<!-- canonical: https://jmrplens.github.io/phonometry/es/underwater/underwater-solvers/ -->
Source: https://jmrplens.github.io/phonometry/es/underwater/underwater-solvers/

La pérdida de propagación en forma cerrada de la
[propagación submarina del sonido](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/)
no sabe nada del perfil de velocidad del sonido, del fondo ni de la
superficie. Cuando la refracción y los contornos deciden la respuesta, el
campo hay que **calcularlo**: esta guía cubre los tres métodos numéricos del
módulo `underwater`, la física que cada uno discretiza, y cómo elegir entre
ellos y las formas cerradas. Los tres suponen un océano independiente de la
distancia (estratificado horizontalmente) con superficie de
presión nula, toman como entrada el mismo perfil $c(z)$ y siguen a
Jensen, Kuperman, Porter y Schmidt, *Computational Ocean Acoustics*.

## 1. Los tres métodos de un vistazo

- **`normal_modes`** resuelve el problema de autovalores de Sturm-Liouville
  separado en profundidad por diferencias finitas y suma los modos
  propagantes en la pérdida de propagación. Validado contra los modos
  exactos de la guía de ondas ideal (de presión nula).
- **`ray_trace`** integra las ecuaciones de trayectoria de rayos
  (Runge-Kutta, vectorizadas sobre todos los rayos a la vez) a través de un
  perfil de velocidad del sonido, reflejando en la superficie y el fondo, y
  arrastra el tiempo de propagación de cada rayo como un estado más de la
  misma integración. Validado contra los arcos de círculo de un gradiente
  lineal y contra la forma cerrada del tiempo de propagación a lo largo de
  ellos.
- **`parabolic_equation`** hace avanzar en distancia la PE estándar (Tappert)
  con el algoritmo split-step de Fourier. Validado contra la divergencia esférica en campo
  libre; coincide en tendencia con la pérdida de propagación de los modos
  normales.

*Tres paneles, tres preguntas distintas sobre la misma agua. A la izquierda,
rayos en un perfil de Munk cuyo mínimo es de 1500,0 m/s a 1271 m frente a los
1548,5 m/s de la superficie: 48 m/s de diferencia bastan para plegar sobre sí
mismo el abanico de ±12° y formar zonas de convergencia, y el rayo de ±12°
todavía barre de 143 m a 3997 m de profundidad. En el centro, el mismo entorno
como campo de la PE, donde las zonas aparecen como interferencia y no como
líneas. A la derecha, los dos métodos sobre una guía de ondas **distinta**,
somera, de 200 m: siguen la misma tendencia con un desvío medio de 1,6 dB, pero
la diferencia distancia a distancia llega a 25 dB en los mínimos de
interferencia, que es la manera honesta de decir qué significa «coincidir en
tendencia».*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

from phonometry import underwater

# Un perfil de Munk de velocidad del sonido en aguas profundas, para los
# paneles de rayos y de PE.
z = np.linspace(0.0, 5000.0, 60)
eta = 2.0 * (z - 1300.0) / 1300.0
c = 1500.0 * (1.0 + 0.00737 * (eta - 1.0 + np.exp(-eta)))

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))

# (a) rayos a través del perfil de Munk, hasta 100 km.
underwater.ray_trace(z, c, source_depth=1000.0,
                     launch_angles_deg=np.linspace(-12.0, 12.0, 13),
                     max_range=100e3, n_steps=6000).plot(ax=axes[0], language="es")

# (b) el campo de la PE split-step de Fourier sobre el mismo entorno.
underwater.parabolic_equation(50.0, z, c, source_depth=1000.0,
                              max_range=100e3, range_step=25.0,
                              n_depth_points=1024).plot(ax=axes[1], language="es")

# (c) modos frente a PE en una guía de ondas *distinta*, somera, de 200 m.
r = np.linspace(100.0, 20_000.0, 400)
nm = underwater.normal_modes(50.0, [0.0, 200.0], [1500.0, 1530.0],
                             source_depth=30.0, receiver_depth=120.0,
                             ranges_m=r, n_depth_points=800)
pe = underwater.parabolic_equation(50.0, [0.0, 200.0], [1500.0, 1530.0],
                                   source_depth=30.0, max_range=20e3,
                                   range_step=20.0, n_depth_points=512)
zi = int(np.argmin(np.abs(pe.depths - 120.0)))
axes[2].plot(nm.ranges / 1000.0, nm.propagation_loss, label="Modos normales")
axes[2].plot(pe.ranges / 1000.0, pe.propagation_loss[zi], label="PE")
axes[2].invert_yaxis()
axes[2].set(xlabel="Distancia [km]", ylabel="Pérdida de propagación [dB]")
axes[2].legend()
plt.show()
```

</details>

```python

from phonometry import underwater

# Un perfil de Munk de aguas profundas.
z = np.linspace(0.0, 5000.0, 60)
eta = 2.0 * (z - 1300.0) / 1300.0
c = 1500.0 * (1.0 + 0.00737 * (eta - 1.0 + np.exp(-eta)))

rays = underwater.ray_trace(z, c, source_depth=1000.0,
                    launch_angles_deg=np.linspace(-12.0, 12.0, 21), max_range=100e3)
rays.plot()   # trayectorias de rayos / zonas de convergencia

# Guía de ondas somera isovelocidad: modos y PE.
modes = underwater.normal_modes(50.0, [0.0, 200.0], [1500.0, 1500.0],
                        source_depth=50.0, receiver_depth=100.0)
print(modes.wavenumbers.size, "modos propagantes")
field = underwater.parabolic_equation(50.0, [0.0, 200.0], [1500.0, 1500.0],
                              source_depth=50.0, max_range=20e3)
field.plot()  # campo PL sobre distancia x profundidad
```

`normal_modes` devuelve un `NormalModeResult` (`wavenumbers`,
`mode_functions`, `propagation_loss`); `ray_trace` un `RayTraceResult`
(`ranges`, `depths` y `travel_times` por rayo); `parabolic_equation` un
`ParabolicEquationResult` (el campo `propagation_loss`). Los tres difieren en
lo que aproximan, no en lo que modelan, así que elegir entre ellos es una
cuestión de régimen: la tabla de la sección 5 es la respuesta corta.

## 2. Modos normales: la guía de ondas como suma de ondas estacionarias

En un océano estratificado horizontalmente la ecuación de Helmholtz se
separa en coordenadas cilíndricas, $p(r, z) = \Phi(r)\,\Psi(z)$, y el
factor de profundidad obedece un problema de autovalores de Sturm-Liouville
(Jensen, Ec. 5.3):

$$
\frac{d^2 \Psi_m}{dz^2}
  + \left[\frac{\omega^2}{c^2(z)} - k_{rm}^2\right] \Psi_m = 0,
\qquad \Psi_m(0) = 0,
$$

con superficie de presión nula en $z = 0$ y, en el fondo $z = D$,
$\Psi(D) = 0$ para un lecho de presión nula o $d\Psi/dz|_{D} = 0$
para uno rígido. Cada autofunción $\Psi_m(z)$ es una onda estacionaria en
profundidad que viaja en distancia como $e^{\,i k_{rm} r}$ con su propio
número de onda horizontal $k_{rm}$; solo **propagan** los modos con
$k_{rm}$ real, el resto son evanescentes y se extinguen al cabo de unas
pocas profundidades de agua. El campo es la suma modal (Ec. 5.14),

$$
p(r, z) \simeq \frac{i\,e^{-i\pi/4}}{\rho(z_\mathrm{s})\sqrt{8\pi r}}
  \sum_m \Psi_m(z_\mathrm{s})\,\Psi_m(z)\,
  \frac{e^{\,i k_{rm} r}}{\sqrt{k_{rm}}},
$$

cada modo ponderado por su excitación en la profundidad de la fuente
$\Psi_m(z_\mathrm{s})$ y su amplitud en la del receptor $\Psi_m(z)$, y la pérdida
de propagación coherente sale como $PL = -20 \log_{10}\,\lvert
p(r,z)/p_0(1\,\mathrm{m})\rvert$ (Ec. 5.15). `normal_modes` discretiza la
ecuación en profundidad por diferencias finitas (un problema de autovalores
tridiagonal simétrico) sobre una malla lo bastante fina para mantener
honestos los autovalores cercanos al corte, y avisa cuando un modo retenido
queda demasiado cerca de su banda de error de discretización.

El número de modos es la física: un canal isovelocidad de profundidad $D$
transporta $M \approx kD/\pi$ modos propagantes, así que un canal de 200 m a
50 Hz transporta 13 y el mismo canal a 5 kHz transportaría más de 1300, que es
la frecuencia a la que los rayos pasan a ser la descripción económica. Baja
frecuencia y aguas someras significan pocos modos y una descripción compacta y
esencialmente exacta. La guía de ondas ideal de presión nula es el
oráculo de validación, con $k_{rm} = \sqrt{k^2 - (m\pi/D)^2}$ en forma
cerrada:

```python

from phonometry import underwater

# Un canal isovelocidad de 200 m a 50 Hz: kD/pi = 2 f D / c = 13,3.
modes = underwater.normal_modes(50.0, [0.0, 200.0], [1500.0, 1500.0],
                                source_depth=50.0, receiver_depth=100.0)
print(modes.wavenumbers.size)                   # 13  modos propagantes
k = 2 * np.pi * 50.0 / 1500.0
print(round(float(modes.wavenumbers[0]), 5))    # 0.20885  kr1 calculado
print(round(np.sqrt(k**2 - (np.pi / 200.0) ** 2), 5))   # 0.20885  exacto
```

*El modo $m$ tiene $m-1$ ceros interiores, y la profundidad de la fuente decide
qué modos existen siquiera en el campo: el cuarto modo tiene un cero justo a
50 m en un canal de 200 m, así que una fuente ahí no lo excita. La escalera del
centro es el número de modos entrando en propagación de uno en uno conforme sube
la frecuencia, siguiendo $M \approx kD/\pi$; el panel de la derecha es la
interferencia de los 13 modos que sobreviven a 50 Hz. Un resultado calculado
dibuja los tres con `modes.plot()`.*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5.4))
r = np.linspace(100.0, 20_000.0, 500)
res = underwater.normal_modes(50.0, [0.0, 200.0], [1500.0, 1500.0],
                              source_depth=50.0, receiver_depth=100.0,
                              ranges_m=r, n_depth_points=800)
for m in range(4):
    axes[0].plot(res.mode_functions[m], res.mode_depths, label=f"m = {m + 1}")
axes[0].axhline(50.0, linestyle="--")
axes[0].invert_yaxis()
axes[0].set(xlabel="Función modal Psi_m(z)", ylabel="Profundidad [m]")
axes[0].legend()

freqs = np.arange(10.0, 201.0, 1.0)
counts = [underwater.normal_modes(f, [0.0, 200.0], [1500.0, 1500.0],
                                  source_depth=50.0, receiver_depth=100.0,
                                  n_depth_points=1200).wavenumbers.size
          for f in freqs]
axes[1].step(freqs, counts, where="post", label="modos devueltos")
axes[1].plot(freqs, 2.0 * freqs * 200.0 / 1500.0, "--", label="M = kD/pi")
axes[1].set(xlabel="Frecuencia [Hz]", ylabel="Modos propagantes M")
axes[1].legend()

res.plot(ax=axes[2], language="es")
plt.show()
```

</details>

Esa guía de ondas ideal cumple dos papeles, y no conviene confundirlos. Es el
oráculo exacto contra el que se comprueba el cálculo, que es para lo que se
usa aquí, y es además un fondo físicamente *extremo*: un lecho de presión nula
refleja con módulo unidad e inversión de fase, así que no transmite nada al
sedimento y no absorbe nada. Una pérdida de propagación modal o PE calculada
sobre él subestima, por tanto, la pérdida de cualquier fondo marino real, y la
diferencia se ensancha con el alcance porque se acumula rebote a rebote. La
opción rígida es el extremo contrario, ofrecida por la misma razón de validación
y no como modelo de sedimento. Para un fondo real en aguas someras, tasa el
lecho con los regímenes de Weston de
[propagación submarina del sonido](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/#regimenes-de-aguas-someras-de-weston),
cuyo ángulo crítico y gradiente de pérdida por reflexión codifican exactamente
lo que estas condiciones de contorno omiten, y lee la respuesta modal como una
cota superior del nivel recibido.

## 3. Trazado de rayos: puntos de giro y tiempos de propagación

En el límite de alta frecuencia la ecuación de Helmholtz colapsa en la
ecuación eikonal, y sus características son los **rayos**: trayectorias
integradas del sistema de primer orden (Jensen, Ecs. 3.23-3.24)

$$
\frac{dr}{ds} = c\,\xi, \quad \frac{dz}{ds} = c\,\zeta,
\qquad
\frac{d\zeta}{ds} = -\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial c}{\partial z},
$$

con $s$ la longitud de arco y $(\xi, \zeta)$ la lentitud del rayo. En un
perfil independiente de la distancia la lentitud horizontal se conserva a
lo largo de cada rayo, que es la **ley de Snell** en forma continua,
$\cos\theta(z)/c(z) = \cos\theta_0/c(z_0)$: un rayo se curva hacia la
velocidad del sonido más baja, se aplana según crece $c$ y gira donde
$c(z_\mathrm{t}) = c(z_\mathrm{s})/\cos\theta_0$. En un gradiente lineal $c(z) = c_0 + gz$
los arcos son exactamente circulares con radio
$R = c_0/(g \cos\theta_0)$, la forma cerrada contra la que se valida el
trazado de rayos; en un perfil de aguas profundas la familia de rayos se reenfoca
periódicamente en las **zonas de convergencia** de la figura de la
sección 1. `ray_trace` integra todos los ángulos de lanzamiento a la vez
con un esquema Runge-Kutta de cuarto orden y paso fijo, reflejando en la
superficie y en el fondo, y arrastra con ellos el tiempo de propagación como
un tercer estado del mismo paso ($dt/dr = 1/(\xi c^2)$, con
$\xi = \cos\theta_0/c(z_\mathrm{s})$ el invariante de Snell):

```python

from phonometry import underwater

# Una capa profunda isoterma: c sube 0,017 (m/s)/m con la presión, así que
# un rayo lanzado 6 grados hacia abajo desde 100 m gira de vuelta donde
# Snell da c(z_t) = c(z_s)/cos(6 grados).
z = [0.0, 1000.0]
c = [1490.0, 1507.0]                        # gradiente lineal, g = 0,017 1/s
rays = underwater.ray_trace(z, c, source_depth=100.0,
                            launch_angles_deg=[6.0], max_range=40e3,
                            n_steps=20000)
z_turn = (1491.7 / np.cos(np.radians(6.0)) - 1490.0) / 0.017
print(round(z_turn, 1))                     # 583.3  profundidad de giro analítica
print(round(float(rays.depths.max()), 1))   # 583.3  trazada

# El arco fija también el tiempo hasta ese giro: la velocidad del sonido se
# cancela y solo quedan el ángulo de lanzamiento y el gradiente,
# t = (1/g) ln[(1 + sin theta_0) / cos theta_0].
th = np.radians(6.0)
r_turn = np.sin(th) / (np.cos(th) / 1491.7 * 0.017)   # 9222,6 m
t_turn = np.log((1.0 + np.sin(th)) / np.cos(th)) / 0.017
print(round(t_turn, 3))                                        # 6.171  analítico
traced = np.interp(r_turn, rays.ranges[0], rays.travel_times[0])
print(round(float(traced), 3))                                 # 6.171  trazado
```

*Cuanto más empinado es el lanzamiento, más hondo gira el rayo: en la misma agua
el rayo de 2° gira a 154 m y el de 10° a 1454 m. El rayo de 6° lleva la
validación de la propia página, los 583,3 m de profundidad de giro analítica,
que el trazado reproduce hasta la décima de metro que imprime, y la
superposición discontinua es el arco de círculo exacto de radio
$R = c_0/(g\cos\theta_0)$ contra el que se comprueba el cálculo. Un resultado
dibuja su propio abanico con `rays.plot()`.*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

c_top, grad, z_source = 1490.0, 0.017, 100.0
c_source = c_top + grad * z_source
fig, (ax_c, ax_r) = plt.subplots(1, 2, figsize=(13, 6),
                                 gridspec_kw={"width_ratios": [1, 3.4]})
zz = np.linspace(0.0, 2000.0, 200)
ax_c.plot(c_top + grad * zz, zz)
ax_c.invert_yaxis()
ax_c.set(xlabel="c(z) [m/s]", ylabel="Profundidad [m]")

for angle in (2.0, 4.0, 6.0, 8.0, 10.0):
    rays = underwater.ray_trace([0.0, 2000.0], [c_top, c_top + grad * 2000.0],
                                source_depth=z_source,
                                launch_angles_deg=[angle], max_range=32e3,
                                n_steps=20000)
    ax_r.plot(rays.ranges[0] / 1000.0, rays.depths[0], label=f"{angle:.0f} grados")
    z_turn = (c_source / np.cos(np.radians(angle)) - c_top) / grad
    print(f"{angle:4.0f} grados -> analitica {z_turn:7.1f} m, "
          f"trazada {float(rays.depths.max()):7.1f} m")
ax_r.set_ylim(1760.0, -70.0)
ax_r.set(xlabel="Distancia [km]", ylabel="Profundidad [m]")
ax_r.legend()
plt.show()
```

</details>

Los rayos compran geometría y tiempos: caminos, profundidades de giro,
distancias de las zonas de convergencia y el tiempo de propagación a lo largo
de cada uno, a un coste independiente de la frecuencia. Como el tiempo viaja
en las mismas cuatro etapas Runge-Kutta que la trayectoria, y toma su velocidad
del sonido de la interpolación que esas etapas ya hacen, describe el camino que
de verdad se devuelve y no una segunda lectura de él, y coincide con la forma
cerrada de un gradiente constante (Medwin y Clay 1998, Ec. (3.3.20)) hasta unos
$10^{-14}$ s. Lo que aquí no llevan es una amplitud completa: la intensidad
geométrica del tubo de rayos diverge en las cáusticas, así que el objeto de
resultado deja el nivel al campo modal o de la PE.

## 4. La ecuación parabólica: un campo de un solo sentido que avanza en distancia

La ecuación parabólica cambia el problema de contorno de Helmholtz por un
problema de valores iniciales en distancia. Factoriza la oscilación
saliente rápida, $p(r, z) \simeq \psi(r, z)\,e^{\,i k_0 r}/\sqrt{k_0 r}$
con un número de onda de referencia $k_0 = \omega/c_0$, y para la energía
que viaja dentro de un ángulo pequeño respecto a la horizontal la
envolvente obedece la **PE estándar (Tappert)** (Jensen §6.2):

$$
2 i k_0 \frac{\partial \psi}{\partial r}
  + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}
  + k_0^2\left[n^2(z) - 1\right]\psi = 0,
\qquad n(z) = \frac{c_0}{c(z)} .
$$

El algoritmo **split-step de Fourier** la hace avanzar por descomposición de
operadores, alternando dos semipasos físicos, exacto cada uno por separado: la
difracción es una multiplicación por $e^{-i k_z^2 \Delta r / 2 k_0}$ en el
dominio del número de onda vertical, y la refracción una pantalla de fase
$e^{\,i k_0 (n^2 - 1) \Delta r / 2}$ de vuelta en profundidad, con un par de
transformadas por paso de distancia. `parabolic_equation` arranca de un campo
gaussiano adaptado a la fuente puntual y usa una transformada discreta de
senos en profundidad, que impone por construcción la superficie y el fondo de
presión nula. El precio es la aproximación **paraxial**: la PE estándar es
precisa dentro de ±15-20° de la horizontal, aproximadamente, y la energía más
empinada arrastra un error de fase que se nota a corta distancia en guías de
ondas someras (Jensen §6.2). La calibración en campo libre es el oráculo: sin
gradiente alguno, el campo así avanzado debe reproducir la divergencia
esférica,

```python

from phonometry import underwater

# Campo libre: en una columna isovelocidad de 5000 m, antes de sentir
# ningún contorno, la PE debe reproducir la divergencia esférica,
# PL = 20 lg R.
field = underwater.parabolic_equation(50.0, [0.0, 5000.0], [1500.0, 1500.0],
                                      source_depth=2500.0, max_range=2000.0,
                                      range_step=10.0)
iz = np.argmin(np.abs(field.depths - 2500.0))
ir = np.argmin(np.abs(field.ranges - 1000.0))
print(round(float(field.propagation_loss[iz, ir]), 2))   # 60.0 = 20 lg 1000
```

y lo hace hasta unos $10^{-4}$ dB con el paso de distancia por defecto. Esa es
la comprobación que la PE no puede fallar: campo libre, sin contornos, sin
energía empinada. El límite paraxial solo se ve donde faltan esas tres cosas.

*En una guía de ondas de 100 m a 50 Hz, cuatro de los seis modos propagantes
salen de la fuente a 27°, 37°, 49° y 64°: fuera de la banda para la que está
escrita la PE estándar. La consecuencia está a la izquierda: la pérdida de la PE
promediada en distancia queda **1,6 dB por encima** de la referencia modal, a
300 m y todavía a 5,7 km. El sesgo no se diluye con la distancia, porque una
guía de ondas ideal no tiene pérdidas y no descama ningún modo; en un fondo
marino real los modos empinados se atenúan antes y la diferencia sí se cierra.
Este es el modo de fallo que hay que buscar en la propia salida: un nivel
uniformemente un poco bajo, no una forma equivocada.*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

r = np.linspace(50.0, 6000.0, 700)
modes = underwater.normal_modes(50.0, [0.0, 100.0], [1500.0, 1500.0],
                                source_depth=30.0, receiver_depth=60.0,
                                ranges_m=r, n_depth_points=800)
pe_field = underwater.parabolic_equation(50.0, [0.0, 100.0], [1500.0, 1500.0],
                                         source_depth=30.0, max_range=6000.0,
                                         range_step=5.0, n_depth_points=1024)
iz2 = int(np.argmin(np.abs(pe_field.depths - 60.0)))
pe_pl = np.interp(r, pe_field.ranges, pe_field.propagation_loss[iz2])

def range_average(pl, width=61):        # incoherente, en el dominio de la energía
    return -10.0 * np.log10(np.convolve(10.0 ** (-pl / 10.0),
                                        np.ones(width) / width, mode="same"))

inner = (r > 300.0) & (r < 5700.0)
sm_nm = range_average(np.asarray(modes.propagation_loss))
sm_pe = range_average(pe_pl)
print(round(float(np.mean(sm_pe[inner] - sm_nm[inner])), 2))   # 1.64 dB

fig, (ax_pl, ax_ang) = plt.subplots(1, 2, figsize=(13.5, 5.6),
                                    gridspec_kw={"width_ratios": [2, 1]})
ax_pl.plot(r / 1000.0, modes.propagation_loss, alpha=0.35)
ax_pl.plot(r / 1000.0, pe_pl, alpha=0.35)
ax_pl.plot(r[inner] / 1000.0, sm_nm[inner], label="Modos normales, promediado")
ax_pl.plot(r[inner] / 1000.0, sm_pe[inner], label="PE, promediada")
ax_pl.set_ylim(30.0, 92.0)
ax_pl.invert_yaxis()
ax_pl.set(xlabel="Distancia [km]", ylabel="Pérdida de propagación [dB]")
ax_pl.legend()

k0 = 2.0 * np.pi * 50.0 / 1500.0
grazing = np.degrees(np.arccos(np.clip(modes.wavenumbers / k0, -1.0, 1.0)))
ax_ang.bar(np.arange(1, grazing.size + 1), grazing)
ax_ang.axhline(20.0, linestyle="--")
ax_ang.set(xlabel="Índice de modo m",
           ylabel="Ángulo rasante arccos(k_rm/k) [grados]")
plt.show()
```

</details>

### Preparar un cálculo

Los tres métodos los configura quien llama, y todos los fragmentos anteriores
fijan una malla sin decir por qué. Las reglas son cortas.

**La malla en profundidad.** La transformada de senos de la PE, y el
autoproblema en diferencias finitas de los modos, producen ambos aliasing de un
espectro que es empinado en profundidad, así que la malla se dimensiona en
longitudes de onda. A 50 Hz, $\lambda = 30$ m, y una malla cercana a
$\lambda/10$ sobre 5000 m de agua son unos cuantos miles de puntos interiores,
que es por lo que el `n_depth_points=512` del fragmento de la sección 1 está
etiquetado como el ajuste grueso y rápido y no como el correcto. Refina y
vuelve a calcular antes de fiarte de un número.

**El paso en distancia del split-step.** El semipaso de refracción es una
pantalla de fase $e^{\,i k_0 (n^2 - 1)\Delta r/2}$, así que debe girar la fase
bastante menos de un radián por paso, y hay que apretarlo allí donde el perfil
tenga gradientes fuertes. La prueba honesta es la misma: divide $\Delta r$ entre
dos y mira si el campo se mueve.

**Cuando `normal_modes` avisa.** El aviso dice que un modo retenido queda dentro
de la banda de error de las diferencias finitas. El remedio es subir
`n_depth_points`: el error de autovalor es $O(\Delta z^2)$, y los modos cercanos
al corte son sus primeras víctimas, que son justo los modos de ángulo pequeño
que llevan el campo a larga distancia, así que ignorar el aviso cuesta en
silencio la respuesta a las distancias que interesan.

**El abanico de rayos y el paso de rayo.** Los ángulos de lanzamiento tampoco
son una elección libre: se toman de la condición de giro de Snell para que el
abanico abarque los rayos que el canal atrapa, en vez de los ±12° redondos del
fragmento de arriba. El número de pasos tiene que mantener la longitud de arco
por paso pequeña frente a la escala vertical del perfil, o un punto de giro se
salta de una zancada.

**La disciplina de convergencia.** Refinar, recalcular, comparar; y solo
entonces comparar métodos. Que los modos y la PE coincidan, que es lo que la
sección 5 llama la prueba práctica de convergencia, no vale nada si ninguno de
los dos ha convergido en su propia malla.

## 5. Elegir modelo

Todas las funciones de propagación del módulo `underwater` responden a la
misma pregunta, «cuánto nivel sobrevive al camino», a distinto precio en
física. La terminología sigue en toda la página la ISO 18405:2017 (pérdida
por propagación, nivel de fuente, niveles re 1 µPa). Los modelos de
velocidad del sonido y de absorción nombrados abajo están implementados y
referenciados en la
[propagación submarina del sonido](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/).

**Velocidad del sonido.** Las cuatro ecuaciones coinciden a menos de 1 m/s
dentro del dominio que comparten: 0,98 m/s a 25 °C, 35 ppt y 1000 m, y 0,52 m/s
en el kilómetro superior de un perfil completo, como muestra la
[comparación de modelos](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/#velocidad-del-sonido-en-agua-de-mar)
de la página de propagación, así que la elección va de *rango de validez*, no
de exactitud. La forma **UNESCO / Chen-Millero** por defecto (en la
reformulación de Wong y Zhu de 1995) cubre de 0 a 40 °C, de 0 a 40 ppt y de 0
a 1000 bar, la envolvente más amplia, y es el estándar internacional.
**Del Grosso** (1974) queda restringida a 0-30 °C y 30-40 ppt, pero algunos
autores la prefieren para trabajo de océano profundo dentro de ese dominio
(buena parte de la literatura del canal SOFAR la usa). **Mackenzie** (1981)
cambia presión por profundidad directamente (2-30 °C, 25-40 ppt, 0-8000 m),
lo que la convierte en la opción cómoda cuando se dispone de una profundidad
de ecosonda y no de una presión de CTD; las otras dos convierten profundidad a
presión internamente mediante Leroy y Parthiot (1998). **Medwin** (1975) es una
simplificación de seis términos válida hasta unos 1000 m en aguas someras y
cálidas; es la más basta de las cuatro y la que hay detrás de las reglas
prácticas $\partial c/\partial T \approx 4{,}6 - 0{,}110\,T$ m/s por °C y
$\partial c/\partial z \approx 0{,}016$ m/s por metro, así que resérvala para el
cálculo mental y las comprobaciones a mano, no para un presupuesto.

**Absorción.** **Francois-Garrison** (1982) es la referencia y el valor por
defecto: incorpora las relajaciones del ácido bórico, el sulfato de magnesio y
el agua pura con sus dependencias completas de temperatura, salinidad,
profundidad y pH implícito, y es fiable desde unos 100 Hz hasta 1 MHz. **Ainslie-McColm**
(1998) es una simplificación deliberada de la misma física que se mantiene a
menos de un 10 % de ella en ese rango; úsese cuando una fórmula legible
importe más que el último punto porcentual. **Thorp** (1967) depende solo de
la frecuencia (lleva incorporada agua a 4 °C cerca de 1000 m) y es anterior a
ambas; resérvese para estimaciones rápidas de baja frecuencia por debajo de
unas decenas de kHz y para comparar con literatura antigua que la usó.

**Ley de divergencia.** La divergencia esférica ($20\log_{10} R$) describe un
frente de onda que se expande libremente en tres dimensiones, antes de que
ningún contorno lo confine; el cilíndrico ($10\log_{10} R$) describe energía
atrapada entre la superficie y el fondo (o en el canal SOFAR) que solo puede
expandirse en distancia. La ley `"practical"` empalma ambos en una distancia
de transición $R_0$, físicamente del orden de la profundidad del agua (o del
canal): esférico mientras el frente no ha llenado el conducto, cilíndrico
cuando ya lo ha hecho. En el ejemplo de 10 kHz de la
[sección de pérdida de propagación](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/#perdida-de-propagacion)
la elección no es cosmética: frente a la misma figura de mérito de 87 dB, la
divergencia solo esférica predice detección hasta unos 8,7 km, mientras
que la ley práctica con $R_0 = 1000$ m la estira hasta unos 15,8 km. Cuando
la ley de divergencia es la mayor incertidumbre del presupuesto, esa es
la señal de dejar la forma cerrada y calcular el campo.

**¿Forma cerrada o cálculo numérico?** La pérdida de propagación en forma cerrada no
sabe nada del perfil de velocidad del sonido, del fondo ni de la superficie;
es honesta para caminos cortos, directos y sin contornos, y para presupuestos
de sonar de primera pasada. Cuando la refracción y los contornos deciden la
respuesta, elíjase el método por frecuencia y geometría (Jensen et al. 2011,
cap. 1):

| Método | Régimen natural | Qué aporta |
|---|---|---|
| `ray_trace` | Alta frecuencia (profundidad ≫ λ), océano profundo | Geometría de los caminos de rayos, profundidades de giro, tiempos de propagación, zonas de convergencia; coste independiente de la frecuencia |
| `normal_modes` | Baja frecuencia, aguas someras, independiente de la distancia | Suma modal por diferencias finitas con pocos modos propagantes ($M \approx kD/\pi$); la solución de referencia en su régimen, validada frente a los modos exactos de la guía de ondas ideal |
| `parabolic_equation` | Baja frecuencia, caminos largos de un solo sentido | PL($z$,$r$) de campo completo con refracción, avanzada en distancia sobre el $c(z)$ independiente de la distancia que suponen los tres métodos |

En la práctica las fronteras se difuminan: los rayos siguen siendo útiles a
frecuencias sorprendentemente bajas para trabajo de tiempos de propagación, y
la PE sigue siendo el caballo de batalla bastante por encima de su régimen
formal de ángulos pequeños. Cuando dos de los tres coinciden en un caso, como
hacen los modos y la PE en la figura de la sección 1, esa coincidencia es la
prueba práctica de convergencia.

## 6. Un presupuesto de sonar resuelto

Encadenando las piezas de punta a punta: una fuente de 140 dB re 1 µPa²/Hz a
10 kHz, un nivel espectral de ruido ambiental de 60 dB, una ganancia de array de
15 dB y un umbral de detección de 8 dB dan la figura de mérito
$FOM = 140 - (60 - 15) - 8 = 87$ dB, que calcula `passive_sonar_equation` en la
[sección de la ecuación del sonar](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/#ecuacion-del-sonar)
de la guía de propagación. Cada término mueve después el cruce de la curva de
pérdida de propagación de la
[sección de pérdida de propagación](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/#perdida-de-propagacion)
de esa guía (10 °C, 35 ppt, 100 m), y ese cruce *es* la distancia de detección
predicha.

```python

env = {"temperature": 10.0, "salinity": 35.0, "depth": 100.0}
se = underwater.passive_sonar_equation(
    source_level=140.0, propagation_loss=np.linspace(40.0, 120.0, 400),
    noise_level=60.0, directivity_index=15.0, detection_threshold=8.0)
print(se.figure_of_merit)                                    # 87.0 dB

for law, r0 in (("spherical", None), ("practical", 1000.0)):
    res = underwater.detection_range(se.figure_of_merit, 10e3, law=law,
                                     transition_range=r0, **env)
    print(law, round(float(res.detection_range) / 1000.0, 1))  # 8.7 / 15.8 km

# Dos maneras de perderla: la mitad de ganancia de array, o el doble de frecuencia.
trim = underwater.passive_sonar_equation(
    source_level=140.0, propagation_loss=np.linspace(40.0, 120.0, 400),
    noise_level=60.0, directivity_index=7.5, detection_threshold=8.0)
print(trim.figure_of_merit)                                  # 79.5 dB
print(round(float(underwater.detection_range(
    trim.figure_of_merit, 10e3, law="practical",
    transition_range=1000.0, **env).detection_range) / 1000.0, 1))       # 10.0 km
print(round(float(underwater.detection_range(
    se.figure_of_merit, 20e3, law="practical",
    transition_range=1000.0, **env).detection_range) / 1000.0, 1))       # 5.9 km
```

*La misma fuente y el mismo mar, seis respuestas entre 4,1 y 15,8 km. La ley de
divergencia es la palanca mayor: elegir la esférica sola en lugar de la práctica
con $R_0 = 1$ km cuesta 7,1 km a 10 kHz. Reducir a la mitad la ganancia de array
cuesta 5,8 km; doblar la frecuencia cuesta 9,9 km, porque $\alpha$ pasa de 0,95 a
3,30 dB/km. Cuando la ley de divergencia es la mayor incertidumbre de un
presupuesto, esa es la señal de dejar la forma cerrada y calcular el campo.*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

ranges = np.linspace(50.0, 30_000.0, 800)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 6.4))
cases = (("10 kHz, solo esférica", 10e3, "spherical", None),
         ("10 kHz, práctica R0 = 1 km", 10e3, "practical", 1000.0),
         ("20 kHz, práctica R0 = 1 km", 20e3, "practical", 1000.0))
for label, freq, law, r0 in cases:
    ax.plot(ranges / 1000.0,
            underwater.propagation_loss(ranges, freq, law=law,
                                         transition_range=r0, **env).pl,
            label=label)
for fom in (se.figure_of_merit, trim.figure_of_merit):
    ax.axhline(fom, linewidth=1.4, label=f"FOM = {fom:.1f} dB")
    for _label, freq, law, r0 in cases:
        r50 = float(underwater.detection_range(fom, freq, law=law,
                                               transition_range=r0,
                                               **env).detection_range)
        ax.plot([r50 / 1000.0], [fom], "o")
ax.set_ylim(40.0, 126.0)
ax.invert_yaxis()
ax.set(xlabel="Distancia [km]", ylabel="Pérdida de propagación [dB]")
ax.legend()
plt.show()
```

</details>

Un número de ese presupuesto merece una segunda mirada. Un nivel *espectral*
ambiental de 60 dB a 10 kHz está bastante por encima de lo que produce el mar
por sí solo: `ocean_ambient_noise` da ahí 42 dB re 1 µPa²/Hz con un viento de
15 nudos. Sesenta decibelios describen por tanto un emplazamiento ruidoso o un
receptor limitado por su propio ruido, no un océano tranquilo, y darse cuenta de
eso es la diferencia entre un presupuesto y un ejercicio de aritmética. Este
acoplamiento entre el modelo de absorción, la ley de divergencia y la ecuación
del sonar es la razón de que todos vivan en un mismo módulo.

## Qué cubre esta guía

`normal_modes`, `ray_trace` y `parabolic_equation` implementan los métodos
numéricos de Jensen et al. (2011) para un océano estratificado independiente
de la distancia: la suma modal de Sturm-Liouville por diferencias finitas
(cap. 5, Ecs. 5.3-5.17), la integración Runge-Kutta de las trayectorias de
rayos (cap. 3, Ecs. 3.23-3.24) y la PE estándar split-step de Fourier (cap.
6), con la terminología de la ISO 18405:2017 en toda la página. `ray_trace`
devuelve además el tiempo de propagación de cada rayo, integrado como un
tercer estado del mismo paso Runge-Kutta. Cada uno está validado contra una
forma cerrada exacta: los modos de la guía de ondas ideal de presión nula, los
rayos en arco de círculo de un gradiente lineal junto con el tiempo de
propagación publicado a lo largo de ellos (Medwin y Clay 1998, Ec. (3.3.20)) y
la divergencia esférica en campo libre, más la coincidencia mutua de la
pérdida de propagación modal y de la PE.

Los tres métodos suponen una columna de agua independiente de la distancia con
un contorno de presión nula (o, para los modos, opcionalmente rígido): no hay
fondo absorbente ni elástico, ni atenuación del sedimento, ni batimetría real,
así que los problemas dependientes de la distancia quedan fuera de alcance. El
trazado de rayos devuelve caminos y tiempos de propagación, no amplitudes: la
intensidad de tubo de rayos con correcciones de cáusticas no se calcula, y
nada busca los eigenrayos que unen una fuente y un receptor dados. La PE
es la forma estándar de ángulos pequeños (Tappert), no una variante de gran
angular de Padé. Para la física del lecho elástico que estos métodos fluidos
dejan fuera, véase [Ondas elásticas y acoplamiento
fluido-sólido](/phonometry/es/simulation/elastic-waves/).

## Véase también

- [Propagación submarina del sonido](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/):
  las formas cerradas que estos métodos sustituyen cuando la refracción y
  los contornos importan, y los perfiles de velocidad del sonido que
  consumen.
- [Acústica submarina: ruido radiado e hincado de pilotes](/phonometry/es/underwater/underwater-acoustics/):
  los niveles de referencia de ISO 18405 en los que se expresa toda pérdida
  de propagación de esta página.
- [Refracción atmosférica: rayos y la GFPE](/phonometry/es/environment/propagation/atmospheric-refraction/):
  los hermanos aéreos de estos métodos, con la misma curvatura de rayos y
  una PE de función de Green que avanza sobre impedancia de suelo en lugar de
  un lecho marino.
- [Simulación de ondas FDTD 2D](/phonometry/es/simulation/fdtd-simulation/): la
  alternativa en el dominio del tiempo tras la animación del canal SOFAR de
  la guía de propagación.
- Referencia de la API: [`underwater.propagation.numerical`](/phonometry/es/reference/api/underwater/numerical/).

## Respuestas rápidas

### ¿Qué método de propagación submarina debo usar?

Elige por frecuencia y geometría (Jensen et al. 2011, cap. 1): rayos para
alta frecuencia y océano profundo (geometría de los caminos de rayos, tiempos
de propagación y zonas de convergencia a un coste independiente de la
frecuencia), modos normales para baja frecuencia en aguas someras (pocos modos
propagantes, $M \approx kD/\pi$,
la solución de referencia en su régimen) y la ecuación parabólica para caminos
largos de un solo sentido a baja frecuencia (el campo completo PL($z$,$r$)
con refracción). Cuando dos métodos coinciden en un caso, esa coincidencia
es la prueba práctica de convergencia.

### ¿Cuándo deja de bastar la pérdida de propagación en forma cerrada?

Cuando la refracción o los contornos deciden la respuesta: un mínimo de
velocidad del sonido que atrapa energía (el canal SOFAR), reflexiones en la
superficie y el fondo en aguas someras, o una distancia de detección que
oscila con la elección de la ley de divergencia. La forma cerrada
$PL = \text{divergencia} + \alpha R$ es honesta para caminos cortos,
directos y sin contornos, y para presupuestos de sonar de primera pasada;
más allá, calcula el campo.