Movilidad mecánica y la familia de FRF (ISO 7626-1)

La movilidad mecánica es el cociente complejo entre una respuesta en velocidad y la fuerza que la produce, Y = v/F. Es un miembro de una familia de funciones de respuesta en frecuencia (FRF) movimiento-por-fuerza: cuál se usa depende solo de si el movimiento es un desplazamiento, una velocidad o una aceleración, y cada una tiene una recíproca fuerza-por-movimiento. La ISO 7626-1:2011 define la familia completa (Tabla 1, con la definición de movilidad del 3.1.2), y el clásico resonador de un grado de libertad (SDOF) en forma cerrada sirve de referencia para esas definiciones. La ISO 7626-2:2015 añade el lado de medición: la estimación de FRF a partir de señales medidas y sus criterios de aceptación. Esta base de FRF sustenta las normas de fuente y transmisión de ruido estructural: ISO 9611, ISO 10846, EN 15657 y EN 12354-5.

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

m, k, c = 2.0, 8000.0, 5.0
f = np.logspace(np.log10(0.5), np.log10(200.0), 500)
w = 2.0 * np.pi * f
h = vibration.sdof_receptance(f, m, k, c)
for label, frf in (("receptancia |H|", np.abs(h)),
                   ("movilidad |Y|", np.abs(1j * w * h)),
                   ("acelerancia |A|", np.abs(-(w**2) * h))):
    plt.loglog(f, frf / frf.max(), label=label)
plt.axvline(vibration.resonance_frequency(m, k), ls="--", color="0.6")
plt.xlabel("Frecuencia [Hz]"); plt.ylabel("Magnitud normalizada")
plt.legend(); plt.show()

1. La familia de funciones de respuesta en frecuencia (Tabla 1)

Para un movimiento armónico x·e^{jωt} la velocidad es jω·x y la aceleración −ω²·x, de modo que las tres FRF movimiento-por-fuerza se derivan de la receptancia H por una potencia de jω, y cada una tiene una recíproca fuerza-por-movimiento:

Movimiento	FRF (movimiento / fuerza)	Unidad	Recíproca (fuerza / movimiento)	Unidad
desplazamiento	receptancia H = x/F	m/N	rigidez dinámica 1/H	N/m
velocidad	movilidad Y = jω·H	m/(N·s)	impedancia 1/Y	N·s/m
aceleración	acelerancia A = −ω²·H	1/kg	masa aparente 1/A	kg

convert_frf pasa entre cualquiera de las seis FRF, usando la receptancia como pivote. Una FRF de punto de excitación tiene la respuesta y la fuerza en el mismo punto (i = j); una FRF de transferencia las tiene en puntos distintos. Los tipos fuerza-por-movimiento son recíprocas elemento a elemento, es decir, las magnitudes libres de la ISO 7626-1, 3.1.4; las magnitudes matriciales bloqueadas de la Tabla 1 no se invierten elemento a elemento en sistemas de varias coordenadas (la Tabla 1 llama además “masa efectiva” a F/a, la magnitud aquí denominada masa aparente).

from phonometry import vibration

# Una movilidad de 2e-3 m/(N.s) a 80 Hz, expresada como las demás FRF:
Y = 2e-3
print(round(abs(vibration.convert_frf(Y, 80.0, "mobility", "impedance")), 1))     # 500.0  N.s/m
print(f"{abs(vibration.convert_frf(Y, 80.0, 'mobility', 'accelerance')):.3f}")    # 1.005  1/kg

La elección entre las tres FRF de movimiento es de conveniencia, no de física: llevan la misma información y convert_frf pasa de una a otra de forma exacta. La acelerancia es lo que entrega directamente una medición con acelerómetros; la movilidad es la moneda natural de las normas de potencia estructural (la potencia es fuerza por velocidad, de modo que P = ½·Re{Y}·|F|² en un contacto); las recíprocas aparecen cuando una fuente se describe por lo que impone y no por cómo responde. Leer una movilidad de punto de excitación es en sí un diagnóstico estructural: por debajo de una resonancia la magnitud sube proporcional a la frecuencia por una línea de rigidez (|Y| ≈ ω/k), por encima cae por una línea de masa (|Y| ≈ 1/(ωm)), y la altura del pico entre ambas refleja el amortiguamiento: vale 1/c para el resonador aislado con amortiguamiento viscoso de la siguiente sección, mientras que en estructuras reales con modos solapados el amortiguamiento se estima con ajuste modal o con el ancho de banda de media potencia.

2. El resonador SDOF de referencia (forma cerrada)

La referencia canónica en forma cerrada, expresada en la taxonomía de FRF de la Tabla 1 / 3.1.2, es una masa m, un amortiguamiento viscoso c y una rigidez k, cuya receptancia es

$$H(\omega )=\frac{1}{k-{\omega }^{2}m+j\omega c},{\omega }_0=\sqrt{k/m}.$$

En la resonancia ω0 la movilidad en el punto de excitación es puramente real e igual a 1/c (el máximo de movilidad mide el amortiguamiento) mientras que la receptancia estática (ω → 0) es la flexibilidad 1/k:

import numpy as np
from phonometry import vibration

m, k, c = 2.0, 8000.0, 5.0
f0 = vibration.resonance_frequency(m, k)             # 10.07 Hz

y0 = complex(vibration.sdof_mobility(f0, m, k, c))
print(round(y0.real, 4), round(y0.imag, 6))   # 0.2 0.0   -> |Y(f0)| = 1/c
print(round(complex(vibration.sdof_receptance(1e-6, m, k, c)).real, 7))  # 0.000125 = 1/k

3. FRF medidas y sus criterios de aceptación (ISO 7626-2)

En la disposición habitual de ISO 7626-2 la estructura cuelga de una suspensión lo bastante blanda para que sus modos de sólido rígido queden muy por debajo de la primera resonancia elástica (la norma admite estructuras suspendidas libremente o ancladas; la cláusula 5 pide un apoyo representativo de la aplicación prevista), un excitador ataca un punto a través de una cabeza de impedancia (una pila de transductores que mide fuerza y aceleración en el mismo punto, lo que da al montaje con excitador acoplado su FRF de punto de excitación) y acelerómetros recogen la respuesta en otros puntos para las FRF de transferencia. ISO 7626-5 cubre la alternativa de excitación por impacto con un excitador no unido a la estructura, en la práctica casi siempre un martillo instrumentado: cambia el espectro controlado del excitador acoplado por rapidez, con un espectro de excitación fijado por la masa del impactador y la rigidez de la punta.

El procesado de registros medidos con excitación aleatoria según la ISO 7626-2, 8.1.3 (el estimador H1, Ĥ = G(respuesta, fuerza)/G(fuerza, fuerza)) y la coherencia ordinaria γ² = |Gxy|²/(Gxx·Gyy) de sus comprobaciones de calidad son los estimadores espectrales ya existentes de la biblioteca, transfer_function y coherence (H1 es su valor por defecto). Sobre ellos se ofrecen dos criterios de aceptación de la ISO 7626-2:

• Calibración operacional con masa rígida (7.5.2). La FRF medida de un bloque rígido de masa conocida, suspendido libremente, debe coincidir dentro de ±5 % con |A| = 1/m (acelerancia) o |Y| = 1/(2πf·m) (movilidad).
• Error aleatorio (Anexo A + 8.1.3). Deben promediarse suficientes espectros para que el error aleatorio normalizado ε = √((1−γ²)/(2nγ²)) en cada resonancia de una movilidad de punto de excitación quede por debajo del 5 %.

import numpy as np
from phonometry import vibration

# Un bloque de calibración de 10 kg: |A| debe ser 1/m = 0,100 1/kg en toda frecuencia.
f = np.array([20.0, 100.0, 500.0])
res = vibration.rigid_mass_calibration_check([0.100, 0.102, 0.097], f, mass=10.0)
print(res.passed, res.within_tolerance.tolist())   # True [True, True, True]

# El ejemplo del Anexo A: coherencia 0,8 necesita unos 75 promedios para < 5 %.
print(round(float(vibration.random_error_percent(0.8, 75)), 2))   # 4.08  %

La verificación de calibración devuelve un RigidMassCalibrationResult con la desviación por frecuencia y los indicadores de aprobación, y un .plot(): la magnitud de la FRF medida frente a la recta de masa rígida con su banda de tolerancia de ±5 % (panel superior) y la desviación relativa frente a la misma banda (panel inferior, donde una tolerancia de pocos por ciento es realmente legible). Una calibración que se sale de la banda hacia unos pocos kHz señala un error del transductor o de la conformidad del acoplamiento, justo lo que la verificación pretende detectar:

import numpy as np
from phonometry import vibration

m = 10.0                                                  # masa del bloque de calibración
f = np.logspace(np.log10(20.0), np.log10(5000.0), 400)
drift = 0.05 * (f / 2500.0) ** 2                          # deriva en alta frecuencia
measured = (1.0 / m) * (1.0 + 0.015 * np.sin(2 * np.pi * np.log10(f)) + drift)
res = vibration.rigid_mass_calibration_check(measured, f, mass=m)
print(res.passed)                                         # False (la deriva supera el 5 %)
res.plot()

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

m = 10.0
f = np.logspace(np.log10(20.0), np.log10(5000.0), 400)
drift = 0.05 * (f / 2500.0) ** 2
measured = (1.0 / m) * (1.0 + 0.015 * np.sin(2 * np.pi * np.log10(f)) + drift)
res = vibration.rigid_mass_calibration_check(measured, f, mass=m)
bad = ~res.within_tolerance

fig, (top, bot) = plt.subplots(2, 1, sharex=True, figsize=(10, 7),
                               gridspec_kw={"height_ratios": [1.5, 1.0]})
top.fill_between(f, res.expected * 0.95, res.expected * 1.05, color="C1",
                 alpha=0.15, label="banda de tolerancia ±5 %")
top.semilogx(f, res.expected, "--", color="C1", label="esperado |A| = 1/m")
top.semilogx(f, res.measured, color="C0", label="dentro de tolerancia")
top.semilogx(f[bad], res.measured[bad], "o", color="C1", label="fuera de tolerancia")
top.set_ylabel("Acelerancia |A| [1/kg]"); top.legend()

bot.axhspan(-5.0, 5.0, color="C1", alpha=0.15)
bot.semilogx(f, 100.0 * res.deviation, color="C0")
bot.semilogx(f[bad], 100.0 * res.deviation[bad], "o", color="C1")
bot.set_xlabel("Frecuencia [Hz]"); bot.set_ylabel("Desviación [%]")
plt.show()

4. El objeto MobilityResult

sdof_mobility_result agrupa la FRF en frecuencia en un MobilityResult, que expone .magnitude, .phase, .to(target) (cualquier tipo de la Tabla 1) y un .plot() de |Y(f)| con la resonancia marcada:

import numpy as np
from phonometry import vibration

f = np.logspace(np.log10(0.5), np.log10(200.0), 400)
res = vibration.sdof_mobility_result(f, mass=2.0, stiffness=8000.0, damping=5.0)
z = res.to("impedance")                        # impedancia = 1/Y por frecuencia
print(res.frequencies[int(np.argmax(res.magnitude))].round(1))   # ~10.1 Hz

res.plot()   # |Y(f)| con la resonancia marcada (requiere matplotlib)

Leer una movilidad en el punto de excitación es un diagnóstico estructural: por debajo de la resonancia la magnitud sube por la línea de rigidez $\omega /k$, por encima baja por la línea de masa $1/(\omega m)$, y la altura del pico entre ambas es $1/c$, una lectura directa del amortiguamiento (Sección 1).

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import vibration

m, k, c = 2.0, 8000.0, 5.0
f = np.logspace(np.log10(0.5), np.log10(200.0), 400)
res = vibration.sdof_mobility_result(f, mass=m, stiffness=k, damping=c)

# Una línea: |Y(f)| con la resonancia marcada:
res.plot(language="es")
plt.show()

# A mano, añadiendo las asíntotas de rigidez y de masa que describe la prosa:
w = 2.0 * np.pi * f
fig, ax = plt.subplots()
ax.loglog(f, res.magnitude, label="|Y(f)| en el punto de excitación")
ax.loglog(f, w / k, ":", label="línea de rigidez ω/k")
ax.loglog(f, 1.0 / (w * m), ":", label="línea de masa 1/(ωm)")
ax.axhline(1.0 / c, ls="--", color="0.6", label="pico |Y| = 1/c")
ax.set_xlabel("Frecuencia [Hz]")
ax.set_ylabel("Movilidad |Y| [m/(N·s)]")
ax.set_title("Lectura de una movilidad en el punto de excitación (ISO 7626-1)")
ax.legend()
plt.show()

Ficha de informe

MobilityResult.report(path) genera un informe de medición de movilidad mecánica de una página (definiciones de FRF de la ISO 7626-1:2011, medición según la ISO 7626-2:2015). La movilidad es una función de respuesta en frecuencia continua, no una magnitud por bandas de octava, de modo que la ficha la presenta con honestidad como el espectro de magnitud $|Y(f)|$ más una tabla compacta de puntos característicos (el tipo de FRF, en punto de excitación o de transferencia, el rango de frecuencias, la frecuencia del máximo, la movilidad máxima y la fase allí), y una movilidad máxima $|Y|$ enmarcada a la frecuencia en que ocurre (para una FRF en punto de excitación, una resonancia donde $|Y|=1/c$ mide el amortiguamiento). Es una caracterización, así que no hay veredicto de aprobado/no aprobado; language="es" genera la ficha en español. La ficha siempre incrusta el espectro $|Y(f)|$, por lo que necesita los extras de informe y de gráficos (pip install "phonometry[report,plot]").

from phonometry import ReportMetadata, vibration

res = vibration.sdof_mobility_result(f, mass=2.0, stiffness=8000.0, damping=5.0)
res.report(
    "movilidad.pdf",
    metadata=ReportMetadata(
        specimen="Soporte de máquina (punto de excitación)",
        measurement_standard="ISO 7626-2",
    ),
    language="es",
)   # ficha de una página (necesita phonometry[report,plot])

Ficha de movilidad mecánica de una página: una cabecera de metadatos, una tabla de los puntos característicos de la FRF (el tipo de FRF, el rango de frecuencias, la frecuencia del máximo, la movilidad máxima y la fase allí) junto al espectro de magnitud de la movilidad, y la movilidad máxima enmarcada.

Descargar el informe (PDF)

Ficha de movilidad mecánica (MobilityResult.report): los puntos característicos de la FRF y el espectro de magnitud de la movilidad.

Qué cubre esta guía

Cubierto. La familia de FRF de la ISO 7626-1:2011 (Tabla 1): receptancia, movilidad y acelerancia, con sus recíprocas fuerza-por-movimiento, que se convierten entre sí con convert_frf. También se cubren la distinción entre punto de excitación y transferencia, y el resonador SDOF en forma cerrada usado como referencia (sdof_receptance, sdof_mobility, sdof_accelerance, resonance_frequency, sdof_mobility_result). En el lado de medición también se cubre el procesado H1 de excitación aleatoria de la ISO 7626-2:2015 (transfer_function, coherence, compartidos con la guía de electroacústica), junto con dos criterios de aceptación: la calibración operacional con masa rígida del 7.5.2 (rigid_mass_calibration_check) y el criterio de error aleatorio del Anexo A (random_error_percent).

No cubierto. La ISO 7626-5 cubre la excitación por martillo de impacto como alternativa al excitador acoplado. Se nombra aquí solo como contexto: ninguna función sintetiza ni procesa un espectro de excitación por impacto. Las magnitudes matriciales bloqueadas de la Tabla 1, necesarias para sistemas de varias coordenadas, tampoco están implementadas. convert_frf devuelve solo las recíprocas libres elemento a elemento de la ISO 7626-1, 3.1.4, correctas para el punto de excitación o para una sola vía, pero no para una matriz de FRF completa.

Véase también

• Referencia de la API: vibration.mechanical_mobility.

Referencias

• Cremer, L., Heckl, M. y Petersson, B. A. T. (2005). Structure-borne sound: Structural vibrations and sound radiation at audio frequencies (3.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/b137728La monografía de referencia sobre vibración estructural: movilidades de punto y de transferencia de vigas y placas, y el flujo de potencia P = ½·Re{Y}·|F|² que hace de la movilidad la magnitud de trabajo de esta página. ISBN 978-3-540-22696-3.
• International Organization for Standardization. (2011). Mechanical vibration and shock — Experimental determination of mechanical mobility — Part 1: Basic terms and definitions, and transducer specifications (ISO 7626-1:2011). La familia de FRF y sus recíprocas (Tabla 1, con las definiciones de movilidad del 3.1.2 y de magnitud libre del 3.1.4), las distinciones libre/bloqueada y la distinción punto de excitación / transferencia implementadas aquí. La conformidad se ancla en las identidades en forma cerrada del SDOF coherentes con esas definiciones: el máximo de movilidad en el punto de excitación |Y(ω0)| = 1/c, la receptancia estática H(0) = 1/k y la reciprocidad exacta de la Tabla 1 impedancia·movilidad = 1.
• International Organization for Standardization. (2015). Mechanical vibration and shock — Experimental determination of mechanical mobility — Part 2: Measurements using single-point translation excitation with an attached vibration exciter (ISO 7626-2:2015). El lado de medición: el procesado H1 de excitación aleatoria del 8.1.3, la calibración operacional con masa rígida del 7.5.2 (±5 %) y el criterio de error aleatorio del Anexo A (< 5 % en las resonancias). La conformidad se ancla en los valores de la calibración con masa rígida (|A| = 0,100 1/kg para 10 kg; |Y| = 1,59155e-4 m/(N·s) a 100 Hz) y el ejemplo del Anexo A (γ² = 0,8, n = 75 → ε = 4,08 %).