Transmisión de onda de flexión en uniones de placas

Cuando una onda de flexión que viaja por una pared o un forjado llega a una unión rígida con otra placa, parte de su energía se refleja y parte se transmite a las placas conectadas. El enfoque ondulatorio de Cremer et al. (1973), tabulado por Craik (1981, 1996) y recogido en Hopkins (2007, Sección 5.2.1.3), da el coeficiente de transmisión en forma cerrada para las cuatro uniones más habituales de placas finas, homogéneas e isótropas: las uniones en X, T, L y en línea. Modelar la unión como una viga sin masa simplemente apoyada (articulada) obliga a que una onda de flexión incidente genere solo ondas de flexión reflejadas y transmitidas, sin conversión a ondas en el plano, y los coeficientes resultantes son independientes de la frecuencia. Eso es lo que los convierte en entradas convenientes en forma cerrada para el análisis estadístico de energía (SEA) y para el modelo de transmisión por flancos de la EN 12354, donde alimentan el factor de pérdidas por acoplamiento etaij y el índice de reducción vibracional Kij.

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import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import junction_transmission

# Unión en X entre una placa de hormigón de 100 mm y otra de 200 mm (cL = 3200 m/s).
res = junction_transmission("X", 0.1, 3200.0, 240.0, 0.2, 3200.0, 480.0)
res.plot(language="es")  # tau(theta) de los caminos de esquina y recto, con medias
plt.show()

1. Parámetros de onda chi y psi

Con la placa i de espesor h_i, velocidad de onda cuasi-longitudinal cL_i y densidad superficial rho_s,i, toda la familia de coeficientes depende de solo dos razones adimensionales (Cremer et al. 1973):

chi = kB2 / kB1 = (rho_s2 B1 / (rho_s1 B2))**0.25 = sqrt(h1 cL1 / (h2 cL2)) = sqrt(fc2 / fc1)
psi = B2 kB2**2 / (B1 kB1**2) = (h2 cL2 rho_s2) / (h1 cL1 rho_s1) = (rho_s2 fc1) / (rho_s1 fc2)

chi es la razón de números de onda de flexión de las placas (equivalente a la raíz cuadrada de la razón de sus frecuencias críticas) y fija el ángulo de corte por reflexión total interna theta_co = arcsin(chi); psi es la razón de sus movilidades de momento flector. Para placas idénticas ambos valen 1.

from phonometry import junction_wave_parameters

chi, psi = junction_wave_parameters(0.1, 3200.0, 240.0, 0.2, 3200.0, 480.0)
#  -> (sqrt(0.5), 4.0)

2. Coeficientes de esquina y de tramo recto

Para una onda incidente sobre la placa 1, la transmisión alrededor de la esquina (hacia la placa perpendicular 2) es tau12(theta) (Ec. 5.12), y la transmisión a través del tramo recto (hacia la placa colineal 3, solo en las uniones en X y en T (1)) es tau13(theta) (Ec. 5.13). El coeficiente de esquina es cero más allá del ángulo de corte, tau12(theta) = 0 para chi < sin(theta). Las constantes de unión J1, J2, J3 seleccionan la geometría:

Unión	J1	J2	J3
X	1	1	1
T (1)	2	0,5	0,5
T (2)	2	2	—
L	4	1	—

El tramo recto no está definido para la unión en T (2) ni para la unión en L.

import numpy as np
from phonometry import (
    corner_transmission_coefficient,
    straight_transmission_coefficient,
)

theta = np.radians(np.linspace(0.0, 90.0, 91))
tau12 = corner_transmission_coefficient(theta, chi, psi, "X")
tau13 = straight_transmission_coefficient(theta, chi, psi, "X")

3. Media angular en campo difuso

En un campo vibracional difuso todos los ángulos de incidencia son igual de probables y la intensidad incidente lleva un factor de oblicuidad cos(theta), por lo que el coeficiente de transmisión medio es tau_bar_ij = integral 0..pi/2 de tau_ij(theta) cos(theta) d(theta) (Ec. 5.6). Para placas idénticas el álgebra se reduce a fracciones exactas que sirven de oráculo desde primeros principios de la biblioteca:

• esquina y recto de la unión en X: tau_ij(theta) = cos**2(theta) / 8, luego tau_bar_ij = 1/12;
• esquina de la unión en L: tau_ij(theta) = cos**2(theta) / 2, luego tau_bar_ij = 1/3;
• unión en línea: tau12(0 grados) = 1 (una placa continua transmite por completo).

from phonometry import angular_average_transmission_coefficient

angular_average_transmission_coefficient(1.0, 1.0, "X", section="corner")  # 1/12
angular_average_transmission_coefficient(1.0, 1.0, "L", section="corner")  # 1/3

Las dos direcciones cumplen la relación de consistencia SEA (Ec. 5.7), tau_bar_12 = chi * tau_bar_21, de modo que solo hace falta calcular una dirección.

4. Factor de pérdidas por acoplamiento e índice de reducción vibracional

La media angular es el puente hacia los dos descriptores de unión usados en los modelos de edificios basados en SEA: el factor de pérdidas por acoplamiento (Ec. 2.154) etaij = cg_i L_ij tau_ij / (2 pi**2 f S_i) y el índice de reducción vibracional del enfoque ondulatorio (Ec. 5.116) Kij = 10 lg(1 / tau_ij) + 5 lg(fc_j / f_ref) con f_ref = 1000 Hz y fc_j la frecuencia crítica de la placa receptora. Combinada con la reciprocidad de la Ec. 5.7, esta forma es simétrica, Kij = Kji, como exige la EN 12354 al descriptor de unión. Para la unión en X idéntica de hormigón de 100 mm (fc ~= 203 Hz), Kij = 10 lg 12 + 5 lg(203 / 1000) ~= 7,3 dB.

from phonometry import (coupling_loss_factor, junction_transmission,
                        wave_vibration_reduction_index)

eta = coupling_loss_factor(1.0 / 12.0, group_velocity=200.0,
                           junction_length=4.0, frequency=500.0, plate_area=10.0)
res = junction_transmission("X", 0.1, 3200.0, 240.0, 0.1, 3200.0, 240.0)
kij = wave_vibration_reduction_index(res.corner_average,
                                     res.critical_frequency2)  # 7.33 dB
kij = res.corner_reduction_index  # lo mismo, precalculado en el resultado

res.plot()   # tau(theta) de los caminos de esquina y recto de esta unión (requiere matplotlib)

El descriptor de unión es una magnitud de diseño: barrer el espesor de la placa receptora muestra cuánto aporta un cambio de masa en la unión. Los caminos de esquina se endurecen deprisa con una placa receptora más pesada, mientras que el camino recto (en línea) de la unión en X es el que más sube, porque las placas perpendiculares fijan cada vez más la línea de unión:

Mostrar el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import junction_transmission, wave_vibration_reduction_index

# Placas de hormigón (cL = 3200 m/s, rho = 2400 kg/m3): placa 1 fija en
# 100 mm, placa 2 en barrido de 50 mm a 400 mm.
h1, cl, rho = 0.1, 3200.0, 2400.0
ratios = np.linspace(0.5, 4.0, 36)
kij_corner = []
for ratio in ratios:
    h2 = h1 * float(ratio)
    res = junction_transmission("X", h1, cl, rho * h1, h2, cl, rho * h2)
    kij_corner.append(res.corner_reduction_index)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(ratios, kij_corner, label="X esquina")
ax.set_xlabel("Relación de espesores h2/h1")
ax.set_ylabel("Índice de reducción de vibraciones Kij [dB]")
ax.set_title("Kij de unión por el enfoque ondulatorio (Hopkins Ec. 5.116)")
ax.legend()
plt.show()

5. Ejemplo resuelto: llevar Kij a la EN 12354

El número que predice esta página es exactamente el que consume el modelo de flancos de EN 12354-1. Toma la unión en X de hormigón de 100 mm / 200 mm de la figura inicial: su camino de esquina da K12 = 9,8 dB. Entregarlo a flanking_element en lugar de un valor tabulado del Anexo E valora los tres caminos de flancos de la unión y su efecto sobre el índice aparente:

from phonometry import building, junction_transmission

# La unión en X de hormigón de 100 mm / 200 mm de la figura inicial:
res = junction_transmission("X", 0.1, 3200.0, 240.0, 0.2, 3200.0, 480.0)
k12 = res.corner_reduction_index                     # 9.8 dB (camino de esquina)

# Llévalo al modelo simplificado de EN 12354-1 como Kij de esta unión:
ff, df, fd = building.flanking_element(
    label="suelo", r_flanking=49.0, r_separating=57.0,
    k_ff=k12, k_fd=k12, k_df=k12, separating_area=11.5, coupling_length=4.5)
pred = building.predicted_airborne_insulation(r_direct=57.0,
                                              flanking_paths=[ff, df, fd])
print(round(pred.r_prime_w, 1))                      # 55.4  (Rw 57 directo)
print(pred.dominant.label, round(pred.dominant.fraction, 2))   # Dd 0.68

Una sola unión con un Kij moderado ya recorta 1,6 dB al $R_w=57$ dB directo; un edificio completo repite esto para cada unión, que es la guía de predicción EN 12354.

La contraparte medida de la EN 12354 de Kij (a partir de la diferencia de niveles de velocidad promediada en dirección) es el vibration_reduction_index separado de la transmisión por flancos; esta página es el valor predicho en forma cerrada del enfoque ondulatorio.

Qué cubre esta guía

Cubierto. Los coeficientes de transmisión de unión rígida, independientes de la frecuencia, de Cremer, Heckl y Ungar (1973), tabulados por Craik (1981/1996) y recogidos en Hopkins (2007, apartado 5.2.1.3), para las uniones X, T, L y en línea de placas delgadas, homogéneas e isótropas: los parámetros de onda $\chi$/$\psi$, los coeficientes de esquina y de tramo recto ${\tau }_{12}(\theta )$/${\tau }_{13}(\theta )$, su media angular en campo difuso, el factor de pérdidas por acoplamiento SEA y el índice de reducción vibracional $K_{ij}$ del enfoque ondulatorio, mediante junction_wave_parameters, corner_transmission_coefficient, straight_transmission_coefficient, angular_average_transmission_coefficient, coupling_loss_factor, wave_vibration_reduction_index y junction_transmission.

No cubierto. Este $K_{ij}$ predicho es una idealización en forma cerrada para una unión rígida y simplemente apoyada, no una medición: el $K_{ij}$ medido y empírico a partir de una diferencia de niveles de velocidad promediada en dirección (ISO 10848) es el vibration_reduction_index separado de la guía de Medición del aislamiento en laboratorio. El coeficiente de tramo recto ${\tau }_{13}$ no está definido para las geometrías de unión T (2) y L, que no tienen una tercera placa colineal, así que ahí solo se aplica el camino de esquina.

Véase también

• Predicción del aislamiento acústico (EN 12354): el modelo de flancos que consume Kij unión a unión.
• Medición del aislamiento en laboratorio: la medición ISO 10848 de Kij a partir de diferencias de niveles de velocidad, la contraparte empírica de las formas cerradas de esta página.
• Potencia de ruido estructural de equipos (EN 15657): la potencia de la fuente que estas transmisiones de unión reparten por el edificio.
• Movilidad mecánica y la familia de FRF (ISO 7626-1): las movilidades de placa tras los parámetros de onda.
• Referencia de la API: vibration.junction_transmission.

Referencias

• Craik, R. J. M. (1996). Sound transmission through buildings using statistical energy analysis. Gower. El tratamiento SEA de la transmisión sonora en edificios con los coeficientes de transmisión de onda de flexión tabulados para uniones en X, T, L y en línea utilizados aquí (Ecs. 5.12/5.13). ISBN 978-0-566-07572-5.
• Cremer, L., Heckl, M. y Ungar, E. E. (1973). Structure-borne sound: Structural vibrations and sound radiation at audio frequencies (1.ª ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-662-10118-6La derivación original de los parámetros de onda chi y psi (Ecs. 5.10/5.11 en Hopkins) y del coeficiente de transmisión a incidencia normal de la unión en línea. ISBN 978-3-540-06002-4.
• Hopkins, C. (2007). Sound insulation. Butterworth-Heinemann. https://doi.org/10.4324/9780080550473La Sección 5.2.1.3 reúne los coeficientes de las uniones rígidas en X, T, L y en línea, la media angular (Ec. 5.6), la relación de consistencia SEA (Ec. 5.7), el factor de pérdidas por acoplamiento (Ec. 2.154) y el Kij del enfoque ondulatorio (Ec. 5.116) implementados en esta página. ISBN 978-0-7506-6526-1.