Daños en estructuras por vibración

Todo lo demás de esta sección sigue a la vibración porque acaba siendo sonido. Esta página la sigue porque acaba siendo una grieta. Una hincadora de pilotes al lado, un tranvía al final de la calle o una voladura en una obra cercana meten vibración en el terreno, el terreno la mete en un cimiento, y la pregunta que hacen los vecinos no tiene nada que ver con la audibilidad: ¿se va a dañar el edificio?

Responderla como es debido significa calcular las tensiones dinámicas de la estructura y compararlas con lo que el material y el diseño admiten. DIN 4150-3 ofrece primero la respuesta barata, que es la que se usa en la práctica: valores de referencia (Anhaltswerte) para una sola magnitud medida, la velocidad de pico de la partícula, obtenidos de un gran conjunto de medidas en edificios reales. Por debajo de ellos no se han observado daños del tipo que la norma define en ese conjunto de medidas, que es una afirmación sobre la evidencia y no una promesa sobre este edificio: cumplir un valor de referencia satisface el criterio de DIN 4150-3 y no certifica nada. Por encima no se sigue nada de forma automática. La norma dice expresamente que no tienen por qué producirse daños; lo que se ha agotado es la respuesta barata, y hay que hacer el cálculo de tensiones.

El apartado 5.1 fija la magnitud antes que ningún número. En el cimiento se registran por separado las tres componentes $v_x$, $v_y$ y $v_z$ de la velocidad de la partícula y se juzga el mayor pico de las tres, $|v_i{|}_{\max }$; la norma lo escribe luego $v_i$ y esta página también. Los captadores van en la planta más baja, en el cimiento o en el muro exterior, y en un edificio sin sótano a no más de 0,5 m sobre la rasante, preferentemente en la cara orientada hacia la excitación.

En el plano de la última planta cambia la magnitud: la mayor de las dos componentes horizontales, medida en el muro exterior o junto a él. Esa medida no es una segunda excitación. Es la respuesta horizontal del edificio a la que recibe en su cimiento, y por eso el valor de referencia allí no depende de la frecuencia: la respuesta ya está en las frecuencias propias de la estructura.

Usa un vibrómetro conforme a la DIN 45669-1, con su comprobación de funcionamiento y su calibración a una frecuencia y amplitud de referencia. En el cimiento pon tres captadores juntos en la planta más baja, sobre el cimiento del muro exterior, sobre el muro o en un hueco de él, preferentemente en la cara orientada hacia la fuente y, sin sótano, a no más de 0,5 m sobre la rasante. Registra $z$ y dos direcciones horizontales perpendiculares entre sí, una paralela a una fachada y preferentemente con $x$ hacia la fuente; un edificio de gran superficie en planta pide varios puntos a la vez. No sirven los peldaños sueltos, las losas sueltas ni las superficies que suenan a hueco, y sobre superficie dura un captador apoyado sin sujeción solo vale hasta 100 Hz en vertical y 40 Hz en horizontal con picos de 3 m/s² o menos; si no, va pegado, atornillado o escayolado. En el plano de la última planta, $x$ e $y$ van en el muro exterior o junto a él; cuando proceda, en los forjados donde se espere más vibración, $z$ va aproximadamente en el centro del vano. En una tubería los captadores van sobre ella siempre que se pueda, descubierta solo en el punto de medida y con una horizontal a lo largo del eje; el terreno de encima sirve de sustituto cuando la fuente no está justo al lado de la tubería ni poco más abajo, y solo da una estimación, por lo general mayor. Registra el suceso entero o tramos representativos y, si se puede, juzga la vibración ajena comparando las lecturas con la fuente actuando y sin ella. Lee el pico de cada componente y su frecuencia, y levanta el acta del anexo A: cada punto, su dirección y su distancia a la fuente.

La vibración de corta duración es la que no se repite lo bastante como para que la estructura entre en resonancia: obras, voladuras, un tren en una línea poco transitada. La tabla 1 da sus valores de referencia para tres tipos de edificio y, en el cimiento, dependen de la frecuencia.

Suben, y la razón es que la norma trata en realidad de la deformación. La misma velocidad a una frecuencia más baja significa un desplazamiento mayor, y es el desplazamiento a través de un muro el que abre una grieta en el revoco. Así que un edificio aguanta mejor un temblor rápido que uno lento, y el valor de referencia sube de 1 Hz a 100 Hz. Por encima de 100 Hz puede usarse el valor de 100 Hz.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

freq = np.linspace(1.0, 100.0, 400)

fig, ax = plt.subplots()
for name in vibration.BUILDING_CLASSES:
    ax.plot(freq, vibration.guideline_velocity(name, freq), label=name)
ax.set(xlabel="Frecuencia [Hz]", ylabel="Velocidad de pico $v_i$ [mm/s]")
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.legend()
plt.show()

# Una medida frente al valor de referencia que la juzga, dibujada sobre las
# mismas curvas:
res = vibration.assess_building_vibration(
    4.2, building_class="residential", frequency_hz=18.0
)
print(round(res.guideline_mm_s, 2), res.within_guideline)   # 7.0 True
res.plot(language="es")
plt.show()

Las tres tablas a la vez. El panel de la izquierda es el Bild 1: el valor de referencia en el cimiento, plano hasta 10 Hz y creciente después. Los paneles de la derecha son los valores que no llevan frecuencia, cada uno con su valor de larga duración al lado.

La tabla 1 imprime la banda intermedia como un intervalo, «5 bis 15» para una vivienda entre 10 Hz y 50 Hz, y un intervalo no dice cuánto vale 30 Hz. Lo dice el Bild 1: los valores de las esquinas unidos por rectas sobre un eje de frecuencia lineal. A una vivienda a 30 Hz le corresponden 10 mm/s, y eso es una lectura de la figura, no de la tabla.

from phonometry import vibration

# Las esquinas que imprime la tabla 1, para una vivienda.
for f in (1.0, 10.0, 50.0, 100.0):
    print(f, vibration.guideline_velocity("residential", f))
# 1.0 5.0 / 10.0 5.0 / 50.0 15.0 / 100.0 20.0

# Dentro de una banda, que solo decide el Bild 1.
print(vibration.guideline_velocity("residential", 30.0))          # 10.0

# En el plano de la última planta no hay nada que leer frente a la frecuencia,
# y pasar una de todos modos se rechaza en vez de ignorarse.
print(vibration.guideline_velocity("residential", location="top_floor"))  # 15.0

Los tres tipos son las filas de la tabla 1: "commercial" para edificios comerciales e industriales y de estructura análoga, "residential" para viviendas y edificios de construcción o uso análogos, y "sensitive" para los que no encajan en ninguno de los dos y merecen conservarse, siendo un edificio protegido el ejemplo que da la norma. Una estructura de ingeniería maciza, como un estribo de hormigón armado o una cimentación en bloque, puede subir los valores de la fila 1 hasta el doble, que es lo que permite el 5.1 siempre que no surja ningún peligro de los procesos del terreno. La licencia es una frase del capítulo 5 que nombra la tabla 1, así que se acaba en la vibración de corta duración y la biblioteca se niega a trasladarla a la tabla 3:

print(vibration.guideline_velocity("commercial", 50.0, massive_structure=True))

Un forjado o un techo recibe una frase propia en lugar de una tabla. Apartado 5.2: si la velocidad vertical en el punto de mayor vibración, en general el centro del vano, se mantiene igual o por debajo de 20 mm/s, no cabe esperar una merma del valor de uso del forjado. El valor se publica como FLOOR_VERTICAL_MM_S, y para un edificio de la fila 3 de la tabla 1 la norma advierte de que puede hacer falta rebajarlo.

Una tubería en el terreno se juzga sobre la propia tubería, no sobre el edificio que tenga encima, y por el material del que está hecha. La tabla 2 tiene tres filas, y el apartado 6.3 permite usar esa misma tabla al 50 % para vibración de larga duración sin más justificación:

from phonometry import vibration

print(vibration.pipeline_guideline_velocity("welded_steel"))                # 100.0
print(vibration.pipeline_guideline_velocity("masonry_or_plastic"))          #  50.0
print(vibration.pipeline_guideline_velocity(
    "masonry_or_plastic", duration="long_term"))                            #  25.0

Las acometidas domiciliarias hasta 2 m del edificio se juzgan con los valores del cimiento del propio edificio, y los tubos de drenaje por la fila 3 sea cual sea su material.

La vibración de larga duración (Dauererschütterungen) es el caso contrario: se repite lo bastante como para que la estructura responda en sus frecuencias propias. La tabla 3 la resuelve con un valor por tipo en el plano de la última planta y nada en el cimiento, porque una estructura que vibra en su propia frecuencia se juzga donde vibra. Los valores van de un cuarto a un tercio de los de corta duración, y la fracción no es la misma en los tres tipos: 10 frente a 40, 5 frente a 15 y 2,5 frente a 8 mm/s:

from phonometry import vibration

for name in vibration.BUILDING_CLASSES:
    short = vibration.guideline_velocity(name, location="top_floor")
    long = vibration.guideline_velocity(
        name, location="top_floor", duration="long_term"
    )
    print(name, short, long)
# commercial 40.0 10.0 / residential 15.0 5.0 / sensitive 8.0 2.5

Pedir un valor de larga duración en el cimiento lanza un error, porque la tabla 3 no tiene esa columna.

El apartado 6.2 es el puente de vuelta al cálculo formal. Para una viga o una losa unidireccional de sección rectangular llena, rigidez constante y masa uniforme, vibrando en un modo, la tensión de flexión de pico se deduce solo de la velocidad de pico:

Ni longitud, ni canto, ni luz: las dimensiones se cancelan, que es justamente lo que hace valiosa a la fórmula. Basta con una velocidad medida donde la amplitud es mayor. El coeficiente de modo $k_n$ está entre 1 y 1,3 en los casos de interés técnico, así que puede mover el resultado menos de un tercio, y $G_{\mathrm{ges}}/G_{\mathrm{balken}}$ vale 1 para una viga que no carga nada más que a sí misma.

from phonometry import vibration

# Hormigón, módulo dinámico de 30 GPa, 2400 kg/m3, primer modo, 10 mm/s de pico.
# Ojo a la unidad: las tablas van en mm/s y esta fórmula en m/s.
sigma = vibration.bending_stress(
    0.010, dynamic_modulus_pa=3.0e10, density_kg_m3=2400.0
)
print(round(sigma / 1e6, 2), "MPa")     # 0.15 MPa

El apartado 6.4 añade la estimación que dice si el plano de la última planta va a responder siquiera: para un edificio de unas cinco plantas o más, la frecuencia propia horizontal más baja es aproximadamente $f_i\approx 10/n$ con $n$ el número de plantas.

print(vibration.storey_fundamental_frequency(10))    # 1.0 Hz

Por debajo de ahí lo dice BuildingDamageWarning: cuatro plantas siguen devolviendo 2,5 Hz, porque «unas cinco» no es una raya que la norma trace, pero el número es una extrapolación de una regla ofrecida para edificios más altos, no la regla.

• Cubierto

  Los valores de referencia de DIN 4150-3 tal como se publican: la tabla 1 en el cimiento frente a la frecuencia y en el plano de la última planta, la tabla 2 para tuberías enterradas, la tabla 3 para vibración de larga duración, la duplicación de la fila 1 para estructuras de ingeniería macizas (5.1), la reducción al 50 % de la tabla 2 para larga duración (6.3) y el valor vertical de 20 mm/s para forjados (5.2).

• La lectura del Bild 1 entre los valores impresos de las esquinas: rectas sobre un eje de frecuencia lineal, de modo que un valor dentro de una banda queda definido en vez de quedar a criterio de quien lee.

• La tensión de flexión de la fórmula (1) del 6.2 y la estimación por plantas $f_i\approx 10/n$ del 6.4.

• No cubierto

  Nada predice la vibración: los valores de referencia se comparan con una medida que aportas tú. La predicción de la vibración transmitida por el terreno desde una fuente hasta un edificio, que es DIN 4150-1, no está aquí, y tampoco la percepción humana de la vibración en edificios de DIN 4150-2. Para las personas en lugar de las estructuras, ve a las páginas de vibración en humanos.

• La vía de la tensión es una fórmula, no una comprobación de diseño. Los apartados 4.2 a 4.4, que determinan las tensiones dinámicas por medida o por cálculo y las comparan con las admisibles, son lo que toca hacer cuando se supera un valor de referencia; aquí solo se implementa el puente en forma cerrada del 6.2. La fatiga, los asientos de suelos no cohesivos bajo vibración repetida (4.6, anexo C) y el desplazamiento de la cimentación están descritos en la norma y no modelados aquí.

• La medida se describe, no se comprueba. Dónde van los captadores, cómo se apoyan y qué lleva el acta son el 5.4, el anexo A y las partes de la DIN 45669 a las que remite el 5.4, expuestos arriba para quien mide. Nada de eso está implementado aquí, y el instrumento tampoco.