Predecir la frecuencia propia de un edificio

Daños en estructuras por vibración lee una velocidad medida frente a un valor de referencia que depende de la frecuencia, y en el plano de la última planta deja de depender de ella porque el edificio responde en la suya. Las dos lecturas dan por hecho que sabes más o menos dónde está esa frecuencia propia. Esta página es lo que dice ISO 4866 cuando no puedes medirla.

Mídela si puedes: eso es el cuerpo de la norma y va primero. El anexo D es el recurso de reserva, para cuando no se puede medir directamente, o un amortiguamiento alto, las resonancias de subcomponentes u otros problemas prácticos limitan lo que vale la medida. Ofrece cuatro predictores y es franco con todos.

El más simple cuenta plantas. $f=10/n$ hercios, que es la misma regla que imprime DIN 4150-3 en su 6.4 y que esta biblioteca ya publica como storey_fundamental_frequency; aquí es el modelo "storeys", para poder comparar los cuatro predictores por la misma puerta.

Los otros tres son las formas que toma el periodo $T$ en las normas nacionales, cada una con un coeficiente en el que esas normas no se ponen de acuerdo:

con $h$ la altura y $b$ la anchura paralela a la fuerza, las dos en metros. La primera solo sabe lo alto que es el edificio. La segunda añade lo ancho que es, que es lo que de verdad se opone al balanceo. La tercera añade un factor de esbeltez, $\sqrt{h/(h+b)}$, siempre menor que 1, que acorta el periodo respecto a la segunda forma. Lo acorta menos en un edificio alto y estrecho, donde el factor se acerca a 1, y más en uno bajo y ancho.

El D.2 imprime un intervalo para cada coeficiente en vez de un valor: de 0,014 a 0,03 para $k_1$, de 0,087 a 0,109 para $k_2$, de 0,06 a 0,08 para $k_3$. El intervalo es la dispersión entre las normas de las que los recogió, y el anexo no da ningún criterio para elegir dentro de él, así que fundamental_period toma el punto medio salvo que se le indique un coeficiente.

El edificio que el código de abajo describe dos veces, y lo que cada predictor toma de él. Las tres formas normativas dan un periodo y un intervalo para su coeficiente, así que en un mismo edificio dan un tramo y no una frecuencia; el ajuste a la medida da un único valor, alrededor del cual errores del ± 50 % no son raros, y para el amortiguamiento no hay ningún método probado.

Los cuatro predictores toman argumentos distintos, así que compararlos obliga a describir el mismo edificio dos veces: dieciocho plantas de poco más de tres metros son los sesenta metros que reciben los otros tres.

from phonometry import vibration

# El mismo edificio de sesenta metros, quince de ancho, por cada uno de los cuatro.
for model, kwargs in (
    ("storeys", {"storeys": 18}),        # 18 plantas, de unos 3,3 m
    ("height", {"height_m": 60.0}),
    ("height_width", {"height_m": 60.0, "width_m": 15.0}),
    ("slenderness", {"height_m": 60.0, "width_m": 15.0}),
):
    f = vibration.fundamental_frequency(model, **kwargs)
    print(model, round(f, 2), "Hz")
# storeys 0.56 Hz / height 0.76 Hz / height_width 0.66 Hz / slenderness 1.03 Hz

El D.2 cierra dejando las normas a un lado y ajustando una curva a los datos: 163 edificios de planta rectangular dan $f=46/h$ hercios, o lo que es lo mismo $T=0,022h$ segundos. De esa recta merece la pena llevarse dos cosas.

La primera es discreta y esta biblioteca la fija con un test: 0,022 es también el punto medio del intervalo de $k_1$ que abarcan las normas. La más antigua y tosca de las formas normativas, tomada en el centro de su dispersión, es el ajuste medido.

La segunda es la franqueza del anexo con la exactitud. Alrededor de esa recta, errores del ± 50 % no son raros, y el D.2 dice que eso es lo típico de lo que puede dar una fórmula empírica. El D.3 añade después algo que el lector no espera: la correlación entre las frecuencias calculadas con un modelo estructural al uso y las medidas es peor que la correlación con $46/h$, porque un modelo vale lo que valga su idea de con qué está hecho el edificio.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

heights = np.logspace(np.log10(6.0), np.log10(250.0), 300)
fit = np.asarray(vibration.height_fundamental_frequency(heights))

fig, ax = plt.subplots()
ax.fill_between(
    heights,
    fit * (1.0 - vibration.EMPIRICAL_FREQUENCY_TOLERANCE),
    fit * (1.0 + vibration.EMPIRICAL_FREQUENCY_TOLERANCE),
    alpha=0.2,
    label=r"$\pm$50 %",
)
ax.loglog(heights, fit, label="$f = 46/h$")

# Las tres formas normativas encima, para un edificio cuatro veces más alto
# que ancho, que es lo que las hace comparables en un mismo eje.
for model in ("height", "height_width", "slenderness"):
    values = [
        vibration.fundamental_frequency(
            model,
            height_m=float(h),
            **({} if model == "height" else {"width_m": float(h) / 4.0}),
        )
        for h in heights
    ]
    ax.loglog(heights, values, "--", label=model)

ax.set(xlabel="Altura del edificio $h$ [m]",
       ylabel="Frecuencia fundamental $f$ [Hz]")
ax.grid(True, which="both", alpha=0.3)
ax.legend()
plt.show()

# Una estimación, dibujada sobre esa misma recta con su banda:
res = vibration.estimate_fundamental_frequency(
    "height_width", height_m=60.0, width_m=15.0
)
print(round(res.frequency_hz, 2), tuple(round(b, 2) for b in res.bounds_hz))
# 0.66 (0.33, 0.99)
res.plot(language="es")
plt.show()

Los predictores unos frente a otros. La forma en altura cae sobre el ajuste medido porque el centro de su intervalo de coeficiente es el coeficiente del propio ajuste. El panel de la derecha es lo que cuesta la elección: en un edificio, elegir norma en lugar de fórmula mueve el resultado un factor de dos.

El D.4 es corto y su brevedad es el mensaje. No existe ningún método probado para predecir el amortiguamiento. Lo que el anexo aporta son medidas: entre el 0,5 % y el 2,1 % del crítico en diez edificios donde la interacción suelo-estructura era despreciable, y con los dos modos de traslación ortogonales de un mismo edificio a menudo muy separados. El amortiguamiento depende en parte del procedimiento de construcción y de la ejecución, así que cuenta con errores grandes.

from phonometry import vibration

low, high = vibration.DAMPING_RATIO_RANGE
print(f"{100 * low:g} % to {100 * high:g} % of critical")   # 0.5 % to 2.1 %

La biblioteca publica el intervalo y ningún estimador, que es la forma honesta del D.4: un número con el que contrastar una caída medida, no uno que suponer.

• Cubierto

  Los cuatro predictores empíricos del anexo D: la regla por plantas del D.2, las tres formas normativas (D.1), (D.2) y (D.3) con los intervalos de coeficiente que el D.2 imprime para cada una, y el ajuste $f=46/h$ con el que cierra el D.2, como frecuencias o como periodos.

• El error que llevan esas predicciones: la banda del ± 50 % del D.2, publicada como constante y como cotas alrededor de cualquier predicción.

• El intervalo de amortiguamiento medido en el D.4, como intervalo y no como estimador, porque el anexo no ofrece ninguno.

• No cubierto

  Aquí no se mide ninguna frecuencia. El cuerpo de ISO 4866, que es la medida para la que este anexo es el recurso de reserva, no está implementado: ni requisitos de captadores, ni adquisición de datos, ni extracción modal de una respuesta medida.

• Las clasificaciones no están. El anexo B clasifica edificios, cimentaciones y suelos en los grupos y clases que deciden qué tolerancia le corresponde a una estructura, y el anexo A da rangos de respuesta estructural; los dos se describen en la norma y ninguno se implementa. El anexo E, la interacción vibratoria entre la cimentación y el terreno, también queda fuera.

• Ningún modelo de ordenador. El D.3 cita los métodos ESDU para edificios de núcleo, de cortante y de pórtico, y dice que a un método no calibrado contra datos experimentales fiables no se le debe suponer más exactitud que a los predictores empíricos. Ninguno de ellos está aquí, y esta página no sustituye a uno.