Predecir la vibración antes de medir (DIN 4150-1)

La parte 1 de la DIN 4150 es la primera pregunta de la serie. Antes de volar una cantera, abatir una chimenea, hincar un pilote o construir una línea, alguien tiene que decir cuánta vibración llegará a las casas y cuánta de ella sentirán los forjados, y la parte 1 da las formas de todas las respuestas. No da receta, y lo dice en su prólogo: las constantes de un caso real salen de voladuras de prueba, de un terreno comparable, de una medida con unas pocas máquinas en marcha. Lo que sí fija, lo fija con claridad, y su anexo A enseña las formas en el terreno veintisiete veces.

El camino que el apartado 4 de la parte 1 fija para la propagación y la transmisión: un campo cercano en el que sus aproximaciones no valen, el decaimiento de la fórmula (2) más allá, y un edificio que descansa sobre su terreno como una masa sobre un muelle y pasa el movimiento por su cimentación hasta sus forjados.

Toda fuente tiene un campo cercano y un campo lejano, y el límite es R₁ = a/2 + λ_R (fórmula (1)): la mitad de la extensión de la fuente en la dirección de propagación más una longitud de onda de la onda superficial. Más cerca de eso nada de lo de aquí vale. Más allá, la amplitud de velocidad decae como

v = v₁ · (R / R₁)^-n · exp[-α (R - R₁)]

(fórmula (2)): divergencia con un exponente n que la figura 1 fija con tres preguntas de sí o no, y amortiguamiento del material con α ≈ 2π D / λ, la relación de amortiguamiento del terreno sobre la longitud de onda que importa. El exponente es 0 para una fuente lineal armónica transportada por una onda superficial y gana 0,5 por cada una de estas tres cosas: puntual en vez de lineal, impulsiva en vez de armónica, y onda de volumen en vez de onda superficial, hasta 1,5 para una fuente puntual impulsiva en una onda de volumen. Un tren es una cadena de fuentes puntuales no excitadas en fase y decae con algo entre 0,3 y 0,5. Para un terreno suelto una primera estimación puede tomar una relación de amortiguamiento de 0,01 como mucho; más hay que demostrarlo.

from phonometry import vibration

print(vibration.geometric_exponent(geometry="point", character="impulsive", wave="surface"))  # 1.0
print(vibration.geometric_exponent(geometry="line", character="harmonic", wave="surface"))  # 0.0
print(vibration.reference_distance_m(6.0, rayleigh_wavelength_m=12.5))  # 15.5

# Anexo A, figura A.19: una nave de máquinas medida a 0,44 mm/s a 13 m,
# con D = 0,01 y una longitud de onda de 12,5 m.
alpha = vibration.attenuation_coefficient_per_m(0.01, wavelength_m=12.5)
print(f"{alpha:.4f} 1/m")  # 0.0050 1/m
decay = vibration.far_field_velocity_mm_s(
    0.44, [20.0, 40.0, 80.0], reference_distance_m=13.0, exponent=1.0, attenuation_per_m=alpha
)
print(decay.round(3))  # [0.276 0.125 0.051]

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from phonometry import vibration

distances = np.linspace(13.0, 80.0, 200)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6.2))
for exponent in (0.0, 0.5, 1.0):
    ax.plot(
        distances,
        vibration.far_field_velocity_mm_s(
            0.44, distances, reference_distance_m=13.0, exponent=exponent, attenuation_per_m=0.005
        ),
        label=f"$n$ = {exponent:g}",
    )
ax.plot([13.0, 23.0, 43.0, 73.0], [0.44, 0.27, 0.09, 0.015], "k+", markersize=11, label="medido")
ax.set_xlabel("Distancia [m]")
ax.set_ylabel("Velocidad vertical [mm/s]")
ax.legend()

El amortiguamiento solo ya merece dibujarse, y la figura 2 lo dibuja para una relación de amortiguamiento de 0,01 y una velocidad de onda de 200 m/s: en 100 m el terreno se queda con el 27 % de la amplitud a 10 Hz y con el 79 % a 50 Hz, que es por lo que las frecuencias bajas son lo que llega a distancia.

from phonometry import vibration

for frequency in (10.0, 50.0):
    left = vibration.material_damping_factor(
        [100.0], damping_ratio=0.01, frequency_hz=frequency, wave_speed_m_s=200.0
    )[0]
    print(f"{frequency:g} Hz: queda {left:.3f} de la amplitud a los 100 m")
# 10 Hz: queda 0.730 de la amplitud a los 100 m
# 50 Hz: queda 0.208 de la amplitud a los 100 m

Un edificio sobre el terreno es una masa sobre un muelle, con la frecuencia propia de la fórmula (3), f_B = √(k_B / m_B) / 2π, para la dirección vertical y vibración predominantemente armónica: unos 15 Hz para una o dos plantas, de 8 Hz a 12 Hz para de dos a seis, por debajo de 8 Hz a partir de ahí, sobre un terreno de rigidez media con una velocidad de onda de cizalla de 150 m/s a 200 m/s. A esa frecuencia la cimentación deja pasar como mucho 1 / (2 D₀) de la amplitud del terreno, y para un terreno suelto D₀ puede tomarse como 0,25, así que la cimentación amplifica por 2 como máximo; por encima puede suponerse una transferencia media de 0,5, y sobre roca no hay reducción ninguna. Un forjado amplifica después por como mucho 1 / (2 D₁) en su propia resonancia, de 10 a 25 para un forjado de hormigón con una relación de amortiguamiento entre 0,05 y 0,02, bajo el supuesto de que el edificio se excita en fase en toda su huella, que es el lado seguro para una fuente cercana, móvil o impulsiva. Y la frecuencia propia horizontal más baja de un edificio de cinco plantas o más es de unos 10 / n Hz (fórmula (4)), que importa donde un edificio alto y esbelto se encuentra con una frecuencia de excitación baja.

from phonometry import vibration

print(f"{vibration.soil_building_natural_frequency_hz(2.5e9, mass_kg=4.0e5):.1f} Hz")  # 12.6 Hz
print(vibration.soil_building_frequency_guide_hz(4))  # (8.0, 12.0)
print(vibration.foundation_transfer_max())  # 2.0
print(f"{vibration.floor_transfer_max(0.03):.1f}")  # 16.7
print(vibration.storey_frequency_hz(8))  # 1.25

En el campo lejano una voladura sigue v_max = k (L/L₀)^b (R/R₀)^-m (fórmula (5)) con la carga por retardo L frente a 1 kg, la distancia frente a 1 m, y tres constantes que salen de voladuras de prueba o de casos comparables en terreno, método y rango de distancias, con margen para la dispersión; la norma no imprime ninguna. Una masa que cae sigue lo mismo con la raíz de su energía de caída G · h (fórmula (6)), que para una chimenea abatida suele ser la fuente mayor, y la voladura de demolición la menor. La voladura de cantera muy rara vez importa más allá de 1500 m, la de obra más allá de 400 m.

from phonometry import vibration

# Constantes de las voladuras de prueba del propio usuario; la norma no imprime ninguna.
peak = vibration.blast_peak_velocity_mm_s(
    50.0, [300.0, 600.0], coefficient_mm_s=1200.0, charge_exponent=0.6, distance_exponent=1.7
)
print(peak.round(2))  # [0.77 0.24]

# Una chimenea de 2 600 t con el centro de masas a 70 m de altura: 25 506 kN a lo largo de 70 m.
energy = vibration.fall_energy_kj(25506.0, drop_height_m=70.0)
print(f"{energy:.0f} kJ")  # 1785420 kJ
impact = vibration.impact_peak_velocity_mm_s(energy, [50.0, 150.0], coefficient_mm_s=0.02, distance_exponent=1.0)
print(impact.round(1))  # [0.5 0.2]

Un tren excita el terreno a su velocidad sobre el espaciado de lo que se repite a lo largo de la vía o alrededor de la rueda, las traviesas primero, a entre 0,6 m y 0,9 m, y en los múltiplos de eso, mientras las partes del vehículo conservan sus propias frecuencias sea cual sea la velocidad: la caja sobre su suspensión secundaria de 1 Hz a 3 Hz, el bogie sobre la primaria de 6 Hz a 10 Hz. La vía sobre balasto deja pasar con preferencia de 40 Hz a 80 Hz, un túnel con mantas bajo balasto de 15 Hz a 40 Hz, un sistema masa-muelle de 5 Hz a 20 Hz, y la vibración del carril llega a unos 80 m, más lejos sobre capas blandas.

from phonometry import vibration

print(vibration.track_excitation_frequency_hz(80 / 3.6, spacing_m=0.6, harmonics=2).round(1))  # [37.  74.1]
print(vibration.TRACK_TRANSMITTED_BANDS_HZ["ballast"])  # (40.0, 80.0)

Una nave de máquinas parecidas funcionando juntas da, en un punto exterior, v_N = χ · v_B · √N (fórmula (7)): la velocidad medida con N_B de ellas en marcha, escalada a N con una corrección χ que la norma imprime solo como un nomograma, la figura 3, para medidas hechas con 3, 5, 10, 30, 60 o 100 máquinas. El nomograma está aquí como sus seis curvas leídas de la página a 1/500, el grosor de su trazo, y la propia comprobación que la norma hace de él, la figura A.18, dibujada para una nave medida a 0,44 mm/s con tres máquinas en marcha, se reproduce dentro del 6 %: las medidas siguen la curva hasta unas sesenta máquinas, el grupo más cercano, y se quedan planas más allá, porque los grupos añadidos después están más lejos.

from phonometry import vibration

print(vibration.machine_count_correction([12.0], reference_count=3).round(3))  # [0.448]
print(vibration.machine_hall_velocity_mm_s(0.44, [12.0, 44.0, 56.0], reference_count=3).round(2))
# [0.68 0.89 0.97], frente a 0.57, 0.95 y 1.04 medidos

import matplotlib.pyplot as plt

from phonometry import vibration

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6.2))
for reference, chi in vibration.MACHINE_COUNT_CORRECTION.items():
    ax.plot(vibration.MACHINE_COUNT_AXIS, chi, marker="o", markersize=3, label=f"$N_B$ = {reference}")
ax.set_xlabel("Máquinas en marcha")
ax.set_ylabel(r"Corrección $\chi$")
ax.legend(ncol=2)

Las listas de símbolos de las fórmulas (5) y (6) dan la distancia en milímetros frente a una referencia de un metro, cuando la fórmula (2) y todos los ejes del anexo A dicen que son metros. El apartado 5.2.3 habla de vibrohincadores de frecuencia de trabajo baja y escribe f > 30 Hz, el signo al revés tras un párrafo que llama favorables a las frecuencias altas por encima de 35 Hz. La leyenda de la figura A.2 da la línea continua a la componente vertical y la de trazo y punto a la radial, y el dibujo las tiene al revés. El A.5.1 imprime un momento excéntrico en newtons. Y el sexto punto medido de la figura A.18, rotulado todos los grupos de una nave de 252 máquinas, está en 110, el recuento de los grupos de la nave más cercana al punto de medida. La página de erratas tiene las cinco con sus páginas.

Qué cubre esta guía

Sección titulada «Qué cubre esta guía»

• La propagación: el límite del campo lejano de la fórmula (1), el decaimiento de la fórmula (2) con los exponentes de la figura 1 y el amortiguamiento del terreno, y el factor de amortiguamiento de la figura 2 por sí solo.

• El edificio: la frecuencia propia de la fórmula (3) y sus valores de referencia por plantas, la transferencia de una cimentación y de un forjado en resonancia, y la fórmula de plantas de la fórmula (4). Las fuentes: la voladura y la masa que cae de las fórmulas (5) y (6), la nave de máquinas de la fórmula (7) con el nomograma de la figura 3 leído de la página, las frecuencias de excitación de una vía, y las bandas de frecuencia, los intervalos y las constantes que el apartado 5 da a sus fuentes.

• No cubierto

  Ninguna constante para un caso real. Los k, b y m de una voladura y los k y m de un impacto los pone el usuario; la norma no imprime ninguno y la biblioteca no lleva ninguno. Los casos medidos del anexo A se describen en la norma y no se reproducen aquí, y sus dos figuras dibujadas a partir de las fórmulas se sujetan como filas de conformidad, no se ofrecen como datos.

• Ningún campo cercano. Más cerca de R₁ la norma pide una investigación numérica o experimental propia, y la biblioteca rechaza la distancia.