nivel de densidad de la figura 7, el cambio de dimensión del anexo A, las magnitudes del anexo B y el promediado energético del apartado 9.

• Las constantes del terreno del apartado 4.5 de la DIN 45672-1 a partir de dos velocidades de onda y una densidad, con las fórmulas (1) y (5) en la forma que da el continuo y las formas impresas recogidas como erratas.

• No cubierto

  Ningún analizador. Las comprobaciones de calibración del 7.3.3 prueban la indicación de amplitud de un analizador de banda estrecha, con y sin ventana de Hanning; la densidad de la biblioteca es correcta por construcción y no tiene nada que calibrar.

• No se comprueba ningún procedimiento de medida ni hay veredicto. Los puntos de medida, las direcciones, el acoplamiento y la elección de trenes de la DIN 45672-1 y la DIN 45669-2 se resumen arriba, pero nada aquí los comprueba; lo que significan los números para las personas y los edificios es la DIN 4150-2 y la DIN 4150-3.