Predicción del tiempo de reverberación (Sabine, Arau)

El tiempo de reverberación $T$, el tiempo que tarda el nivel de energía sonora en caer 60 dB tras detenerse la fuente, se predice aquí a partir del volumen de una sala, sus áreas de contorno y los coeficientes de absorción de sus superficies, mediante las fórmulas clásicas de la acústica estadística. Es la contraparte de diseño del tiempo de reverberación medido de Acústica de salas (ISO 3382) y complementa el modelo de EN 12354-6 de Absorción acústica en recintos, que especializa la misma física al apartado 4 de esa norma.

phonometry ofrece cinco modelos, ordenados según cuánto tienen en cuenta una distribución de absorción no uniforme:

Modelo	Cómo entra la absorción	Idóneo para
Sabine	término de absorción $A={\sum }_i{S}_i{\alpha }_i$	absorción baja y uniforme
Eyring (Norris-Eyring)	término de absorción $-S\ln (1-\bar{\alpha })$	absorción fuerte y uniforme
Millington-Sette	término de absorción $-{\sum }_i{S}_i\ln (1-{\alpha }_i)$	unas pocas superficies muy absorbentes
Fitzroy	media aritmética ponderada por área de tres tiempos de Eyring axiales	salas anisótropas
Arau-Puchades	media geométrica ponderada por área de los mismos tres	salas anisótropas (recomendado por el autor)

Los tres primeros modelos solo se diferencian en el denominador de $T=kV/(\text{teˊrmino}+4mV)$, con la constante de Sabine $k=24\ln 10/c_0$ (de modo que $k=0,161$ para $c_0=343m/s$) y el término de absorción del aire $4mV$. Fitzroy y Arau-Puchades funcionan de otra manera: calculan tres tiempos de Eyring axiales y los combinan, de modo que sus entradas son tiempos de reverberación y no pueden sustituirse en ese denominador (§2).

La EN 12354-6 fija la misma constante de otra forma. Redondea $24\ln 10$ a 55,3 y fija $c_0=345,6m/s$ para que el factor sea exactamente el tradicional 0,16, lo que hace que el modelo de recintos devuelva tiempos de reverberación un 0,7 % más cortos que sabine_reverberation_time para la misma sala — 0,608 s frente a 0,612 s para la sala rectangular de 8 × 5 × 3 m del §1. Es una convención de redondeo, no un desacuerdo físico: pasar speed_of_sound=345.6 a la función clásica deja las dos dentro de un 0,07 %, el residuo de redondear $24\ln 10=55,262$ a 55,3.

Una sala de 10 × 7 × 3,5 m con suelo enmoquetado y techo acústico entre paredes de fondo duras, pasada por los cinco modelos. Fitzroy queda bastante por encima del resto porque un único par de paredes carga con casi toda la absorción; Sabine y Eyring acotan la zona intermedia, y Arau-Puchades templa la sobrestimación de Fitzroy con una media geométrica. Cuando los cinco se separan así, la sala te está diciendo que su campo no es difuso (§4): la separación es el diagnóstico, no un defecto de una de las fórmulas.

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import environment, room

# Una sala de 10 x 7 x 3.5 m: paredes frontales duras, paredes laterales con
# tratamiento ligero y un par suelo/techo muy absorbente (moqueta y techo acústico).
bands = [125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0]
alpha_x = [0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10, 0.10]
alpha_y = [0.12, 0.14, 0.16, 0.18, 0.20, 0.20]
alpha_z = [0.30, 0.50, 0.65, 0.78, 0.82, 0.80]
m = environment.air_attenuation_m(bands, 20.0, 50.0)   # aire a 20 C / 50 % HR
res = room.reverberation_time_models((10.0, 7.0, 3.5),
                                     (alpha_x, alpha_y, alpha_z),
                                     air_attenuation=m, frequencies=bands)
res.plot(language="es")   # las cinco curvas de modelo por banda
plt.show()

0. Reunir los datos de entrada

Los cinco modelos consumen dos cosas que un plano no te da directamente: una lista de áreas con un coeficiente cada una y — para Fitzroy y Arau-Puchades — un coeficiente medio por cada par de paredes opuestas. Casi toda predicción equivocada es una medición de superficies equivocada, no una fórmula equivocada, así que este paso merece tanto cuidado como la elección de modelo.

Áreas. Usa las áreas de contorno interiores de la sala, medidas a las superficies acabadas, y da a cada material su propia fila: una pared con una ventana y una puerta pasa a ser tres filas cuyas áreas suman la pared. El caso 3 del Anexo E de la EN 12354-6 hace exactamente esto y parte una pared larga de 10,90 m² en 9,81 m² revestidos con ${\alpha }_{\mathrm{s}}$ = 0,85 más 1,09 m² desnudos con 0,04. No promedies a mano un revestimiento con su pared; las fórmulas ya hacen la ponderación por áreas, y Millington-Sette la hace de forma no lineal, así que promediar antes cambia el resultado.

Coeficientes. Son valores de incidencia aleatoria medidos según la ISO 354 sobre una probeta de 10-12 m² en un montaje declarado, no constantes del material (Medida y clasificación de la absorción sonora). La profundidad del montaje y la condición del borde los cambian sustancialmente, así que un coeficiente declarado para un producto adherido directamente al soporte no describe al mismo producto sobre un plenum de 200 mm. La ISO 354 entrega datos en tercios de octava y un cálculo en bandas de octava toma la media aritmética de los tres tercios. La valoración de número único de una hoja de características — ${\alpha }_{\mathrm{w}}$, NRC, SAA — no sustituye a la tabla por bandas (ver la guía de la EN 12354-6, que enuncia la prohibición de forma normativa). El público y los asientos se valoran por metro cuadrado de la superficie de suelo que ocupan, no por persona. Reintroducir en Sabine los datos de cámara reverberante es autoconsistente porque el coeficiente de la ISO 354 se define a través de la fórmula de Sabine, que es también la razón de que un coeficiente por encima de 1,0 sea un resultado documentado y no un error (§4).

Medias por par de paredes. fitzroy_reverberation_time y arau_puchades_reverberation_time toman un coeficiente medio por cada par opuesto, en el orden $({\bar{\alpha }}_x,{\bar{\alpha }}_y,{\bar{\alpha }}_z)$, donde ${\bar{\alpha }}_i$ corresponde al par perpendicular al eje $i$. Cada uno es la media ponderada por área sobre las dos superficies del par. En una sala rectangular las dos superficies tienen igual área, así que se reduce a su media aritmética — pero deja de hacerlo en cuanto una de ellas queda partida por una ventana o un revestimiento. La absorción repartida de forma desigual dentro de un mismo par (una pared absorbente enfrentada a una dura) queda fuera de los dos modelos aunque el código siga devolviendo un número; ese caso pertenece a la lista de fallos del §4.

# `room` es la importación del bloque de la figura de arriba.
# Un aula de 9 x 7 x 3 m (V = 189 m3), banda de octava de 1 kHz, medida por material.
surfaces = [
    (63.0, 0.05),   # suelo, vinilo sobre hormigón
    (63.0, 0.70),   # techo, placa acústica de 20 mm
    (12.0, 0.04),   # pared larga A: acristalamiento
    (15.0, 0.05),   # pared larga A: yeso alrededor del acristalamiento
    (2.0, 0.10),    # pared larga B: puerta de madera
    (25.0, 0.05),   # pared larga B: yeso
    (21.0, 0.05),   # pared corta, yeso
    (21.0, 0.05),   # pared corta, yeso
]
print(round(room.sabine_reverberation_time(189.0, surfaces), 2))   # 0.59 s

def pair_mean(rows):                       # media ponderada por área de un par
    area = sum(s for s, _ in rows)
    return sum(s * a for s, a in rows) / area

means = (pair_mean(surfaces[6:8]),         # par x: las dos paredes cortas
         pair_mean(surfaces[2:6]),         # par y: las dos paredes largas
         pair_mean(surfaces[0:2]))         # par z: suelo y techo
print([round(a, 3) for a in means])                                # [0.05, 0.05, 0.375]
print(round(room.fitzroy_reverberation_time((9.0, 7.0, 3.0), means), 2))       # 1.33 s
print(round(room.arau_puchades_reverberation_time((9.0, 7.0, 3.0), means), 2)) # 0.76 s

Una sola medición de superficies, las dos formas de entrada. La separación que produce — 0,59 s de Sabine frente a 1,33 s de Fitzroy — no es un fallo: toda la absorción de esta sala está sobre un único par de paredes, que es exactamente el caso para el que existe el §2 y del que avisa el §4.

1. Sabine, Eyring y Millington-Sette

Todos los modelos de la familia salen de una misma imagen. En un campo difuso un rayo recorre un recorrido libre medio $4V/S$ entre reflexiones, así que alcanza un contorno $cS/4V$ veces por segundo y cede parte de su energía en cada una. Toma esa pérdida como $\alpha$ por reflexión, linealízala, y obtienes Sabine: la tasa de decaimiento es proporcional a ${\sum }_i{S}_i{\alpha }_i$, y una caída de 60 dB tarda $kV/A$ segundos. Mantén la pérdida como multiplicativa — tras $n$ reflexiones la energía ha bajado en $(1-\bar{\alpha }{)}^n$ — y el logaritmo de ese factor da el $-S\ln (1-\bar{\alpha })$ de Eyring, que es la razón de que Eyring sea siempre el más corto de los dos y de que ambos converjan cuando $\bar{\alpha }\to 0$. Haz esa misma contabilidad superficie a superficie en lugar de sobre la media y obtienes Millington-Sette, que se anula en cuanto una superficie absorbe perfectamente, porque un rayo que la alcanza no vuelve. El término de aire $4mV$ es esa misma longitud de recorrido aplicada al medio en lugar de al contorno.

Los tres modelos estadísticos toman el volumen de la sala y una lista de superficies (área, coeficiente_de_absorción). Sabine solo es exacto para absorción baja y uniforme; Eyring sustituye el área de absorción por $-S\ln (1-\bar{\alpha })$ y es correcto donde Sabine sobrestima $T$; Millington-Sette suma el término de Eyring superficie a superficie, de modo que una única superficie perfectamente absorbente lleva $T$ a cero.

$$T_{\text{Sab}}=\frac{kV}{{\sum }_i{S}_i{\alpha }_i},T_{\text{Eyr}}=\frac{kV}{-S\ln (1-\bar{\alpha })},T_{\text{Mil}}=\frac{kV}{-{\sum }_i{S}_i\ln (1-{\alpha }_i)}.$$

from phonometry import room

# Sala rectangular 8 x 5 x 3 m (V = 120 m3, S = 158 m2), alpha uniforme = 0,2.
surfaces = [(40.0, 0.2), (40.0, 0.2), (24.0, 0.2),
            (24.0, 0.2), (15.0, 0.2), (15.0, 0.2)]
print(round(room.sabine_reverberation_time(120.0, surfaces), 3))            # 0.612 s
print(round(room.eyring_reverberation_time(120.0, surfaces), 3))            # 0.548 s
print(round(room.millington_sette_reverberation_time(120.0, surfaces), 3))  # 0.548 s

Para una distribución uniforme, Eyring y Millington-Sette coinciden, y ambos quedan por debajo de Sabine; la sobrestimación de Sabine con absorción alta es la razón de ser de Eyring. Cuando $\alpha \to 0$, Eyring se reduce a Sabine. La absorción del aire entra en todos los modelos a través del coeficiente de atenuación de potencia (intensidad) $m$, en neperios por metro:

from phonometry import environment, room

m = environment.air_attenuation_m(2000.0, temperature=20.0, relative_humidity=50.0)
surfaces = [(40.0, 0.3), (40.0, 0.3), (24.0, 0.3),
            (24.0, 0.3), (15.0, 0.3), (15.0, 0.3)]
print(round(room.eyring_reverberation_time(120.0, surfaces, air_attenuation=m), 3))
# 0.337 s, frente a 0.343 s omitiendo el término de aire

Seis milisegundos sobre un tercio de segundo es la razón de que el término de aire suela ignorarse en una sala de este tamaño, y es un argumento de escalado más que una regla empírica: $4mV$ crece con el volumen mientras que el término de contorno crece con el área, así que la cuota del aire sube con la dimensión lineal de la sala. En esa misma sala de 120 m³ la corrección a 2 kHz es del 1,9 %; en un auditorio de 20 000 m³ con $\bar{\alpha }=0,15$ el tiempo de Eyring a 4 kHz baja de 4,31 s a 2,49 s a 20 °C y 50 % de HR — un 42 % — y a 1,52 s si la sala está seca, al 20 % de HR. Esa es la segunda mitad del comportamiento: $m$ sube con fuerza al subir la frecuencia y baja con la humedad, así que la condición más seca es el caso más desfavorable, y un auditorio que mide bien en un verano húmedo puede sonar notablemente más brillante en invierno. El coeficiente en sí sale del modelo de absorción atmosférica de la ISO 9613-1, evaluado a la temperatura y la humedad de la propia sala.

Todos los modelos estadísticos suponen además un campo difuso, y las bajas frecuencias son las primeras en romper esa suposición: por debajo de la frecuencia de Schroeder $f_{\mathrm{s}}\approx 2000\sqrt{T/V}$ ($V$ en m³, $T$ en s — 141 Hz para un aula de 200 m³ con $T$ = 1 s) la sala responde como un conjunto de modos discretos, no como una mezcla reverberante. room.schroeder_frequency(T, V) la calcula, y los modos de una sala rectangular enumeran lo que hay ahí abajo. La simulación FDTD 2D siguiente excita una sala rígida de 5 m por 3,5 m exactamente en su modo (2,1) y después entre dos modos; el patrón de onda estacionaria que se forma en resonancia es lo que Sabine y Eyring no pueden ver.

Simulación FDTD 2D de una sala rígida de 5 por 3,5 metros excitada en el modo (2,1) de 84 Hz y en una frecuencia fuera de modo, lado a lado. En resonancia un patrón de onda estacionaria con líneas nodales fijas crece hasta dominar el mapa de presión RMS; fuera de resonancia la respuesta forzada se mantiene débil y nunca se organiza en esa estructura nodal.

Descargar la animación (WebM)

Simulación FDTD 2D de una sala rígida de 5 por 3,5 metros excitada en el modo (2,1) de 84 Hz y en una frecuencia fuera de modo, lado a lado. En resonancia un patrón de onda estacionaria con líneas nodales fijas crece hasta dominar el mapa de presión RMS; fuera de resonancia la respuesta forzada se mantiene débil y nunca se organiza en esa estructura nodal.

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2. Fitzroy y Arau-Puchades (salas anisótropas)

Cuando la absorción se concentra en un eje (un suelo enmoquetado y un techo acústico frente a paredes por lo demás duras), una única media $\bar{\alpha }$ falsea el campo. Fitzroy y Arau-Puchades dividen una sala rectangular en los tres pares de paredes opuestas y combinan los tiempos de reverberación de Eyring axiales $T_i$ (cada uno con la superficie total $S$ y la absorción media ${\bar{\alpha }}_i$ del par de paredes perpendicular al eje $i$):

$$T_{\text{Fitz}}=\sum _i\frac{S_i}{S}{T}_i(\text{aritmeˊtica}),T_{\text{Arau}}=\prod _i{T}_i^{S_i/S}(\text{geomeˊtrica}).$$

Cada $T_i$ tiene una lectura física: es el tiempo de reverberación que tendría la sala si todos sus contornos absorbieran como el par de paredes del eje $i$, de modo que es el decaimiento que experimenta el sonido que rebota predominantemente a lo largo de ese eje — por eso la fórmula usa la superficie total $S$ y no $S_i$. El peso $S_i/S$ es entonces la fracción de contorno que encauza la energía hacia ese eje. Una sala rectangular con suelo y techo blandos entre paredes duras tiene por tanto tres tasas de decaimiento coexistiendo, y los dos modelos solo se diferencian en cómo las mezclan: Fitzroy las promedia aritméticamente, con lo que domina el eje más lento y el resultado sale alto cuando un par es muy reflectante; Arau-Puchades las promedia geométricamente, lo que deja que el eje más rápido tire del resultado hacia abajo. Los dos suponen una sala rectangular y absorción uniforme dentro de cada par, así que una sala con una pared absorbente enfrentada a una dura del mismo par queda fuera del modelo aunque el código siga devolviendo un número (§0).

from phonometry import room

# Sala 8 x 5 x 3 m, par de paredes x absorbente (alpha 0,5), duro el resto (0,1).
dims = (8.0, 5.0, 3.0)
absorption = (0.5, 0.1, 0.1)   # alpha medio de los pares de paredes (x, y, z)
print(round(room.arau_puchades_reverberation_time(dims, absorption), 3))  # 0.812 s
print(round(room.fitzroy_reverberation_time(dims, absorption), 3))        # 0.974 s

Por la desigualdad de las medias aritmética y geométrica, el tiempo de Arau-Puchades nunca supera al de Fitzroy; se sabe que Fitzroy sobrestima cuando un par de paredes es muy reflectante, por lo que Arau-Puchades recomienda la media geométrica. Ambos se reducen exactamente a Eyring para una distribución de absorción uniforme.

El falseamiento para el que existen estos dos modelos puede ejecutarse como experimento, y el clip de abajo lo hace. Una sección plana de 8 × 2,5 m se simula dos veces con la misma absorción estadística total: repartida por los cuatro bordes, o concentrada en el par suelo-techo (el suelo enmoquetado y el techo acústico del propio ejemplo de esta página, α ≈ 0,79) entre extremos duros. Cualquier fórmula construida sobre una única media $\bar{\alpha }$ ve el mismo número en las dos salas, así que las predicciones de Sabine y Eyring — evaluadas para la sección bidimensional, cuyo recorrido libre medio es $\pi S/P$ — forman una única banda compartida por ambas. La sala con la absorción repartida decae dentro de ella, una recta a T = 160 ms frente a los 201 de Sabine. El decaimiento de la sala con la absorción concentrada no tiene una única pendiente, 183 ms al principio y 236 ms en la cola, y acaba 10 dB por encima de su gemela; el campo superviviente se ve en el panel RMS como un patrón estacionario entre los extremos duros, casi uniforme de suelo a techo: sonido corriendo paralelo al absorbente, rozándolo en incidencia rasante en lugar de golpearlo, que es el campo que el §4 describe en las salas desproporcionadas.

Una simulación FDTD 2D de una sección plana de 8 por 2,5 metros ejecutada dos veces con la misma absorción estadística total, repartida por los cuatro bordes o concentrada en el suelo y el techo entre extremos duros. Un eje inferior enfrenta en carrera los dos decaimientos de energía medidos a través de la banda compartida de Sabine-Eyring: la sala con la absorción repartida decae dentro de la banda a 160 ms, la sala con la absorción concentrada muestra dos pendientes de 183 y 236 ms y acaba 10 dB más alta, y su mapa RMS conserva un campo rasante a franjas que corre paralelo al par absorbente.

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Una simulación FDTD 2D de una sección plana de 8 por 2,5 metros ejecutada dos veces con la misma absorción estadística total, repartida por los cuatro bordes o concentrada en el suelo y el techo entre extremos duros. Un eje inferior enfrenta en carrera los dos decaimientos de energía medidos a través de la banda compartida de Sabine-Eyring: la sala con la absorción repartida decae dentro de la banda a 160 ms, la sala con la absorción concentrada muestra dos pendientes de 183 y 236 ms y acaba 10 dB más alta, y su mapa RMS conserva un campo rasante a franjas que corre paralelo al par absorbente.

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3. Comparación de los cinco modelos por banda

reverberation_time_models construye las seis superficies de contorno de una sala rectangular a partir de sus dimensiones y las tres absorciones medias de los pares de paredes, evalúa los cinco modelos en igualdad de condiciones y devuelve un ReverberationModelResult cuyo .plot() dibuja la figura anterior.

from phonometry import room

# Sala 10 x 7 x 3,5 m, suelo/techo absorbentes frente a paredes más duras.
res = room.reverberation_time_models(
    (10.0, 7.0, 3.5),
    (
        [0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10, 0.10],   # par x: paredes de fondo duras
        [0.12, 0.14, 0.16, 0.18, 0.20, 0.20],   # par y: paredes poco tratadas
        [0.30, 0.50, 0.65, 0.78, 0.82, 0.80],   # par z: moqueta + techo acústico
    ),
    frequencies=[125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0],
)
print(res.sabine.round(2))         # [0.74 0.47 0.37 0.31 0.3  0.3 ]
print(res.arau_puchades.round(2))  # [0.79 0.51 0.38 0.29 0.26 0.27]
print(res.fitzroy.round(2))        # [1.02 0.79 0.66 0.57 0.51 0.51]
res.plot()   # las curvas de los cinco modelos por banda (la figura de arriba)

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import environment, room

m = environment.air_attenuation_m([125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0], 20.0, 50.0)
room.reverberation_time_models(
    (10.0, 7.0, 3.5),
    (
        [0.06, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10, 0.10],
        [0.12, 0.14, 0.16, 0.18, 0.20, 0.20],
        [0.30, 0.50, 0.65, 0.78, 0.82, 0.80],
    ),
    air_attenuation=m,
    frequencies=[125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0],
).plot(language="es")
plt.show()

Sabine y Eyring son los dos modelos de cabecera, y la separación entre ambos por banda es en sí un diagnóstico. El diagrama pasa la sala de esta sección por los dos, con la frontera de validez que comparten todas las fórmulas estadísticas.

La misma sala de 245 m³ por Sabine y Eyring solos. Eyring lee un 11 % más corto a 125 Hz y un 29 % más corto a 4 kHz, porque su corrección crece con la absorción media, que aquí sube de 0,21 a 0,51 a lo largo del espectro. La nota final es el dominio que comparten los dos.

4. Elegir un modelo, y cuándo fallan todos

El único eje en el que discrepan los tres primeros modelos es la absorción media, así que merece la pena verlos representados frente a ella antes de leer los puntos de abajo.

Una sala rectangular de 8 × 5 × 3 m con una absorción media uniforme barrida de 0,02 a 0,99. Por debajo de $\bar{\alpha }\approx 0,1$ los tres coinciden, que es la razón de que Sabine haya sobrevivido a un siglo de uso. Eyring y Millington-Sette son idénticos para una distribución uniforme y se alejan de Sabine a medida que sube la absorción: −10 % con $\bar{\alpha }$ = 0,2, −28 % con 0,5, −61 % con 0,9. En el borde derecho se ve la diferencia estructural: Sabine sigue prediciendo unos finitos 0,12 s para una sala con una abertura en todas las direcciones, mientras que los modelos logarítmicos llegan a cero.

Mostrar el código de esta figura

# `room` y `plt` son las importaciones del bloque de la figura del principio.
import numpy as np

alpha = np.linspace(0.02, 0.99, 200)
volume, area = 120.0, 158.0
sab = np.array([room.sabine_reverberation_time(volume, [(area, a)]) for a in alpha])
eyr = np.array([room.eyring_reverberation_time(volume, [(area, a)]) for a in alpha])

fig, (top, bottom) = plt.subplots(2, 1, sharex=True)
top.semilogy(alpha, sab, label="Sabine")
top.semilogy(alpha, eyr, "--", label="Eyring")
top.set_ylabel("T [s]")
top.legend()
bottom.plot(alpha, 100.0 * (eyr / sab - 1.0))
bottom.set_xlabel(r"Absorción media $\bar\alpha$")
bottom.set_ylabel("Desviación respecto a Sabine [%]")
plt.show()

Las cinco fórmulas no compiten en un único eje de precisión; cada una tiene su dominio de validez:

• Sabine es la herramienta para salas vivas con absorción baja y razonablemente repartida ($\bar{\alpha }$ media hasta aproximadamente 0,2): aulas, salas de actos, cámaras reverberantes. Es además la convención integrada en la práctica de medida, porque el coeficiente de absorción de ISO 354 se define mediante la fórmula de Sabine, así que devolver datos de cámara reverberante a Sabine es autoconsistente incluso donde la fórmula se tensa. Su defecto estructural aparece con absorción alta: con $\alpha =1$ en todas las superficies (una abertura en todas las direcciones) sigue prediciendo un tiempo de reverberación finito.
• Eyring es la elección para salas tratadas de forma uniforme con absorción considerable: estudios, oficinas tratadas, salas de escucha. Alcanza $T=0$ con absorción total, y su corrección sobre Sabine crece con $\bar{\alpha }$ (en torno a un 10 % más corto con $\bar{\alpha }=0,2$, un 30 % con 0,5).
• Millington-Sette maneja una mezcla de superficies muy absorbentes y duras mejor que una única media, pero está pensado para coeficientes medidos por debajo de la unidad: una sola superficie con ${\alpha }_i=1$ lleva toda la predicción a cero. Los coeficientes de cámara reverberante iguales o superiores a 1,0 son un resultado documentado de la ISO 354 — la difracción de borde dispersa hacia la probeta más energía de la que intercepta su área plana, ver Medida y clasificación de la absorción sonora — y quedan fuera del dominio del término logarítmico. Para usar Millington-Sette de todos modos hay que llevar el coeficiente a $[0,1)$, y esa es una decisión de modelado que la fórmula no prescribe: el ajuste que elijas (es habitual limitarlo justo por debajo de 1) debe registrarse junto a la predicción.
• Fitzroy y Arau-Puchades apuntan a salas rectangulares con la absorción concentrada en un eje, la oficina o vivienda típica con suelo y techo blandos entre paredes duras. La media geométrica de Arau templa la conocida sobrestimación de Fitzroy cuando un par de paredes es muy reflectante.

Qué acepta cada modelo. phonometry aplica a cada fórmula su propio dominio, así que un coeficiente fuera de dominio lanza un ValueError en lugar de devolver un número sin sentido:

Modelo	Acepta	Por qué
Sabine	cualquier ${\alpha }_i\ge 0$, incluso por encima de 1	la suma lineal ${\sum }_i{S}_i{\alpha }_i$ sigue siendo finita
Eyring	${\alpha }_i$ individuales por encima de 1, siempre que $\bar{\alpha }<1$	en $\ln (1-\bar{\alpha })$ solo entra la media
Millington-Sette	todos los ${\alpha }_i<1$	su $\ln (1-{\alpha }_i)$ por superficie diverge en 1
Fitzroy	cada media de par de paredes $<1$	las medias son la entrada, y cada una entra en un logaritmo
Arau-Puchades	cada media de par de paredes $<1$	igual

Los cinco rechazan de plano un coeficiente por encima de 2,0, por entender que es un porcentaje pasado como fracción: los valores medidos según la ISO 354 no superan aproximadamente 1,2.

Cuándo fallan todas las fórmulas. Las cinco heredan la misma hipótesis: un campo difuso, con sonido llegando por igual desde todas las direcciones en todos los puntos, que permanece difuso mientras decae. Las formas habituales en que se rompe:

• Por debajo de la frecuencia de Schroeder la banda contiene un puñado de modos discretos (la animación del §1) y un tiempo de reverberación estadístico ni siquiera está definido; cada modo decae a su propio ritmo, fijado por las impedancias de las paredes que realmente toca.
• Los volúmenes acoplados (una sala con la caja escénica abierta, dos recintos a través de una puerta) producen decaimientos de doble pendiente; no existe un único $T$, y los T20 y T30 medidos discrepan (el diagnóstico de curvatura de la guía de parámetros de sala).
• Las salas desproporcionadas (pasillos, salas bajas y extensas) con la absorción en un solo par de superficies mantienen un campo rasante paralelo a las superficies duras que el absorbente apenas toca; el tiempo medido puede llegar a duplicar cualquier predicción estadística, la experiencia práctica recogida en la EN 12354-6 (ver Absorción acústica en recintos). Ese campo rasante es el superviviente a franjas del clip del §2, que lo mide viviendo más que toda la banda de Sabine-Eyring de su propia sección.
• Las geometrías focalizantes (cúpulas, paredes traseras curvas) concentran la energía tardía en lugar de mezclarla, produciendo decaimientos dependientes de la posición que ninguna fórmula de un solo número puede representar.

Los objetos difusores restauran la mezcla que los modelos suponen: una sala amueblada sigue la predicción estadística claramente mejor que la misma sala vacía, más allá de lo que explica el área de absorción propia del mobiliario. El clip de abajo es ese mecanismo con la absorción quitada de en medio, de modo que solo queda la mezcla: un frente de onda de 800 Hz entra en una sala rígida de 4 m llena de columnas rígidas de 10 a 17 cm de anchura, de un cuarto a dos quintos de la longitud de onda de 42,9 cm. Cada columna difracta el frente y suelta una onda dispersada, las ondas dispersadas interfieren y en unos pocos pasos el frente especular se ha convertido en energía repartida por toda la sala sin dirección preferente, que es la hipótesis de la que parten tanto Sabine como Eyring y que aquí aparece como resultado en lugar de como hipótesis. Nada absorbe dentro de la sala, así que lo que se ve es solo la redistribución; el decaimiento del final es la energía escapándose por los dos extremos abiertos.

Un frente de onda plano de 800 Hz recorre una sala rígida de 4 m llena de una columnata al tresbolillo de columnas rígidas de 10 a 17 cm de anchura, simulada a 2,5 mm; cada columna difracta el frente y suelta una onda dispersada, y las ondas dispersadas interfieren hasta llenar toda la sala de energía estructurada que después se escapa por los extremos absorbentes.

Descargar la animación (WebM)

Un frente de onda plano de 800 Hz recorre una sala rígida de 4 m llena de una columnata al tresbolillo de columnas rígidas de 10 a 17 cm de anchura, simulada a 2,5 mm; cada columna difracta el frente y suelta una onda dispersada, y las ondas dispersadas interfieren hasta llenar toda la sala de energía estructurada que después se escapa por los extremos absorbentes.

Descargar la animación (WebM)

En la práctica, indica un abanico de predicciones (Sabine y Eyring, o Fitzroy y Arau-Puchades en los casos axiales) en lugar de un único valor; donde los modelos se separan, la sala está diciendo que su campo no es difuso.

A qué valor apuntar

Una predicción solo sirve frente a un objetivo, y un requisito de tiempo de reverberación es un intervalo a lo largo de las bandas de octava, no un único límite superior — que es la razón de que la ficha del §5 imprima el objetivo como línea de referencia y no emita ningún veredicto. Referencias que conviene tener a mano:

• Las salas críticas para el habla (aulas, salas de reuniones, salas de conferencias) se sitúan aproximadamente entre 0,4 s y 0,8 s en frecuencias medias, y el intervalo se estrecha cuanto más pequeña es la sala. La Tabla 1 de la ANSI/ASA S12.60-1:2010 es la versión más estricta de uso extendido: para aulas principales desocupadas y amuebladas limita la media de las octavas de 500 Hz, 1 kHz y 2 kHz a 0,6 s hasta 283 m³ y a 0,7 s de 283 m³ a 566 m³, sin requisito por encima de ese volumen, y pide además que las salas más pequeñas puedan adaptarse hasta 0,3 s.
• Las oficinas diáfanas, los pasillos y las escaleras se especifican por área de absorción y no por tiempo de reverberación, porque su campo está demasiado lejos de ser difuso para que un único $T$ lo describa (este es el propio consejo del apartado 4.5 de la EN 12354-6, y las magnitudes de la ISO 3382-3 de Acústica de oficinas diáfanas sustituyen por completo a $T$).
• Los espacios de ensayo e interpretación musical necesitan más de 1 s y suben con el volumen; la Tabla A.1 de la ISO 3382-1 da de 1,0 s a 3,0 s como intervalo típico de EDT de salas de conciertos y polivalentes desocupadas de hasta 25 000 m³.

Con los números van dos reglas de forma. El objetivo se lee normalmente en las octavas de 500 Hz y 1 kHz, y la meta a lo largo de la frecuencia es un espectro plano: una subida en baja frecuencia de más de un 20 % aproximadamente sobre el valor de frecuencias medias es lo que hace que una sala tratada suene retumbante aunque cumpla a 500 Hz, y una subida de ese tamaño se tolera en espacios musicales pero no en aulas. Y como la banda de predicción suele ser del 20 al 30 % de ancho — el aula del §0 va de 0,59 s a 1,33 s —, un diseño que solo cumple su objetivo por los pelos con el modelo más favorable no tiene margen ninguno.

5. Informe de predicción (.report())

ReverberationModelResult.report(path) genera una ficha PDF de una página de la predicción: una línea de base que la marca como predicción en fase de diseño por los cinco modelos de acústica estadística, un bloque de cabecera de metadatos opcional (cliente, sala, descripción, volumen de la sala, superficie total, condiciones climáticas), una tabla por bandas con una columna de tiempo de reverberación por modelo junto a la gráfica de comparación de modelos (.plot()), y el tiempo de reverberación de frecuencias medias destacado a partir de Arau-Puchades (el modelo recomendado para una distribución de absorción no uniforme) con la dispersión entre modelos al lado. Es una predicción, no una medición: los cinco modelos acotan el tiempo de reverberación que probablemente se produzca, por lo que no se emite ningún veredicto CUMPLE/NO CUMPLE. Un tiempo de reverberación objetivo indicado mediante el campo requirement de los metadatos se imprime solo como línea de referencia, ya que el tiempo de reverberación de una sala es un intervalo objetivo y no una magnitud en la que simplemente cuanto más alto o más bajo, mejor. Usa el mismo contenedor ReportMetadata y el mismo motor de renderizado que las demás fichas; pasar metadata=None produce una ficha de predicción básica. El renderizado necesita reportlab y, para la figura que incrusta la ficha, matplotlib (pip install "phonometry[report,plot]"); solo se admite engine="reportlab". La ficha se renderiza en inglés por defecto; pasa language="es" para una ficha en español (cadenas fijas traducidas y separador decimal de coma).

from phonometry import reverberation_time_models, ReportMetadata

result = reverberation_time_models(
    (8.0, 5.0, 3.0),                       # sala tipo caja, un par de paredes tratado
    ([0.10, 0.15, 0.30, 0.45, 0.55, 0.60], # par de paredes tratado, por banda de octava
     [0.08, 0.10, 0.12, 0.15, 0.18, 0.20], # paredes laterales
     [0.05, 0.08, 0.10, 0.12, 0.15, 0.18]),# suelo/techo
    frequencies=[125.0, 250.0, 500.0, 1000.0, 2000.0, 4000.0],
)
result.report(
    "reverberation_fiche.pdf",
    metadata=ReportMetadata(
        specimen="Aula, una pared revestida con un absorbente de banda ancha",
        test_room="Aula C1",
        temperature=20.0, relative_humidity=50.0,
        laboratory="Laboratorio de referencia Phonometry",
        requirement=0.8,          # impreso como línea de referencia, sin veredicto
    ),
    language="es",
)                                 # la tabla de los cinco modelos + el T_mid destacado

La ficha de ejemplo se regenera con make reports y se mantiene renderizada en el repositorio; pulsa la vista previa para abrir el PDF.

Ficha de predicción del tiempo de reverberación de una página: una cabecera de metadatos (cliente, sala, descripción, volumen de la sala, superficie total, temperatura, humedad y presión), la tabla por bandas de octava con una columna de tiempo de reverberación por modelo (Sabine, Eyring, Millington-Sette, Fitzroy y Arau-Puchades de 125 Hz a 4 kHz) junto a la gráfica de comparación de los cinco modelos, el tiempo de reverberación de frecuencias medias destacado a partir de Arau-Puchades con la dispersión entre modelos al lado, y una línea de referencia del tiempo de reverberación objetivo (sin veredicto CUMPLE/NO CUMPLE).

Descargar el informe (PDF)

Ficha de predicción del tiempo de reverberación (ReverberationModelResult.report), la tabla de los cinco modelos y el T_mid destacado.

Qué cubre esta guía

• Cubierto

  Las fórmulas clásicas del tiempo de reverberación de la acústica estadística de Sabine (1922), Eyring (1930), Millington-Sette (1932), Fitzroy (1959) y Arau-Puchades (1988), cada una con su propia comprobación de dominio de validez y el término de absorción del aire derivado de la ISO 9613-1, mediante room.sabine_reverberation_time, room.eyring_reverberation_time, room.millington_sette_reverberation_time, room.fitzroy_reverberation_time, room.arau_puchades_reverberation_time y la función combinada room.reverberation_time_models.

• No cubierto

  El propio modelo del apartado 4 de la EN 12354-6 (un cálculo de Sabine con un término de objetos añadido y el término de aire de la ISO 9613-1) es un cálculo distinto, definido por esa norma, que vive en la guía de absorción acústica en recintos, no aquí. Ninguna de las cinco fórmulas modela volúmenes acoplados, salas desproporcionadas o geometrías focalizantes: sus decaimientos de doble pendiente o dependientes de la posición quedan fuera de toda hipótesis de campo difuso (apartado 4). Para un decaimiento medido que muestre esos síntomas, usa el diagnóstico de curvatura T20/T30 de la guía de Acústica de salas en lugar de una predicción estadística.

Véase también

• Medida y clasificación de la absorción sonora: la medición ISO 354 de la que sale cada ${\alpha }_{\mathrm{s}}$ de esta página, su dependencia del montaje y la valoración ISO 11654 que no debe sustituir a la tabla por bandas (§0).
• Parámetros acústicos de salas (ISO 3382-1/2): la contraparte medida, y el diagnóstico de curvatura que avisa de que la hipótesis de campo difuso de una predicción ha fallado.
• Modos de una sala rectangular: qué hay por debajo de la frecuencia de Schroeder, donde no se aplica ninguna de estas cinco fórmulas.
• Referencia de la API: room.reverberation_prediction y environment.propagation.air_absorption.
• Teoría: Aislamiento acústico y absorción, predichos: la hipótesis de campo difuso que supone toda fórmula de la familia Sabine, y dónde deja de cumplirse.

Referencias

• Arau-Puchades, H. (1988). An improved reverberation formula. Acustica, 65(4), 163-180. La combinación por media geométrica del §2 (su Fórmula 18). La ficha enlazada es la página del editor en Ingenta.
• Carrión Isbert, A. (1998). Diseño acústico de espacios arquitectónicos. Edicions UPC. Un tratamiento en español de los modelos de reverberación y su uso en el diseño de salas. ISBN 978-84-8301-252-9.
• European Committee for Standardization. (2003). Building acoustics — Estimation of acoustic performance of buildings from the performance of elements — Part 6: Sound absorption in enclosed spaces (EN 12354-6:2003). Las fórmulas clásicas son anteriores al mundo normativo y entran en él a través de esta norma, cuyo modelo del apartado 4 es un cálculo de Sabine con términos de objetos y de aire; ver la guía de absorción acústica en recintos. La ficha de catálogo enlazada es la página de BSI Knowledge de BS EN 12354-6:2003.
• Everest, F. A. (2001). Master handbook of acoustics (4.ª ed.). McGraw-Hill. El ejemplo resuelto de la Fig. 7-22 que reproduce la batería de conformidad: el Ejemplo 1, una sala sin tratar de 23,3 × 16 × 10 ft, cuyos seis tiempos de reverberación de Sabine impresos reproduce la implementación SI con ≤ 0,02 s, reforzado por valores en forma cerrada calculados a mano y las identidades entre modelos (todo modelo colapsa a Eyring con absorción uniforme; Eyring colapsa a Sabine cuando la absorción tiende a cero), que trasladan transitivamente ese anclaje de datos reales a toda la familia. ISBN 978-0-07-136097-5.
• Eyring, C. F. (1930). Reverberation time in "dead" rooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 1(2A), 217-241. https://doi.org/10.1121/1.1915175La derivación por recorrido libre medio que sustenta el término −S ln(1−ᾱ) del §1.
• Fitzroy, D. (1959). Reverberation formula which seems to be more accurate with nonuniform distribution of absorption. The Journal of the Acoustical Society of America, 31(7), 893-897. https://doi.org/10.1121/1.1907814La división axial en tres decaimientos por pares de paredes del §2.
• International Organization for Standardization. (1993). Acoustics — Attenuation of sound during propagation outdoors — Part 1: Calculation of the absorption of sound by the atmosphere (ISO 9613-1:1993). El coeficiente de absorción atmosférica que sustenta el término de aire 4mV; ver la guía de propagación en exteriores.
• International Organization for Standardization. (2003). Acoustics — Measurement of sound absorption in a reverberation room (ISO 354:2003). Define el coeficiente de absorción medido mediante la fórmula de Sabine, el argumento de autoconsistencia del §4.
• Kuttruff, H. (2016). Room acoustics (6.ª ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9781315372150La teoría del campo difuso, sus límites y la valoración moderna de las fórmulas clásicas que sustentan el §4.
• Millington, G. (1932). A modified formula for reverberation. The Journal of the Acoustical Society of America, 4(1), 69-82. https://doi.org/10.1121/1.1915588El término logarítmico de absorción por superficie del §1.
• Sabine, W. C. (1922). Collected papers on acoustics. Harvard University Press. Los experimentos originales de reverberación y la ley T = 0,161 V/A del §1. La copia enlazada es el escaneo libre de Internet Archive.