Refracción atmosférica: rayos y GFPE

El método ISO 9613-2 y el efecto suelo de onda esférica suponen ambos una atmósfera homogénea. En realidad la velocidad del sonido cambia con la altura, porque la temperatura y el viento cambian con la altura, y esto refracta el sonido: los rayos se curvan y, en unos cientos de metros, el nivel recibido puede variar en decenas de decibelios. Esta página cubre phonometry.environment.propagation.refraction, el homólogo para atmósfera refractante de los métodos numéricos oceánicos de phonometry.underwater.propagation.numerical: un modelo de rayos y una ecuación parabólica (PE) que avanza en distancia.

Que la refracción importe es, sobre todo, cuestión de distancia. Un gradiente representativo de la capa superficial de ±0,1 s⁻¹ curva los rayos con un radio $R_{\mathrm{c}}=c_0/|g|\approx 3,4$ km, de modo que en los primeros cien metros los caminos son razonablemente rectos y los modelos homogéneos anteriores son precisos. Más allá de unos cientos de metros manda la geometría: a favor del viento, o bajo una inversión térmica nocturna, los rayos curvados hacia abajo se cierran sobre el suelo y mantienen el nivel cerca de la predicción homogénea (o incluso por encima), mientras que contra el viento el mismo perfil abre una sombra acústica en la que el nivel se derrumba 20 dB o más (Attenborough y Van Renterghem 2021, cap. 11). Esa es la conocida asimetría viento a favor / viento en contra de cualquier fuente exterior estacionaria: la misma máquina a la misma distancia, con decenas de decibelios de diferencia según el lado en que uno se sitúe. Es también la razón por la que la ISO 9613-2 fija por decreto su atmósfera «favorable», y lo que comprime su $C_{\mathrm{met}}$ escalar; los modelos de esta página calculan la física que decide ambas cosas.

El esquema siguiente reúne ambos lados en una sola escena: una fuente, un receptor a 350 m por cada lado, y el perfil de viento decidiendo cuál de los dos oye algo.

Las dos mitades de la misma atmósfera. El abanico de rayos dice dónde empieza la sombra (todos los rayos han abandonado el suelo hacia los 110 m) y el campo GFPE dice cuán profunda es una vez dentro. Ninguna de las dos imágenes existe en un método de ingeniería por bandas de octava: esto es lo que $C_{\mathrm{met}}$ sustituye por un solo número.

Ver el código de esta figura

import warnings

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from phonometry import (
    atmospheric_parabolic_equation,
    atmospheric_ray_paths,
    log_linear_sound_speed_profile,
    shadow_zone_distance,
)

c0 = 340.0
perfil = log_linear_sound_speed_profile(-1.0, ground_speed=c0, max_height=60.0)
zs = 2.0
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(11, 8.2), sharex=True)

rayos = atmospheric_ray_paths(perfil, source_height=zs,
                              launch_angles_deg=np.linspace(-8.0, 8.0, 17),
                              max_range=600.0, n_steps=3000)
for i in range(rayos.heights.shape[0]):
    axes[0].plot(rayos.ranges[i], rayos.heights[i], color="#1f77b4", lw=0.8, alpha=0.7)
axes[0].plot([0.0], [zs], "o", color="#d62728", label="Fuente")
grad = (perfil.speed_at(10.0) - c0) / 10.0
x_sh = shadow_zone_distance(float(grad), zs, zs, ground_speed=c0)
axes[0].axvline(x_sh, color="#d62728", ls="--", label="Límite de la zona de sombra")
axes[0].set(ylabel="Altura [m]", ylim=(0, 40), title="Rayos sonoros (refracción hacia arriba)")
axes[0].legend()

with warnings.catch_warnings():
    # El PorousAbsorberWarning: un suelo de 200 kPa.s/m2 hace trabajar al
    # modelo de impedancia de un parámetro por debajo de su rango de ajuste
    # publicado, como todo suelo exterior (ver «Elección de la impedancia del
    # suelo» en la guía de efecto suelo).
    warnings.simplefilter("ignore")
    pe = atmospheric_parabolic_equation(400.0, perfil, source_height=zs,
                                        flow_resistivity=200e3,
                                        max_range=600.0, max_height=40.0)
img = axes[1].imshow(pe.relative_level, cmap="RdBu_r", vmin=-30, vmax=6,
                     aspect="auto", origin="lower", interpolation="bilinear",
                     extent=(pe.ranges[0], pe.ranges[-1], pe.heights[0], pe.heights[-1]))
axes[1].axvline(x_sh, color="k", ls="--")
axes[1].set(ylabel="Altura [m]", xlabel="Distancia [m]", ylim=(0, 40),
            title="Nivel sonoro relativo GFPE")
fig.colorbar(img, ax=axes[1], label="Nivel respecto al campo libre [dB]")
plt.tight_layout()
plt.show()

1. Perfil de velocidad efectiva del sonido

Una atmósfera en movimiento (con viento) se aproxima bien por una en reposo con la velocidad efectiva del sonido $c_{\text{eff}}(z)=c(z)+u(z)$, la velocidad adiabática más la componente del viento en la dirección de propagación (Salomons Ec. 4.4). Dos formas de perfil cubren la mayoría de los casos de la capa superficial:

• un perfil lineal $c_{\text{eff}}(z)=c_0+gz$ (linear_sound_speed_profile), la atmósfera refractante más sencilla y la de geometría de rayos exacta;
• el perfil logarítmico realista de la capa superficial $c_{\text{eff}}(z)=c_0+b\ln (1+z/z_0)$ (log_linear_sound_speed_profile, Salomons Ec. 4.5), con $b\approx +1\text{m/s}$ para una atmósfera típica con refracción hacia abajo, $b\approx -1\text{m/s}$ para una con refracción hacia arriba, y $z_0$ la longitud de rugosidad (unos 0,1 m para pradera).

Un gradiente positivo (velocidad del sonido creciente con la altura) curva los rayos hacia abajo, hacia el receptor (propagación favorable); un gradiente negativo los curva hacia arriba y abre una sombra acústica cerca del suelo.

Fijar b y z0 a partir del emplazamiento

$b$ no es un ajuste al gusto. El perfil efectivo es $c_{\text{eff}}(z)=\sqrt{\gamma R_{\text{gas}}T(z)}+u_{\mathrm{SR}}(z)$ (Attenborough y Van Renterghem 2021, Ec. 1.18), así que el coeficiente del término logarítmico sale de una velocidad de viento medida a una altura declarada en cuanto se fija $z_0$: igualar el perfil a esa altura da $b=u_{\mathrm{SR}}(z_1)/\ln (1+z_1/z_0)$. Una lectura de 4 m/s en un mástil de 10 m soplando justo a lo largo de la trayectoria de propagación sobre pradera ($z_0=0,1$ m) da por tanto $b=4/\ln (101)=0,87$ m/s, cerca del «+1 m/s típico» de arriba, y log_linear_sound_speed_profile(0.867) devuelve efectivamente 344,0 m/s a 10 m.

En $c_{\text{eff}}$ solo entra la componente en la dirección de propagación: $u_{\mathrm{SR}}(z)=u(z)\cos (\pi -\alpha )$ con $\alpha$ el ángulo entre la dirección meteorológica del viento (la dirección desde la que sopla) y la dirección en que viaja el sonido (Ec. 1.19). Esos mismos 4 m/s a 60° de la trayectoria valen 2 m/s a lo largo de ella, así que $b=0,43$ m/s a favor del viento y $-0,43$ m/s en contra: un viento, dos atmósferas, que es toda la asimetría a favor / en contra en una línea de aritmética. Es también la física que hay detrás de la ventana de condiciones favorables de ISO 9613-2 (viento dentro de ±45° de la línea fuente-receptor, de 1 a 5 m/s medidos entre 3 y 11 m sobre el suelo), citada entera en Propagación del sonido en exteriores.

La temperatura no tiene dirección, y por eso una noche despejada y en calma refracta hacia abajo en todas las direcciones. Cerca de 10 °C la velocidad del sonido cambia unos 0,6 m/s por kelvin, así que una inversión de 2 K entre el suelo y los 10 m aporta $b_T\approx 1,2/\ln (101)=0,26$ m/s sin viento alguno. Viento y temperatura se suman: una brisa suave a favor en una noche de inversión es la condición clásica de queja.

$z_0$ es una propiedad de la cubierta del terreno, no del tiempo. Attenborough y Van Renterghem citan un rango que va de 0,0002 m para agua en calma a unos 0,1 m para hierba (§1.4), usan 0,02 m para los perfiles resueltos de su Figura 1.20 y estiman 0,1 m para la torre meteorológica cuyo año de datos ajustan con esta forma de perfil; las cubiertas más rugosas (cultivos con obstáculos dispersos, setos, matorral, terreno suburbano) van de unas décimas de metro a cerca de 1 m y conviene tomarlas de la clasificación de rugosidad de Davenport. El roughness_length=0.1 por defecto de log_linear_sound_speed_profile es el valor de pradera, así que es el primer argumento que hay que cambiar cuando el emplazamiento no es un campo.

from phonometry import log_linear_sound_speed_profile

perfil = log_linear_sound_speed_profile(-1.0, ground_speed=340.0)  # hacia arriba
perfil.speed_at(10.0)   # velocidad efectiva del sonido a 10 m del suelo
perfil.plot()           # c_eff(z) con la altura en el eje vertical

Casi toda la refracción se decide en los primeros metros: sobre pradera, el perfil logarítmico gasta la mitad de su variación de 60 m por debajo de en torno a 1 m, y por eso las alturas de fuente y receptor importan mucho más en exteriores de lo que sugiere la distancia entre ellas.

Ver el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
from phonometry import log_linear_sound_speed_profile

# Las dos capas superficiales canónicas de la Ec. 4.5 de Salomons sobre pradera.
bajada = log_linear_sound_speed_profile(+1.0, ground_speed=340.0, max_height=60.0)
subida = log_linear_sound_speed_profile(-1.0, ground_speed=340.0, max_height=60.0)
ax = bajada.plot(color="#1f77b4", language="es")
subida.plot(ax=ax, color="#d62728", language="es")
plt.show()

2. Modelo de rayos

En acústica geométrica un rayo sonoro cumple la ley de Snell $\cos (\gamma (z))/c(z)=\text{const}$ (Salomons Ec. 4.3). atmospheric_ray_paths la integra con un esquema Runge-Kutta de cuarto orden, avanzando en distancia y reflejando especularmente en el suelo, y devuelve los caminos curvos, los puntos de retorno, los tiempos de propagación y el número de reflexiones en el suelo.

import numpy as np
from phonometry import atmospheric_ray_paths, log_linear_sound_speed_profile

perfil = log_linear_sound_speed_profile(-1.0, ground_speed=340.0)
rayos = atmospheric_ray_paths(perfil, source_height=2.0,
                              launch_angles_deg=np.linspace(-8.0, 8.0, 17),
                              max_range=600.0)
rayos.turning_points      # puntos de retorno por rayo
rayos.plot()              # el abanico de rayos curvados (necesita matplotlib)

La figura de cabecera de la página muestra este abanico con refracción hacia arriba abriendo su sombra. El caso favorable es su imagen especular: con refracción hacia abajo ($b=+1$) los rayos rasantes se curvan de vuelta al suelo, rebotan y transportan la energía a lo largo de la superficie en vez de perderla hacia arriba.

El caso favorable, y la razón de que una medida a favor del viento sea repetible y una en contra no lo sea: los rayos rasantes vuelven al suelo y siguen saltando, así que no hay sombra en la que caer ni frontera cuya posición dependa de un gradiente que nadie midió.

Ver el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from phonometry import atmospheric_ray_paths, log_linear_sound_speed_profile

# Refracción hacia abajo: el espejo favorable del caso con sombra.
perfil = log_linear_sound_speed_profile(+1.0, ground_speed=340.0)
rayos = atmospheric_ray_paths(perfil, source_height=2.0,
                              launch_angles_deg=np.linspace(-8.0, 8.0, 17),
                              max_range=600.0, n_steps=600)
rayos.plot(language="es")   # los rayos rasantes vuelven al suelo y rebotan a lo largo
plt.show()

Geometría en forma cerrada (gradiente lineal)

Para un perfil lineal cada rayo es un arco de círculo exacto de radio de curvatura (Salomons Sec. 4.4; Attenborough Cap. 11):

$$R_{\mathrm{c}}=\frac{c_0}{|g|\cos {\theta }_0},$$

expuesto como ray_curvature_radius. Un rayo lanzado con ángulo ${\theta }_0$ en refracción hacia abajo alcanza su punto de retorno a la altura $R_{\mathrm{c}}(1-\cos {\theta }_0)$. Para un perfil lineal con refracción hacia arriba el rayo que roza el suelo delimita una región más allá de la cual no llega ningún rayo directo ni reflejado una vez, a la distancia de zona de sombra en forma cerrada (shadow_zone_distance):

$$x_{\text{sombra}}=\sqrt{2R_{\mathrm{c}}}\left(\sqrt{h_{\mathrm{s}}}+\sqrt{h_{\mathrm{r}}}\right),R_{\mathrm{c}}=\frac{c_0}{|g|},$$

donde este segundo $R_{\mathrm{c}}$ es el caso particular rasante (${\theta }_0=0$) de la expresión de arriba, ya que el rayo que delimita la zona sale de la fuente en horizontal.

Estas formas cerradas son el oráculo exacto del trazador de rayos: un ajuste de círculo a un rayo trazado recupera $R_{\mathrm{c}}$ con precisión de máquina. Son además la respuesta más barata a la pregunta sobre la que gira toda la página: ¿es mi distancia lo bastante larga como para que la refracción importe?

Léela como un ensayo de cribado. Con el $-0,1{\text{s}}^{-1}$ representativo, la sombra detrás de dos estaciones a 2 m empieza a 233 m, así que una medida de 100 m sobre un campo nunca sale de la región iluminada y los modelos homogéneos de las páginas vecinas son la herramienta correcta. Sube el receptor y la frontera se aleja deprisa (de 2 m a 10 m la lleva de 233 m a 377 m), y por eso una ventana de la primera planta oye una fuente que un micrófono a ras de suelo no oye.

Ver el código de esta figura

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# `shadow_zone_distance` lo importa el bloque de la figura de cabecera.
gradientes = np.geomspace(0.02, 0.4, 60)
fig, ax = plt.subplots()
for hs, hr, etiqueta in [(0.5, 1.5, "0,5 / 1,5 m"), (2.0, 2.0, "2 / 2 m"),
                         (2.0, 10.0, "2 / 10 m")]:
    ax.loglog(gradientes,
              [shadow_zone_distance(-g, hs, hr, ground_speed=340.0)
               for g in gradientes], label=etiqueta)
ax.set_xlabel("Gradiente hacia arriba |g| [1/s]")
ax.set_ylabel("Distancia de zona de sombra [m]")
ax.legend()
plt.show()

3. Ecuación parabólica (PE de la función de Green)

La ecuación parabólica es el método de referencia para la refracción y las zonas de sombra a larga distancia. Sustituye la ecuación de ondas por una ecuación unidireccional (saliente) válida dentro de un ángulo de elevación límite, y la hace avanzar en distancia sobre una malla distancia-altura. atmospheric_parabolic_equation implementa la PE de la función de Green (GFPE, Salomons apéndice H), el miembro atmosférico de la misma familia split-step de Fourier que la parabolic_equation oceánica. Cada paso en distancia transforma el campo al dominio del número de onda vertical, aplica el propagador de espacio libre junto con la reflexión del suelo de impedancia finita $R(k_z)=(k_{z}Z-k_0)/(k_{z}Z+k_0)$ (Salomons Ec. H.28), transforma de vuelta, añade el residuo de onda de superficie del polo de la reflexión (el tercer término de la Ec. H.49) y aplica la pantalla de fase de refracción $\exp (i\Delta r(k(z)-k_a))$ (Ec. H.58). La fuente es un arranque gaussiano con su imagen en el suelo (Ecs. G.64, G.76) y una capa absorbente en la parte superior de la malla suprime las reflexiones del contorno superior. El resultado es el nivel sonoro relativo $\Delta L(z,r)=20{\log }_{10}(|p|R_1)$ (dB respecto al campo libre) en todo el plano distancia-altura.

from phonometry import atmospheric_parabolic_equation, log_linear_sound_speed_profile

perfil = log_linear_sound_speed_profile(-1.0, ground_speed=340.0)  # hacia arriba
pe = atmospheric_parabolic_equation(400.0, perfil, source_height=2.0,
                                    flow_resistivity=200e3,  # pradera
                                    max_range=600.0, max_height=40.0)
pe.level_at_height(2.0)   # nivel relativo frente a distancia a 2 m
pe.plot()                 # el campo de nivel relativo distancia-altura (necesita matplotlib)

Basta cortar el campo a la altura del receptor para que toda la historia de esta página quepa en una figura: con todo lo demás idéntico, solo el signo del gradiente mueve el nivel de 400 Hz a 600 m en más de 30 dB.

Una fuente, una distancia, un suelo, tres atmósferas: a 600 m el signo del gradiente vale por sí solo más de 30 dB. Cualquier corrección meteorológica de un solo número, $C_{\mathrm{met}}$ incluido, es un promedio sobre esa dispersión, no una predicción de en qué punto de ella cae una noche dada.

Ver el código de esta figura

import warnings

import matplotlib.pyplot as plt

from phonometry import (
    atmospheric_parabolic_equation,
    linear_sound_speed_profile,
    log_linear_sound_speed_profile,
    shadow_zone_distance,
)

casos = [
    (log_linear_sound_speed_profile(+1.0, ground_speed=340.0), "Hacia abajo (b = +1 m/s)"),
    (linear_sound_speed_profile(0.0, ground_speed=340.0), "Homogénea (b = 0)"),
    (log_linear_sound_speed_profile(-1.0, ground_speed=340.0), "Hacia arriba (b = -1 m/s)"),
]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 6.2))
with warnings.catch_warnings():
    # El PorousAbsorberWarning: un suelo de 200 kPa.s/m2 hace trabajar al
    # modelo de impedancia de un parámetro por debajo de su rango de ajuste
    # publicado, como todo suelo exterior (ver «Elección de la impedancia del
    # suelo» en la guía de efecto suelo).
    warnings.simplefilter("ignore")
    for perfil, etiqueta in casos:
        pe = atmospheric_parabolic_equation(400.0, perfil, source_height=2.0,
                                            flow_resistivity=200e3,
                                            max_range=600.0, max_height=40.0)
        ax.plot(pe.ranges, pe.level_at_height(2.0), label=etiqueta)
# El límite en forma cerrada del gradiente lineal equivalente hacia arriba
# (su media a 10 m), la línea punteada de la figura.
subida = casos[2][0]
grad = float(subida.speed_at(10.0) - 340.0) / 10.0
ax.axvline(shadow_zone_distance(grad, 2.0, 2.0, ground_speed=340.0),
           color="k", ls=":", label="Límite de la zona de sombra")
ax.set(xlabel="Distancia [m]", ylabel="Nivel respecto al campo libre [dB]",
       ylim=(-40, 10))
ax.legend()
plt.show()

La impedancia del suelo se proporciona directamente (impedance=, un valor complejo normalizado en el convenio $e^{-i\omega t}$ de Salomons, con $\mathrm{Im}(Z)>0$ para un suelo pasivo), como un PorousMediumResult, o a partir de una flow_resistivity efectiva mediante los modelos porosos del dominio de materiales; los modelos porosos trabajan en el convenio opuesto $e^{+j\omega t}$, así que su impedancia se conjuga internamente.

El clip de abajo ejecuta la física ondulatoria completa con los dos signos del perfil logarítmico: una fuente estacionaria de 50 Hz a 2 m sobre suelo rígido en un corte FDTD 2D, con los abanicos de rayos de la biblioteca trazados en los mismos perfiles $c(z)$ superpuestos a los campos. A favor del viento los frentes se curvan de vuelta y avanzan pegados al suelo hasta el receptor a 350 m; en contra se despegan de la superficie y el suelo queda en silencio más allá de la frontera de sombra del modelo de rayos.

Una fuente estacionaria de 50 Hz a 2 m sobre suelo rígido en un corte FDTD 2D, con paneles a favor y en contra del viento y sus perfiles logarítmicos de velocidad efectiva del sonido dibujados al lado. A favor del viento los frentes de onda se curvan de vuelta al suelo y mantienen audible al receptor a 350 m; en contra se elevan y se abre una sombra acústica más allá de la frontera anotada de 109 m del modelo de rayos, con los abanicos de rayos de la biblioteca superpuestos y un mapa RMS final compensado en divergencia que muestra el canal brillante junto al suelo frente a la cuña oscura de sombra.

Descargar la animación (WebM)

Una fuente estacionaria de 50 Hz a 2 m sobre suelo rígido en un corte FDTD 2D, con paneles a favor y en contra del viento y sus perfiles logarítmicos de velocidad efectiva del sonido dibujados al lado. A favor del viento los frentes de onda se curvan de vuelta al suelo y mantienen audible al receptor a 350 m; en contra se elevan y se abre una sombra acústica más allá de la frontera anotada de 109 m del modelo de rayos, con los abanicos de rayos de la biblioteca superpuestos y un mapa RMS final compensado en divergencia que muestra el canal brillante junto al suelo frente a la cuña oscura de sombra.

Descargar la animación (WebM)

4. Validación

Los modelos están anclados por oráculos independientes, fijados numéricamente en el informe de conformidad (sección «Atmospheric refraction»):

• Límite homogéneo → efecto suelo esférico. Con gradiente nulo el campo GFPE reproduce el ground_effect exacto de Weyl-Van der Pol a cualquier distancia, con unas décimas de dB sobre pradera en la malla por defecto, y el refuerzo coherente de +6 dB de los dos rayos sobre un suelo rígido.
• Geometría de rayos exacta. Para un perfil lineal el rayo trazado es un arco de círculo cuyo radio ajustado coincide con ray_curvature_radius con precisión de máquina.
• Reciprocidad. Intercambiar las alturas de fuente y receptor deja igual el nivel de la PE.
• Zona de sombra. Sobre un perfil con refracción hacia arriba el nivel de la PE se desploma bien dentro de la distancia de sombra en forma cerrada.

Las dos primeras merecen verse en vez de creerse, porque son las que autorizan todos los demás números que produce el método.

Con el gradiente desactivado, a la PE no le queda nada que hacer salvo reproducir la forma cerrada, y más allá del último cero de interferencia lo hace: el residuo se mantiene dentro de 0,6 dB y las dos curvas se asientan en los +6 dB coherentes (5,59 dB de la PE frente a 6,00 dB a 500 m, el par fijado en el informe de conformidad). Dentro del cero el residuo llega a 17 dB, que no es un fallo del método sino lo que un cero de −31 dB le hace a cualquier comparación expresada en decibelios: la misma trampa que una curva de barrera en banda estrecha.

Ver el código de esta figura

import warnings

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# `atmospheric_parabolic_equation` y `linear_sound_speed_profile` los importan
# los fragmentos de arriba. Un suelo rígido no necesita modelo poroso, así que
# este caso no levanta ningún aviso.
c0, freq, zs = 343.0, 500.0, 2.0
plano = linear_sound_speed_profile(1e-12, ground_speed=c0, max_height=200.0)
with warnings.catch_warnings():
    warnings.simplefilter("ignore")
    pe = atmospheric_parabolic_equation(freq, plano, source_height=zs,
                                        impedance=1e6 + 0j, max_range=520.0,
                                        max_height=150.0)
distancias = np.asarray(pe.ranges)
metodo = np.asarray(pe.level_at_height(zs))
k = 2.0 * np.pi * freq / c0
r1 = np.hypot(distancias, 0.0)
r2 = np.hypot(distancias, 2.0 * zs)
dos_rayos = 20.0 * np.log10(np.abs(1.0 + (r1 / r2) * np.exp(1j * k * (r2 - r1))))

fig, (arriba, abajo) = plt.subplots(2, 1, sharex=True)
arriba.plot(distancias, metodo, label="GFPE, gradiente nulo")
arriba.plot(distancias, dos_rayos, "--", label="Forma cerrada coherente de dos rayos")
arriba.axhline(6.0, ls=":", label="+6 dB")
arriba.set_ylabel("Nivel respecto al campo libre [dB]")
arriba.legend()
abajo.plot(distancias, metodo - dos_rayos)
abajo.set(xlabel="Distancia [m]", ylabel="Residuo [dB]")
plt.show()

Qué cubre esta guía

• Cubierto

  El modelo de rayos (integración de la ley de Snell por Runge-Kutta, atmospheric_ray_paths) con la geometría en forma cerrada del perfil lineal (ray_curvature_radius, shadow_zone_distance, Salomons Sec. 4.4), y la ecuación parabólica de la función de Green (atmospheric_parabolic_equation, Salomons apéndices G y H): el arranque gaussiano, la reflexión de impedancia finita en el suelo, la pantalla de fase de refracción y la capa absorbente superior. Validado por el límite homogéneo frente al efecto suelo esférico exacto (a unas décimas de dB, y al refuerzo de +6 dB sobre suelo rígido), la geometría de rayo exacta a precisión de máquina, la reciprocidad y el desplome del nivel en la zona de sombra.

• No cubierto

  Ambos modelos toman un único perfil de velocidad efectiva del sonido que varía solo con la altura, no con la distancia: una atmósfera horizontalmente no homogénea (un gradiente que cambia a lo largo de la trayectoria) queda fuera de esta formulación independiente de la distancia, descrita en el módulo como la contrapartida de los «métodos oceánicos independientes de la distancia» de los que es el reflejo. Ambos suponen además un suelo plano en $z=0$; ninguno admite un perfil de elevación del terreno.

Véase también

• Teoría: Propagación en exteriores: las hipótesis meteorológicas que hace ISO 9613-2, que es justo lo que la refracción desmonta.

Referencias

• Attenborough, K. y Van Renterghem, T. (2021). Predicting outdoor sound (2.ª ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9780429470806Capítulo 11 (refracción por gradientes de viento y temperatura, modelos de rayos y zonas de sombra). ISBN 978-1-4987-4007-4.
• Salomons, E. M. (2001). Computational atmospheric acoustics. Kluwer Academic. https://doi.org/10.1007/978-94-010-0660-6Capítulo 4 (velocidad efectiva del sonido, el modelo de rayos y ejemplos de PE), apéndice G (la PE de Crank-Nicholson y el arranque gaussiano, Ecs. G.64, G.76) y apéndice H (la PE de la función de Green, la reflexión de impedancia Ec. H.28 y el factor de refracción Ec. H.58). ISBN 978-1-4020-0390-5.