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Source: https://jmrplens.github.io/phonometry/es/simulation/elastic-waves/

Un fluido transporta una onda; un sólido, una familia de ellas. Esta guía
cubre el compañero elástico de la
[simulación de ondas FDTD 2D](/phonometry/es/simulation/fdtd-simulation/):
`elastic_fdtd_simulation` integra el sistema velocidad-esfuerzo en
deformación plana de Virieux (1986) sobre la misma malla escalonada que el
esquema acústico, y con él la **onda P** de compresión, la **onda S**
de cizalla, la **onda de Rayleigh** de una superficie libre y la **onda de
Scholte** de un contacto fluido-sólido emergen de la misma actualización.
Como un fluido es simplemente el límite sin cizalla de las ecuaciones
elásticas, un par de mapas de material acopla agua, aire, sedimento y acero
en una sola ejecución: la reflexión oblicua con **conversión de modo**, las
ondas de interfase del lecho marino y la transmisión de placas sumergidas
salen de los mapas sin más, cada una anclada a su forma cerrada exacta por
la batería de validación.

La guía supone el vocabulario del esquema acústico (fuentes, sondas,
máscaras de obstáculos, esponjas y la cota de Courant); lee primero la
[simulación de ondas FDTD 2D](/phonometry/es/simulation/fdtd-simulation/) si
todo ello te resulta nuevo. Las formas cerradas que este esquema
contrasta viven en las guías de edificación, de vibración y de acústica
submarina: la ley de masas de la
[predicción del aislamiento de
paneles](/phonometry/es/buildings/design/panel-sound-insulation/),
las ondas de flexión de la
[transmisión de onda de flexión en uniones de
placas](/phonometry/es/vibration/structural/junction-transmission/),
y el lecho marino con cizalla que el modelo de reflexión de fondo fluido de
la [propagación submarina del sonido](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/)
no puede representar.

## 1. El esquema velocidad-esfuerzo P-SV

Un sólido transporta más de una onda. Junto a la **onda P** de compresión
a $c_\mathrm{P} = \sqrt{(\lambda + 2\mu)/\rho}$ se propaga una **onda S** de
cizalla a $c_\mathrm{S} = \sqrt{\mu/\rho}$, y toda superficie libre de tracción
guía una **onda de Rayleigh** justo por debajo de $c_\mathrm{S}$.
`elastic_fdtd_simulation` integra el sistema velocidad-esfuerzo 2D en
deformación plana de Virieux (1986, Ec. 2),

$$
\rho\,\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}
  = \nabla\!\cdot\!\boldsymbol{\tau},
\qquad
\frac{\partial \boldsymbol{\tau}}{\partial t}
  = \lambda\,(\nabla\!\cdot\!\mathbf{v})\,\mathbf{I}
  + \mu\left(\nabla\mathbf{v} + \nabla\mathbf{v}^{\mathsf T}\right),
$$

sobre la misma disposición escalonada que el esquema acústico: los
esfuerzos normales ``txx``/``tyy`` comparten los centros de celda donde
vive la presión acústica, las velocidades ocupan las caras y el esfuerzo
de cizalla ``txy`` las esquinas (la celda totalmente escalonada de
Virieux, desplazada media celda). La API replica `fdtd_simulation` pieza a
pieza: mapas de velocidades `c_p` y `c_s` (más `rho`) en lugar de `c`,
`ExplosionSource` (una inyección isótropa de esfuerzo) y `ForceSource`
(una fuerza de cuerpo direccional) como fuentes, sondas que registran
``p``, ``vx`` o ``vy``, la misma maquinaria de esponjas y obstáculos, y un
`ElasticFDTDResult` congelado con el mismo `.plot()`. Lo que la ejecución
anota viaja en un `ElasticRecording` (las celdas de sonda y sus campos, la
cadencia de instantáneas y su campo) y cómo terminan los bordes del dominio
en un `ElasticBoundaries` (los lados y el grosor de la esponja).

Dos números gobiernan cada ejecución, y leen extremos opuestos de los mapas
de material. **Estabilidad**: el paso temporal sigue a la onda *más rápida*
del dominio, $c_\mathrm{P}^{\max}$, exactamente igual que en el esquema acústico
(Virieux, Ecs. 6-7). **Resolución**: el tamaño de celda sigue a la *más
lenta*, $\Delta x \le c_\text{min}/(10 f)$, donde $c_\text{min}$ es la
velocidad de cizalla no nula más lenta de entre las celdas sólidas, o una
velocidad $P$ de fluido si alguna región fluida es todavía más lenta. En un
mapa completamente sólido la longitud de onda de cizalla es siempre la más
corta; en un mapa mixto no tiene por qué serlo, como con agua a 1480 m/s
sobre un sedimento cuya velocidad de cizalla es de 2000 m/s.

Esos dos extremos son lo que cuesta un dominio de contraste alto. Δx lo fija
el medio más lento y Δt el más rápido, así que el número de pasos que hacen
falta para cubrir un tiempo físico dado crece con la *razón* entre las dos
velocidades: un dominio de agua sobre acero resuelto para la longitud de
onda del agua sigue teniendo que avanzar a los 5900 m/s del acero,
aproximadamente cuatro veces más pasos que ese mismo dominio lleno solo de
agua. Las regiones lentas trabajan entonces a un número de Courant local
mucho menor, donde el error de dispersión del esquema está más cerca de su
cota en el peor caso, así que su resolución efectiva es peor de lo que
sugiere el recuento de celdas: por eso la regla de las diez celdas es un
suelo y no un objetivo en los problemas de contraste alto. Cuando solo uno
de los medios lleva la física de interés, sustituir el otro por una
condición de contorno (un borde de impedancia o una esponja) suele salir
mucho más barato que mallar los dos.

```python

from phonometry import simulation

# Un bloque de aluminio golpeado por una pequeña explosión: el frente P
# alcanza dos sondas a 100 y 220 celdas; c_P sale del retardo diferencial.
w = 8e-6
res = simulation.elastic_fdtd_simulation(
    6320.0, 3130.0, 0.002, 1.1e-4, rho=2700.0, shape=(501, 501),
    sources=[simulation.ExplosionSource(
        ix=250, iy=250,
        waveform=simulation.GaussianPulse(0, 0, width=w).value)],
    recording=simulation.ElasticRecording(
        probes=[(350, 250), (470, 250)], probe_fields=("p",)),
)
t = res.times[1:]
t1, t2 = (t[np.abs(res.signals[k, 0, 1:]).argmax()] for k in range(2))
print(round(0.24 / (t2 - t1)))    # 6316  c_P = sqrt((lambda+2mu)/rho) = 6320
```

## 2. Fluidos dentro del esquema elástico

Poner ``c_s = 0`` marca una celda de **fluido**: el módulo de cizalla se
anula, el sistema degenera en las ecuaciones acústicas y, con un mapa
uniforme de ``c_s = 0``, el esquema elástico reproduce el acústico
**bit a bit** (la batería de regresión comprueba la igualdad exacta). Esa
equivalencia es una garantía de corrección, no una recomendación: este
esquema lleva tres campos de esfuerzo donde el acústico lleva una sola
presión, así que aquí un problema enteramente fluido cuesta aproximadamente
el doble de memoria y de tiempo de avance. Usa el esquema acústico salvo que
alguna parte del dominio soporte cizalla.

Una
columna de agua sobre un semiespacio de acero son, por tanto, solo dos
bandas de los mapas de material: con la densidad promediada
aritméticamente a las caras y el módulo de cizalla armónicamente a las
esquinas (Moczo et al. 2007, Ecs. 7.37-7.39), la continuidad de tracción
de toda interfase interna, contactos fluido-sólido incluidos, emerge de los
mapas sin más. La batería de validación mide la reflexión a incidencia
normal de una interfase agua-acero con un error inferior al 2 %
(típicamente una fracción de punto porcentual) respecto a
$(Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ y recupera la ley de masas a incidencia normal de
una placa de acero de 3 mm sumergida con un error inferior a 0,3 dB
respecto a `mass_law_transmission_loss`.

**Dónde está realmente el contacto, y cómo comprobarlo.** Una región pintada
desde la fila $i$ hacia abajo sitúa la interfase física en el plano de
*caras* $y = i\,\Delta x$, porque es ahí donde la densidad se promedia a las
caras y el módulo de cizalla a las esquinas. Las distancias que se citen
«desde el contacto» hay que medirlas desde ese plano, y una sonda tiene que
quedar varias celdas apartada de él para que nunca muestree las celdas
promediadas. Comprueba un mapa pintado antes de ejecutarlo, con
`plt.imshow(sim.c_s)` y los bordes de las regiones dibujados encima, o
simplemente verificando el índice de fila de la primera fila sólida, porque un
error de una fila desplaza todas las llegadas en $\Delta x / c$ y cuesta una
ejecución entera. No hay contrapartida elástica de `FDTD2D.plot_geometry`,
así que esta comprobación corre por cuenta del lector. Merece la pena
conocer de antemano un fallo más: toda celda debe cumplir
$c_\mathrm{P}^2 \ge 2 c_\mathrm{S}^2$, cosa que el constructor impone, y ese rechazo es lo
primero que hay que mirar cuando un mapa de sedimento o de material
compuesto no se deja construir.

## 3. Superficies libres y ondas de Rayleigh

**Todos los lados son rígidos mientras no se declare otra cosa, y aquí
rígido significa empotrado.** El contorno mantiene la velocidad de partícula
a cero, así que refleja con la polaridad *opuesta* a la de una superficie
libre y no soporta onda de superficie alguna. Ese es el modelo correcto para
un cuerpo que continúa en algo mucho más rígido, y el equivocado para un
cuerpo en aire o en vacío, que es lo que son la mayoría de los problemas
estructurales. Una placa, un bloque o una viga que se pretendan libres
tienen que llevar, por tanto, **todos** sus lados expuestos declarados
libres, y el síntoma de olvidarlo es silencioso: los frentes de onda siguen
pareciendo verosímiles, pero el tren de Rayleigh que la figura de abajo hace
evidente sencillamente no está, las reflexiones vuelven invertidas y no
encaja ninguna forma cerrada de placa libre. La tercera opción es
`"absorbing"`, que termina un semiespacio para que el borde del dominio no
se vea en absoluto; las tres se eligen por lado, que es exactamente cómo
funciona el ejemplo del semiespacio: libre arriba y absorbente en los otros
tres. Como no hay contrapartida elástica de `FDTD2D.plot_geometry`, vuelve a
leer la especificación de contornos del objeto `ElasticBoundaries` antes de
comprometerte con una ejecución larga.

Un lado declarado ``"free"`` se convierte en superficie libre de tracción
mediante la **imagen de esfuerzos** (Moczo et al., Ec. 9.9): el esfuerzo
normal se fija a cero en el plano de la superficie y el esfuerzo de
cizalla por encima es su imagen antisimétrica. Esa única condición de
contorno es la que hace a las superficies portadoras de ondas: golpea
verticalmente la superficie libre de un bloque de aluminio (el problema de
Lamb) y, además de los frentes de cuerpo P y S, una **onda de Rayleigh**
rueda por la superficie a $c_\mathrm{R} \approx 0{,}93\,c_\mathrm{S}$, la raíz de la ecuación
característica exacta de Rayleigh (Cremer, Heckl y Petersson, Ec. 3.149).
Los tests fijan la velocidad de Rayleigh medida a esa raíz dentro del 2 %
y la onda de flexión de una tira delgada libre-libre a la dispersión de
placa de Kirchhoff $c_\mathrm{B} \propto \sqrt{\omega}$ en su dominio de placa
delgada. Las superficies libres siguen la regla de muestreo de Rayleigh:
reserva 15-20 celdas por longitud de onda ahí, pues la superficie de
imagen de segundo orden es la parte más dispersiva del esquema.

*Una instantánea, tres velocidades: el frente P ha recorrido el doble de
distancia que el frente S (arcos punteados en los radios exactos $c_\mathrm{P} t$ y
$c_\mathrm{S} t$), y el movimiento más intenso viaja a lo largo de la superficie
libre como la onda de Rayleigh, un pelo más lenta que S.*

**La esponja es la herramienta equivocada allí donde vive la física de esta
página.** Aquí no hay una capa elástica perfectamente adaptada, y la esponja
absorbe una onda de Rayleigh o de Scholte rasante mucho peor que una onda de
cuerpo, precisamente porque una onda guiada por la superficie corre *a lo
largo* de la capa en vez de meterse en ella. Tres consecuencias sobre las
que conviene actuar. Un lado no puede ser libre y absorbente a la vez, así
que donde una superficie libre se encuentra con una esponja en una esquina
los esfuerzos imagen y la rampa de absorción trabajan uno contra otro:
mantén la fuente al menos a una longitud de onda de esa esquina y termina la
ejecución antes de que la onda de superficie llegue a ella. Una onda de
interfase o de superficie necesita una capa más gruesa que una onda de
cuerpo: empieza por aproximadamente el doble del ancho que usarías para P y
S, y verifícalo alargando la ejecución y vigilando si vuelve algo. Y cuando
solo importan las primeras llegadas, unos lados rígidos sin más con una
ejecución más corta que el primer eco de pared salen más limpios que
cualquier esponja: es exactamente lo que hace la instantánea de arriba, a
73 µs sobre un bloque de 0,6 m cuyo retorno P de la pared lateral más
cercana llega a 95 µs y cuya onda de Rayleigh alcanza la esquina a 103 µs.

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

from phonometry import simulation

# Un bloque de aluminio de 0,6 x 0,3 m, golpeado en su superficie libre.
dx, w = 0.001, 8e-6
dt = 0.6 * dx / (6320.0 * np.sqrt(2.0))
steps = round(7.3e-5 / dt)
res = simulation.elastic_fdtd_simulation(
    6320.0, 3130.0, dx, 7.3e-5, rho=2700.0, shape=(300, 600),
    sources=[simulation.ForceSource(
        ix=300, iy=0, direction="y", amplitude=1e6,
        waveform=simulation.GaussianPulse(0, 0, width=w).value)],
    boundaries=simulation.ElasticBoundaries({"top": "free"}),
    recording=simulation.ElasticRecording(snapshot_every=steps,
                                          snapshot_field="vy"),
)
res.plot(kind="snapshot", language="es")
plt.show()
```

</details>

La instantánea se detiene a 73 µs porque unos lados rígidos y una ejecución
corta eran la manera más barata de conseguir un fotograma limpio, y un
fotograma basta para las dos velocidades de cuerpo: los arcos punteados están
dibujados en los radios exactos $c_\mathrm{P} t$ y $c_\mathrm{S} t$, así que son una medición y
no una etiqueta. Lo que un solo fotograma no puede zanjar es la **tercera**
onda. Para ella no se dibuja nada analítico, su velocidad se separa un 7 % de
la del frente de cizalla, y su propiedad definitoria, que se queda en la
superficie mientras los frentes de cuerpo se marchan, es una afirmación sobre
lo que pasa después.

Así que ejecuta el mismo golpe durante 163 µs, con esponjas en los otros tres
lados y el dominio ensanchado hasta que la esquina donde una esponja se
encuentra con la superficie libre quede fuera del encuadre, y ejecútalo dos
veces: una con el lado superior declarado `"free"` y otra dejándolo en el valor
por defecto del esquema, la pared rígida empotrada. El mismo aluminio, el mismo
golpe, los mismos dos frentes de cuerpo, y ningún tren de superficie en la
segunda. Eso es lo que afirma esta sección, dibujado: la onda de Rayleigh la
hace la condición de contorno, no el material.

Fíjate en lo que hacen los frentes al final. Los dos arcos de cuerpo se salen
del encuadre y siguen su camino; los lóbulos de superficie no van a ninguna
parte salvo a lo largo de la superficie, a su propia velocidad más lenta, y
siguen ahí cuando las ondas de cuerpo ya se han marchado. El recuadro traza dos
sondas de superficie separadas 0,15 m, y el retardo entre sus picos es la
medición: el $c_\mathrm{R}$ simulado frente a 2921 m/s, la raíz de la ecuación
característica exacta de Rayleigh citada arriba, que los tests fijan dentro
del 2 %.

Los dos paneles de campo están dibujados con **escalas de color propias**, y el
clip así lo indica, porque una fuerza vertical aplicada *sobre* una superficie
empotrada casi se cancela contra su propia imagen y esa ejecución radia mucho
menos que la libre. Las trazas de sonda de debajo conservan una única escala
compartida, que es donde la comparación sigue siendo cuantitativa: la llegada
de superficie que falta es un pico que falta, no un pico reescalado.

La otra onda que una superficie libre hace posible, la onda de **flexión** de
una tira delgada libre-libre, la que arriba queda fijada a la dispersión de
Kirchhoff, también merece verse en movimiento. El clip de abajo es este mismo
esquema lanzando un paquete de flexión de 4 kHz por una placa de acero de
10 mm: en el panel de control la placa sigue recta y el paquete simplemente se
marcha, y en el panel de la unión una placa perpendicular del mismo espesor
convierte la esquina en un dispersor. Allí el paquete se parte en las ondas de
flexión reflejada y transmitida que la forma cerrada tasa en
$\tau_{12}(0°) = 0{,}5$, más el rápido precursor de onda en el plano que corre
por delante por la placa receptora: la conversión de modo que el modelo de unión
articulada deja fuera a propósito, y la razón por la que esta página necesita un
modelo elástico y no uno de flexión. La
[guía de transmisión de onda de
flexión](/phonometry/es/vibration/structural/junction-transmission/)
desmonta esa misma ejecución frente al índice de reducción vibratoria de
EN 12354.

## 4. Acoplamiento fluido-sólido a incidencia normal

Como el fluido es simplemente el límite ``c_s = 0`` del esquema elástico, un
contacto agua-acero es **una sola simulación con dos bandas en los mapas de
material**, y toda la física del acoplamiento fluido-sólido emerge de la misma
actualización. Las constantes `Material` y `ElasticFDTD2D.from_regions`
construyen esos mapas por capas sin manipular los arrays a mano: un material de
fondo y una lista de regiones pintadas.

Un `Material` son tres números medibles (la velocidad de compresión, la
velocidad de cizalla y la densidad), y una velocidad de cizalla nula marca
un fluido. Se distribuyen cinco constantes, y de ellas sale cualquier otro
número de esta página:

| Constante | $c_\mathrm{P}$ [m/s] | $c_\mathrm{S}$ [m/s] | $\rho$ [kg/m³] |
|---|---|---|---|
| `AIR` | 343 | 0 | 1,2 |
| `WATER` | 1480 | 0 | 1000 |
| `CONCRETE` | 3800 | 2250 | 2400 |
| `STEEL` | 5900 | 3200 | 7850 |
| `ALUMINIUM` | 6320 | 3130 | 2700 |

Son cifras redondas nominales, para documentación y validación, no datos
certificados, así que una probeta real hay que introducirla a mano: por eso
la sección 1 escribe los 6320 / 3130 / 2700 del bloque de aluminio en vez de
importar `ALUMINIUM`. El constructor impone una sola cota,
$c_\mathrm{P}^2 \ge 2\,c_\mathrm{S}^2$, que es la afirmación de que el primer parámetro de
Lamé no es negativo o, equivalentemente, de que el coeficiente de Poisson no
es negativo. Un trío rechazado suele significar una velocidad de cizalla
introducida demasiado alta, o una velocidad de compresión medida sobre una
barra delgada en vez de en el seno del material: la de barra delgada es la
menor de las dos, y sustituir una por otra es un error frecuente.

```python

from phonometry.simulation import ElasticFDTD2D, STEEL, WATER

# Una columna de agua de 12 m sobre un semiespacio de acero, como tira 1D.
dx = 0.005
sim = ElasticFDTD2D.from_regions(
    (2400, 3), dx, background=WATER, regions=[(np.s_[1200:, :], STEEL)])
y = (np.arange(2400) + 0.5) * dx
p0 = np.exp(-(((y - 3.0) / 0.15) ** 2))[:, None]     # pulso plano
sim.txx[:] = -p0
sim.tyy[:] = -p0
y_face = np.arange(1, 2400) * dx + 0.5 * WATER.c_p * sim.dt
sim.vy += (np.exp(-(((y_face - 3.0) / 0.15) ** 2))
           / (WATER.rho * WATER.c_p))[:, None]       # unidireccional, consistente con el leapfrog
trace = []
for _ in range(round(3.4e-3 / sim.dt)):
    sim.step()
    trace.append(sim.p[900, 1])
trace = np.asarray(trace)
t = (np.arange(trace.size) + 1) * sim.dt
incident = trace[t < 1.8e-3].max()
echo = trace[t > 2.6e-3]
print(round(float(echo[np.abs(echo).argmax()] / incident), 3))   # 0.938
# (Z2 - Z1)/(Z2 + Z1) = 0.938: a incidencia normal no se excita cizalla
# y el acero se comporta como un líquido de su rho y c_P (B&G Ec. 4.2.27)
```

Ese 0,938 es una razón entre dos eventos de una misma traza, y la traza es
donde se ve si la ejecución fue lo bastante limpia como para citarlo.
`ElasticFDTDResult.plot()` dibuja exactamente esto por defecto: historias de
sonda, no mapas de campo; las instantáneas de las secciones 3 y 6 son
`.plot(kind="snapshot")`.

*Toda la medición en un solo eje. La sonda está 7,5 m por debajo de la
fuente y 7,5 m por encima del contacto, así que el pulso incidente pasa por
ella a 1,02 ms y la reflexión vuelve a 3,04 ms: dos instantes fijados por la
geometría y por los 1480 m/s del agua, y los dos merecen comprobarse antes
de leer las amplitudes. Los dos eventos conservan la misma polaridad, que es
lo que hace una reflexión en un medio *más duro*, y su razón es 0,938 frente
al valor exacto $(Z_2-Z_1)/(Z_2+Z_1) = 0{,}938$. El tramo plano entre ambos
es la prueba de que no está contribuyendo nada más del dominio.*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

# La ejecución de arriba, releída: `res.plot()` sobre un resultado congelado
# dibuja esto directamente. Aquí la traza se acumuló a mano, así que se
# dibuja a mano.
plt.plot(t * 1e3, trace)
plt.axvline((4.5025 - 3.0) / WATER.c_p * 1e3, ls=":")   # incidente, 1,02 ms
plt.axvline((3.0 + 1.4975) / WATER.c_p * 1e3, ls=":")   # eco, 3,04 ms
plt.xlabel("Tiempo [ms]")
plt.ylabel("Presión [Pa]")
plt.show()
```

</details>

## 5. Incidencia oblicua: conversión de modo

Fuera de la incidencia normal el sólido deja de ser un líquido. El sonido
incidente se refracta en **dos** ondas transmitidas, P y SV (**conversión
de modo**), y la refracción obedece la ley de Snell por separado para cada
una de ellas, así que cada una tiene su propio ángulo crítico:
$\arcsin(c_1/c_{\mathrm{P}2})$ para la onda de compresión y $\arcsin(c_1/c_{\mathrm{S}2})$
para la de cizalla. Ambos salen solo de las velocidades de onda (la densidad
entra únicamente en las amplitudes), así que son dos líneas de aritmética
sobre las constantes de material de la sección 4.

```python

# Los dos ángulos críticos salen solo de las velocidades. Sustituye tu
# propio par de Material y esas mismas dos líneas te lo responden.
print(round(float(np.degrees(np.arcsin(WATER.c_p / STEEL.c_p))), 1))   # 14.5
print(round(float(np.degrees(np.arcsin(WATER.c_p / STEEL.c_s))), 1))   # 27.5
```

El dibujo de abajo reúne las tres disposiciones que describen esta sección y
las dos siguientes, sobre una misma línea de interfase y a tres incidencias,
junto con aquello que un error de una fila estropea: dónde está físicamente
el contacto sobre la malla escalonada.

Esos dos ángulos parten el rango en cuatro regímenes. La columna titulada
*fluido equivalente* es esa misma interfase modelada como un fondo sin
cizalla del mismo $c_\mathrm{P}$ y $\rho$, el modelo que lleva el módulo submarino, y
la diferencia entre las dos columnas es toda la razón de ser de este
esquema.

| Incidencia | Ondas transmitidas | \|V\| elástico | \|V\| fluido equivalente | Qué significa |
|---|---|---|---|---|
| 0° | solo P | 0,938 | 0,938 | no se excita cizalla, así que el acero es exactamente un líquido de su $\rho$ y su $c_\mathrm{P}$ |
| de 0° a 14,5° | P y SV | 0,938, que baja a 0,937 en 9° y luego sube hasta el ángulo crítico | 0,938, que sube hasta 1 | la cizalla ya se lleva su parte de la potencia transmitida, y el modelo fluido ya devuelve de más |
| de 14,5° a 27,5° | solo SV, P evanescente | baja hasta 0,905 en 16,4°; 0,918 en 20° | 1 (reflexión total) | el modelo fluido sobrestima la energía devuelta en toda la fuga por cizalla |
| más allá de 27,5° | ninguna se propaga | 1, con una fase | 1, con una fase *distinta* | reflexión total en ambos casos; la diferencia de fase es aquello a lo que se engancha una onda de Scholte |

Lee dos veces la tercera fila: entre los ángulos críticos un fluido
equivalente lo refleja todo, mientras que la interfase real deja escapar
cerca de una décima parte de la amplitud en forma de onda de cizalla
(|V| baja hasta 0,905 en 16,4°). La batería de validación lanza haces
oblicuos con portadora a 10° y 20° y reproduce el coeficiente de reflexión
exacto de Brekhovskikh y Godin (Ecs. 4.2.22-4.2.26) dentro de una fracción
de punto porcentual, conversión de modo incluida, así que la columna
elástica de arriba está medida y no solo calculada.

**Cómo se hace esa medición**, porque es una técnica que merece la pena
robar. Un haz inclinado con portadora gaussiana se escribe como condición
inicial sobre `txx` y `tyy`, con la velocidad de partícula medio paso
temporal atrás, consistente con el leapfrog, repartida entre `vx` y `vy` por
$\sin\theta$ y $\cos\theta$: el mismo truco unidireccional que la sección 4
usa a incidencia normal, girado. La escena se ejecuta después **dos veces**,
una con el sólido pintado y otra con el fluido continuado de largo a través
de él, y la ejecución de referencia se fuerza al mismo paso temporal
escalando su número de Courant por $c_\text{agua}/c_\text{acero}$, de modo
que las dos trazas se restan muestra a muestra. La diferencia es el campo
reflejado a solas, artefactos de pared lateral incluidos: el análogo
elástico de la técnica de sustracción de ISO 13472-1. La sonda está
justo encima del punto donde el eje del haz corta la interfase, 0,12 m por
encima, de manera que los centros de los haces incidente y reflejado la
cruzan con desplazamientos transversales simétricos y la envolvente se
cancela en la razón; $|V|$ es entonces la razón espectral ponderada por
amplitud sobre la banda de la portadora, no una lectura de pico a pico.

El dibujo de arriba es un diagrama de **rayos**: dice adónde va cada onda. Lo
que un rayo no puede decir es qué aspecto tiene una «P evanescente», y en eso
consiste entera la tercera fila de la tabla. El clip de abajo ejecuta la escena
tres veces, con una incidencia de cada uno de los tres primeros regímenes (10°,
por debajo de ambos ángulos críticos; 20°, entre ellos; 35°, pasado el de
cizalla), sobre el mismo semiespacio de `WATER` y `STEEL`, lanzando contra el
contacto un haz sostenido con gradiente de fase. Léelo como un **retrato de los
regímenes**, no como una segunda medición: cada panel lleva anotado el $|V|$ en
forma cerrada de la tabla de arriba, porque el haz que cabe en un panel de
90 mm mide seis longitudes de onda de ancho, y con ese ancho la sonda queda en
el campo próximo de la fuente en lugar de en un haz ya formado. Ensancharlo
hasta que la lectura fuese de fiar exigiría un panel cuatro veces más ancho, en
el que las franjas de interferencia serían demasiado finas para verse. La
columna medida de la tabla sale, en cambio, de la batería de validación, que sí
tiene sitio para hacerlo como es debido.

A 10° salen del contacto dos haces por las direcciones de Snell dibujadas a
trazos, y salen con ángulos distintos porque viajan a velocidades distintas: la
onda de cizalla, más lenta, se hunde a 22,1° de la normal, y la de compresión,
más rápida, se abre mucho más, hasta 43,8°. A 20° el haz P no es un haz más
rasante: *ha desaparecido*. Lo que ocupa su lugar es una piel pegada al contacto
que muere en menos de una longitud de onda y no lleva nada hacia abajo, mientras
el haz de cizalla se lleva él solo lo que cruza; y esa fuga por cizalla es la
razón de que la reflexión se quede en 0,918 en lugar del 1,000 que devolvería
un fluido equivalente. A 35° los dos son evanescentes y nada se propaga
*alejándose* por el acero: lo que llena el sólido ahí es una onda inhomogénea
que corre **a lo largo** del contacto y muere con la profundidad, brillante y
sin ir a ninguna parte. Encima del contacto, mientras tanto, el haz incidente y
una reflexión total en amplitud pero desplazada en fase se resuelven en un
patrón estacionario. De esa fase construye la sección siguiente una onda de
Scholte.

Cada panel dibuja su mitad de acero con **su propia** ganancia de
representación, anotada, y la razón merece conocerse: el agua excita el acero
a través de un salto de impedancia de treinta veces, así que el campo
transmitido lleva una velocidad de partícula pequeña incluso allí donde lleva
potencia real, y los tres paneles se diferencian entre sí de un modo que
ninguna ganancia única abarca. A 10° la energía transmitida se marcha en dos
haces, así que la amplitud es pequeña en cualquier punto; a 35° no se marcha
nada y el campo evanescente se amontona contra el contacto, brillante y sin ir
a ninguna parte. El brillo en el acero, por tanto, no es potencia. Para eso,
lee el $|V|$ impreso y el factor de ganancia de cada panel.

Esta es exactamente la física de cizalla que el `reflection_coefficient` de
fondo fluido del
[módulo submarino](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/) no puede
representar, y la razón por la que un lecho marino con cizalla pierde más
energía que su modelo de fluido equivalente.

## 6. La onda de interfase de Scholte

La reflexión total más allá del ángulo crítico S deja ambos medios con
campos solo evanescentes, y esos campos pueden acoplarse en una verdadera
onda de interfase: la **onda de Scholte**, el análogo fluido-sólido de la
onda de Rayleigh. Viaja más despacio que la velocidad del sonido en el
fluido y que la de cizalla del sólido, no tiene corte en baja frecuencia y
no es dispersiva sobre semiespacios homogéneos; `scholte_speed` resuelve
su ecuación característica exacta (B&G Ec. 4.4.20).

```python
from phonometry.simulation import Material, STEEL, WATER, scholte_speed

print(round(scholte_speed(WATER, STEEL), 1))       # 1479.6, un 0,03 % por debajo de la del agua
seabed = Material(c_p=3500.0, c_s=2000.0, rho=2500.0)
print(round(scholte_speed(Material(1500.0, 0.0, 1000.0), seabed), 1))  # 1436.0
```

Los dos casos usan aguas distintas a propósito. `WATER` es la constante de
la biblioteca, a 1480 m/s, mientras que el caso del sedimento sigue el
benchmark de van Vossen, cuyo fluido va a 1500 m/s: así que los dos déficits
de abajo, el 0,03 % y el 4 %, están medidos cada uno contra su propia agua,
y 1436 m/s no debe compararse nunca con 1480 m/s.

Esos dos números cuentan toda la historia. Sobre un lecho **rígido**
(acero) la onda de Scholte se pega a la velocidad del agua (1480 m/s)
hasta un 0,03 % y su cola evanescente alcanza ~7 longitudes de onda dentro
del agua: es en esencia una onda de agua rasante y no puede separarse por
tiempo de vuelo en ningún dominio razonable (sobre contactos aire-sólido
el déficit se desploma a ~$10^{-12}$ de $c$ y la onda es directamente
inobservable). Sobre un sedimento **blando** la velocidad cae muy por
debajo de la del agua y la onda queda confinada a menos de media longitud
de onda del contacto, y por eso las ondas de interfase medidas en el lecho
marino son una herramienta estándar para sondear la velocidad de cizalla
del sedimento. La instantánea de abajo ejecuta ese caso blando: una
explosión justo sobre el fondo, y el rasgo tardío más intenso es el tren de
Scholte pegado a la interfase, cronometrado por la batería de tests a
1436 m/s dentro del 2 % entre dos sondas en el contacto.

*Los medios del benchmark de van Vossen (agua sobre un sedimento
3500/2000/2500): el tren de Scholte repta por el contacto a 1436 m/s,
evanescente hacia ambos medios, mientras la onda directa del agua corre por
delante a 1500 m/s.*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

from phonometry import simulation

# Agua sobre un lecho blando; Ricker explosivo de 50 Hz a 10 m del contacto.
ny, nx, dx = 200, 500, 1.0
c_p = np.full((ny, nx), 1500.0)
c_s = np.zeros((ny, nx))
rho = np.full((ny, nx), 1000.0)
c_p[100:], c_s[100:], rho[100:] = 3500.0, 2000.0, 2500.0
f0, t0 = 50.0, 0.030
dt = 0.6 * dx / (3500.0 * np.sqrt(2.0))
steps = round(0.232 / dt)

def ricker(t):
    a = (np.pi * f0 * (t - t0)) ** 2
    return (1.0 - 2.0 * a) * np.exp(-a)

res = simulation.elastic_fdtd_simulation(
    c_p, c_s, dx, 0.232, rho=rho,
    sources=[simulation.ExplosionSource(ix=60, iy=89, waveform=ricker,
                                        amplitude=1e3)],
    boundaries=simulation.ElasticBoundaries("absorbing",
                                            absorbing_layer_cells=20),
    recording=simulation.ElasticRecording(snapshot_every=steps,
                                          snapshot_field="vy"),
)
res.plot(kind="snapshot", language="es")
plt.show()
```

</details>

## 7. Placas sumergidas y la ley de masas

Una **placa sumergida** cierra el lazo con el módulo de acústica de la
edificación. A incidencia normal no se excita cizalla, así que una placa
elástica en agua es exactamente la capa fluida de tres medios de B&G §2.4:
su transmisión sigue la forma cerrada de la Ec. 2.4.14, que se reduce a la
conocida ley de masas para placas delgadas y bajas frecuencias y predice
**transmisión total** en las resonancias de espesor de media onda
$f_n = n c_\mathrm{P} / (2 h)$ (Ec. 2.4.19). Para una placa de acero de 10 mm esa
primera resonancia cae en 295 kHz, y una sola ejecución FDTD de banda ancha
reproduce toda la curva: 5,8 dB a 10 kHz (donde
`mass_law_transmission_loss` con agua como fluido ambiente coincide con la
forma exacta hasta 0,02 dB), 18,1 dB a 50 kHz, y un mínimo de pérdida de
transmisión dentro del 0,1 % de la resonancia de 295 kHz. La misma batería
lleva al límite el contraste extremo de un contacto aire-acero (razón de
impedancias ~$10^5$:1): estable durante 10 000 pasos con la amplitud
reflejada conservada al 0,5 %.

**La medición que hay detrás de esos tres números.** La escena es una tira
de tres celdas de ancho y 0,75 m de alto con $\Delta x = 0,5$ mm (un
problema unidimensional ejecutado en un esquema bidimensional) llena de
`WATER`, con una región de `STEEL` de 10 mm pintada a 0,35 m mediante
`from_regions`. Un pulso plano gaussiano de 1,5 mm de anchura se escribe
unidireccional igual que en la sección 4, centrado en 0,25 m; esa anchura es
la que lleva energía aprovechable hasta unos 340 kHz, que es lo que mete la
resonancia de 295 kHz dentro de la banda medida. Una sonda está 30 mm por
encima de la placa y otra 50 mm por debajo de su cara inferior, y la
ejecución dura 0,45 ms.

La medición en sí es una ventana temporal, y la geometría te la regala. La
sonda superior ve el pulso incidente hacia los 47 µs (0,07 m de agua a
1480 m/s) y su reflexión en la placa hacia los 88 µs (0,13 m); las dos
llegadas duran unos 10 µs, así que una puerta de 65 µs aísla la incidente
*exactamente*, no aproximadamente. La sonda inferior se mantiene libre de
ecos durante todo el registro, así que no necesita puerta alguna. Después,
$\mathrm{TL}(f) = 20\log_{10}|I(f)/T(f)|$ a partir de los dos espectros de
magnitud. Dos comprobaciones que el lector puede hacer sobre su propia
placa: el valor a 10 kHz frente a `mass_law_transmission_loss` con agua como
fluido ambiente, y el mínimo frente a $f_n = n\,c_\mathrm{P}/(2h)$. Esa misma lógica
de ventana temporal es la que aplica una medición in situ de ISO 13472-1 con
una ventana de Adrienne, así que el truco se traslada tal cual a un banco
real.

**Para qué sirve en realidad esa cifra de 295 kHz.** Está tres décadas por
encima de la banda de la acústica de la edificación, así que un panel a
frecuencias de audio está *siempre* en el límite de placa delgada, donde la
transmisión de la capa se desploma sobre la ley de masas y la resonancia de
espesor puede ignorarse por completo: por eso justamente las formas cerradas
de la guía de aislamiento de paneles no la mencionan nunca. La resonancia se
gana el sueldo en su propia banda: la transmisión total en el espesor de
media onda es el principio en que se basan la medida ultrasónica de
espesores y la elección de las capas de acoplamiento de los transductores, y
por eso la validación lleva la placa a propósito hasta los centenares de
kilohercios. La frecuencia donde se encuentran los dos regímenes es una
divisoria válida para cualquier placa: $c_\mathrm{P}/(2h)$, que vale 295 kHz para
10 mm de acero y 59 kHz para 50 mm del mismo.

A incidencia oblicua la física de la placa se enriquece, y el clip de abajo es
este mismo esquema excitando la misma placa de acero de 10 mm, ahora tendida en
aire, con una onda plana sostenida que llega a 45°. Los dos paneles se
diferencian en **un solo número**: la frecuencia de excitación, $f_\mathrm{c}/2 = 603$ Hz
a la izquierda y $2 f_\mathrm{c} = 2413$ Hz a la derecha, a un lado y otro de la
frecuencia de coincidencia de 1206 Hz que la biblioteca calcula con los mismos
$m''$ y $B'$ usados más arriba. Todo lo demás (la placa, el ángulo, la malla y
la escala de color) se mantiene fijo. Por debajo de $f_\mathrm{c}$ la placa refleja casi
todo y el nivel transmitido cae sobre la ley de masas oblicua; por encima, la
longitud de onda de traza acústica coincide con la longitud de onda de flexión
libre, la placa rerradia un haz a 45° que crece a lo largo del tramo iluminado y
el nivel transmitido se mantiene en la cifra de baja frecuencia, justo donde la
ley de masas exigía 12 dB más de bloqueo. El aire bajo la placa se dibuja en los
dos paneles con la ganancia de representación que `_weak_field_gain` mide sobre
el campo asentado de las dos ejecuciones juntas (×150, es decir, +44 dB) y que
se imprime en el lienzo: lee las *anotaciones* para los niveles, no el brillo.
La
[guía de predicción del aislamiento de
paneles](/phonometry/es/buildings/design/panel-sound-insulation/)
desmonta esa misma ejecución frente al método de la meseta y a la ley de masas.

## Qué cubre esta guía

El compañero elástico P-SV del método FDTD acústico: el esquema
velocidad-esfuerzo de Virieux (1986) con los parámetros efectivos y la
superficie libre por imagen de esfuerzos de Moczo et al. (2007), expuesto a
través de `elastic_fdtd_simulation`/`ElasticFDTD2D` con `ExplosionSource` y
`ForceSource`, validado contra las velocidades de las ondas de cuerpo, la raíz
exacta de Rayleigh, la dispersión de flexión de Kirchhoff y el límite acústico
bit a bit. El acoplamiento fluido-sólido de las secciones 4-7, con las
constantes `Material`, `ElasticFDTD2D.from_regions` y `scholte_speed`: la
reflexión oblicua con conversión de modo contra Brekhovskikh y Godin (Ecs.
4.2.22-4.2.26) en ángulos subcríticos y entre críticos, la velocidad de la
onda de Scholte contra la ecuación característica exacta (Ec. 4.4.20) y por
tiempo de vuelo en el benchmark de fondo blando de van Vossen (2002), la
transmisión de la placa sumergida con su primera resonancia de espesor contra
la forma cerrada de tres medios (Ecs. 2.4.14-2.4.19), la ley de masas del
panel sumergido y la prueba de robustez con el contraste extremo aire-acero.

Todo lo que el esquema acústico 2D no puede hacer, este tampoco: el dominio es
una sección transversal (propagación cilíndrica $1/\sqrt{r}$, no $1/r$), así
que los niveles absolutos y las tasas de decaimiento no son los de un problema
3D. El sólido es isótropo y puramente elástico: sin anisotropía ni
amortiguamiento viscoelástico más allá de la tasa de decaimiento volumétrica,
así que los factores de pérdidas del material no se modelan. No hay una capa
elástica perfectamente adaptada: la esponja absorbe las ondas de Rayleigh
rasantes peor que las ondas de cuerpo. La dispersión de ondas guiadas más allá
del régimen de placa delgada de Kirchhoff (modos de Lamb completos) es
observable en los campos pero no tiene aquí oráculo dedicado en forma cerrada.

## Véase también

- [Simulación de ondas FDTD 2D](/phonometry/es/simulation/fdtd-simulation/): el
  esquema acústico que esta guía extiende, con la malla escalonada, la
  cota de Courant y la maquinaria de fuentes, sondas y contornos que ambos
  comparten.
- [Predicción del aislamiento de paneles](/phonometry/es/buildings/design/panel-sound-insulation/):
  las formas cerradas de la ley de masas y la coincidencia; la ejecución de
  la placa sumergida del §7 es su contraste de onda completa.
- [Transmisión de onda de flexión en uniones de placas](/phonometry/es/vibration/structural/junction-transmission/):
  las formas cerradas de ondas de flexión del modelo de edificación; la
  dispersión de Kirchhoff validada en el §3 es la onda que transportan.
- [Propagación submarina del sonido](/phonometry/es/underwater/underwater-propagation/):
  el modelo de reflexión de Rayleigh de fondo fluido cuya física de cizalla
  ausente cuantifica el §5.
- Referencia de la API: [`simulation.elastic-fdtd`](/phonometry/es/reference/api/simulation/elastic-fdtd/).

## Respuestas rápidas

### ¿Cuándo necesito el esquema elástico en lugar del acústico?

Siempre que alguna parte del dominio soporte cizalla: la conversión de modo
a incidencia oblicua, las ondas de Rayleigh en superficies libres, las
ondas de Scholte en contactos fluido-sólido y la transmisión de placas
necesitan las ecuaciones elásticas. Si todas las celdas son fluidas, usa el
esquema acústico: con un mapa uniforme de ``c_s = 0`` el elástico lo
reproduce bit a bit, a aproximadamente el doble de coste en memoria y en
avance temporal.

### ¿Qué resolución de malla necesita una simulación elástica?

Resuelve al menos 10 celdas por longitud de onda más corta con la
velocidad de onda más lenta del dominio, la de cizalla no nula más lenta o
una velocidad del sonido de fluido aún más lenta si la hay:
$\Delta x \le c_\text{min} / (10 f)$. Reserva 15-20 celdas por
longitud de onda a lo largo de superficies libres (el contorno de imagen de
esfuerzos es la parte más dispersiva del esquema), y al menos 15 puntos por
longitud de onda cuando haya que cronometrar una onda de interfase
(van Vossen et al. 2002).

### ¿Qué es una onda de Scholte y a qué velocidad viaja?

La onda de Scholte es la verdadera onda de interfase de un contacto
fluido-sólido: evanescente hacia ambos medios, con movimiento elíptico de
partícula, sin corte en baja frecuencia y no dispersiva sobre semiespacios
homogéneos. Su velocidad resuelve la ecuación característica exacta
(Brekhovskikh y Godin, Ec. 4.4.20, `scholte_speed`) y siempre queda por
debajo de la velocidad del sonido en el fluido y de la de cizalla del
sólido: un 0,03 % por debajo de la del agua (1480 m/s) sobre acero
(1479,6 m/s), pero
un 4 % por debajo de los 1500 m/s del agua oceánica del ejemplo de
sedimento (1436 m/s para esa agua sobre un lecho 3500/2000/2500), y por
eso las ondas de interfase del lecho marino sondean la rigidez a cizalla
del sedimento.