Source: https://jmrplens.github.io/phonometry/es/signals/spectra/time-frequency/
Un espectro estacionario esconde todo lo que ocurre *en el tiempo*: una
sirena que pasa, un impacto, una máquina arrancando. Esta página cubre los
dos estimadores tiempo-frecuencia de `phonometry.signals`, ambos con la
disciplina de calibración de la
[página de análisis espectral](/phonometry/es/signals/spectra/spectral-analysis/):
el **espectrograma calibrado** (la vista de transformada de Fourier de
tiempo corto de Bendat y Piersol, sección 12.6.4.2, en unidades absolutas:
dB SPL para una señal en pascales) y la **FFT con zoom** (sección 11.5.4),
que calcula el espectro de una banda estrecha en una malla arbitrariamente
fina para separar tonos más próximos que un bin práctico de FFT de banda
completa. Donde la [página de niveles](/phonometry/es/signals/levels/levels/)
ofrece el espectrograma en bandas de fracción de octava de un sonómetro,
esta es su equivalente de banda fina y ancho de banda constante.
Un solo número gobierna todo en esta página: la longitud del segmento, que
trocea el plano tiempo-frecuencia en celdas de área fija. El diagrama
muestra el mismo registro teselado por una ventana corta y una larga.
## 1. El espectrograma calibrado
`spectrogram` divide el registro en segmentos con ventana (Hann por
defecto) y solapados - exactamente la segmentación de
`power_spectral_density` - y conserva el periodograma unilateral de cada
segmento como una columna de la representación tiempo-frecuencia, en lugar
de promediarlos. Como la calibración es el escalado exacto del módulo de
Welch sin eliminación de tendencia, se cumplen tres identidades:
* una señal en pascales da Pa²/Hz (`'density'`) o Pa² (`'spectrum'`) por
celda, así que $10\log_{10}(\text{power}/p_0^2)$ con escalado `'spectrum'` lee
directamente el **nivel de presión acústica** de un tono en cualquier
columna que abarque;
* la **media de las columnas en el tiempo reproduce
`power_spectral_density`** bin a bin, con la misma ventana, solape y
escalado;
* con una ventana cuyo cuadrado suma una constante al solaparse (Hann al
75 % de solape), la potencia `'density'` integrada en el tiempo es
exactamente la **energía** del registro en el dominio temporal (Parseval
más la identidad COLA, una de las comprobaciones de conformidad).
```python
from phonometry import spectrogram
res = spectrogram(x, fs, nperseg=1024, overlap=0.75, scaling="spectrum")
print(res.power.shape) # (frecuencias, tiempos)
print(res.time_resolution) # T_B = nperseg/fs, en s
print(res.resolution_bandwidth) # Be del segmento con ventana, en Hz
res.plot(language="es") # imagen en dB en el plano tiempo-frecuencia
```
La longitud del segmento es toda la decisión de diseño:
$T_B = \text{nperseg}/f_\mathrm{s}$ de resolución temporal contra
$B_\mathrm{e} = \mathrm{ENBW}/T_B$ de resolución frecuencial, así que su producto
$T_B B_\mathrm{e}$ lo fija solo la ventana: 1 para una ventana rectangular y **1,5 para
la Hann por defecto que se usa aquí** (sección 12.6.4.2, y las figuras de
mérito de ventana de la
[página de análisis espectral](/phonometry/es/signals/spectra/spectral-analysis/#6-elegir-la-ventana)).
El diagrama de teselado de arriba dibuja el caso sin ventana, donde ese
producto vale exactamente uno. Partir por la mitad la longitud del segmento
compra el doble de resolución temporal y cuesta exactamente la mitad de
resolución frecuencial; nada compra las dos.
Los segmentos largos fijan las
frecuencias y emborronan los transitorios; los cortos, lo contrario. Y como
cada celda es una única estimación *sin promediar*, los datos aleatorios
llevan un error aleatorio normalizado de 1 por celda (ec. 8.158 con
$n_\mathrm{d} = 1$; Bendat y Piersol citan $\sqrt{2}/1{,}25 \approx 1{,}13$ para la
representación en
magnitud): el espectrograma es una herramienta para la estructura
determinista (tonos, barridos, transitorios), mientras que la
[estimación de Welch](/phonometry/es/signals/spectra/spectral-analysis/) promediada
es la herramienta de baja varianza para el fondo estacionario.
Ponle un número. Una única celda de periodograma de datos aleatorios es una
ji-cuadrado con dos grados de libertad, así que su nivel tiene una desviación
típica de unos **5,6 dB** y una dispersión al 90 % de unos **17 dB**: la textura
moteada del fondo de ruido de la figura de abajo, y la razón de que una sola
celda brillante no signifique absolutamente nada. De ahí sale la regla de
lectura: un rasgo es real cuando **persiste en columnas o bins vecinos**, porque
la fluctuación de celda a celda es independiente y la estructura no, de modo que
el ojo hace el promediado que el estimador se negó a hacer. Los dos remedios
cuestan algo: promediar columnas contiguas cambia resolución temporal por
varianza y converge hacia la estimación de Welch, y suavizar en frecuencia con el
núcleo de fracción de octava de la
[página de análisis espectral](/phonometry/es/signals/spectra/spectral-analysis/)
cambia resolución frecuencial por lo mismo. Y por eso mismo un fondo de
ruido se *cuantifica* con una PSD y solo se *representa* en un espectrograma.
### Elegir el segmento a partir del evento
El compromiso está fijado, así que la elección tiene que venir de aquello que se
mide.
**Para un transitorio**, mantén $T_B$ por debajo de la caída que quieres ver.
Los 12 ms de caída del impacto de la figura de abajo piden segmentos de unos
pocos milisegundos, unas 256 muestras a 48 kHz, y la resolución frecuencial sale
entonces en unos 190 Hz, la quieras o no.
**Para una componente cuya frecuencia se mueve** a un ritmo $r$ en Hz/s, el tono
se sale de su propio ancho de banda de resolución dentro de un mismo segmento
salvo que $B_\mathrm{e} \ge r\,T_B$. Con $B_\mathrm{e} = 1{,}5/T_B$ eso da un óptimo
$T_B = \sqrt{1{,}5/r}$. La sirena de abajo barre hasta unos 950 Hz/s, así que
segmentos de menos de **40 ms** mantienen la cresta afilada, y la elección de
1024 puntos a 16 kHz son 64 ms, ya pasado ese límite, que es por lo que la
cresta engorda en la parte más empinada del barrido. Una subida de régimen que
barre un orden de 500 Hz a 100 Hz/s pide segmentos de unos 0,12 s y nada más
largo.
Los dos requisitos entran en conflicto a menudo, como pasa en la
propia escena de la figura. La receta honesta: elige $T_B$ a partir de lo más
rápido que tenga que quedar nítido, contrasta el $B_\mathrm{e}$ resultante con las dos
componentes más próximas que tengan que quedar separadas y, cuando no se puedan
cumplir las dos cosas, dilo en el pie en lugar de partir la diferencia.
`res.time_resolution` y `res.resolution_bandwidth` informan del par realmente
entregado, así que la elección se puede declarar en un informe.
Una nota de adquisición, porque es el fallo que parece un resultado: captura los
transitorios con un predisparo de al menos un segmento, fija la ganancia de
antemano y verifica que ninguna muestra recorta; un impacto recortado dibuja una
franja de altura completa que parece exactamente un evento de banda ancha.
*Cómo leerla: la cresta de la sirena marca de verdad 70 dB SPL, porque un tono
mete toda su potencia dentro de un ancho de banda de resolución y la celda
`'spectrum'` es por tanto su valor cuadrático medio. El fondo rosa **no** marca
45 dB en ninguna parte. Esos 45 dB son su nivel de *banda ancha* repartido por
toda la banda, y cada celda solo lleva la parte que cae dentro de un $B_\mathrm{e}$: unos
25 dB por debajo aquí, para un segmento de 1024 puntos a 16 kHz. Para recuperar
un nivel a partir del ruido, convierte las celdas en densidad restando
$10\log_{10} B_\mathrm{e}$ e integra en la banda que interese, o usa `'density'` e integra
directamente. Y la celda de pico del impacto tampoco es el nivel del impacto: un
transitorio más corto que el segmento reparte su energía por toda la columna, así
que esa lectura depende de `nperseg`. La barra de color es una escala absoluta
para la estructura tonal y una escala dependiente del ancho de banda para todo lo
demás; cuando lo que se busca son niveles de banda absolutos a lo largo del
tiempo, la herramienta correcta es el espectrograma de bandas de
[Niveles](/phonometry/es/signals/levels/levels/).*
Ver el código de esta figura
```python
from phonometry import noise_signal, spectrogram
fs = 16000.0
t = np.arange(int(4.0 * fs)) / fs
p_ref = 2e-5
siren_rms = p_ref * 10.0 ** (70.0 / 20.0) # sirena a 70 dB SPL
x = siren_rms * np.sqrt(2.0) * np.cos(
2.0 * np.pi * 900.0 * t - 600.0 * np.cos(np.pi * t)
)
rng = np.random.default_rng(9)
n_imp = int(0.06 * fs) # impacto en t = 2,5 s
x[int(2.5 * fs):int(2.5 * fs) + n_imp] += 0.4 * (
rng.standard_normal(n_imp) * np.exp(-np.arange(n_imp) / (0.012 * fs))
)
x += noise_signal(fs, 4.0, color="pink", # fondo a 45 dB SPL
rms=p_ref * 10.0 ** (45.0 / 20.0), seed=10)
res = spectrogram(x, fs, nperseg=1024, overlap=0.75, scaling="spectrum")
level = 10.0 * np.log10(res.power / p_ref**2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
img = ax.imshow(level, cmap="magma", vmin=level.max() - 55.0,
vmax=level.max(), aspect="auto", origin="lower",
extent=(res.times[0], res.times[-1], 0.0,
res.frequencies[-1]))
fig.colorbar(img, ax=ax, label="Nivel de presión acústica [dB SPL]")
ax.set_ylim(0.0, 3000.0)
ax.set_xlabel("Tiempo [s]")
ax.set_ylabel("Frecuencia [Hz]")
plt.show()
```
`res.plot()` dibuja la misma representación directamente desde el
resultado (una única imagen ráster, 80 dB por debajo de la celda más
fuerte por defecto; pasa `vmin`/`vmax` para cambiar el rango, o `ax` para
dibujar en un panel existente).
## 2. FFT con zoom
Dos tonos separados 3 Hz - bandas laterales de engranajes, máquinas
gemelas, zumbido de red contra un armónico de rotor - son invisibles para
una FFT de 1024 puntos a 8192 Hz: sus bins miden 8 Hz. La solución clásica
de los analizadores es la **transformada con zoom** de Bendat y Piersol,
sección 11.5.4: filtrar la banda, bajarla a frecuencia cero por
demodulación compleja con $\exp(-j 2\pi f_1 t)$ (ecs. 11.123-11.126),
diezmar por
la razón de anchos de banda y transformar el registro diezmado
(ecs. 11.128-11.130), obteniendo un espaciado fino de bins sobre la banda
sin un bloque de FFT gigante (ec. 11.127).
`zoom_fft` calcula el equivalente digital exacto en una sola pasada - la
evaluación chirp-Z de la DFT del registro con ventana sobre la malla del
zoom - que da las mismas muestras de la DFT que la cadena
demodular-diezmar; la batería de tests fija ambas entre sí a precisión de
máquina. Las amplitudes se calibran con la ganancia coherente de la
ventana, así que una sinusoide de amplitud de pico $A$ sobre una frecuencia de
análisis lee `amplitude` $= A$ y `power` $= A^2/2$ exactamente:
```python
from phonometry import zoom_fft
res = zoom_fft(x, fs, 980.0, 1016.0) # malla a la resolución del registro
print(res.bin_spacing) # fs/N por defecto
print(res.resolution_bandwidth) # Be del registro con ventana
peak = res.amplitude.argmax()
print(res.frequencies[peak], res.amplitude[peak])
res.plot(language="es") # espectro de potencia en dB
```
Una distinción importa y el resultado la declara: la **malla** puede
hacerse arbitrariamente fina (`n_points`), pero la **resolución** - la
capacidad de separar dos tonos - la fijan la longitud del registro y la
ventana, y se informa como `resolution_bandwidth`
($B_\mathrm{e} = f_\mathrm{s} \sum w^2/(\sum w)^2$, es decir, $1/T_\mathrm{r}$ sin ventana y $1{,}5/T_\mathrm{r}$
con Hann; el mismo factor de ventana del apartado 1, aplicado aquí a la
duración del registro $T_\mathrm{r}$ en lugar de a un segmento, porque la FFT con zoom
transforma el registro entero). El
zoom refina el muestreo del mismo espectro subyacente; solo un registro
más largo separa tonos más próximos.
**El rango dinámico es otra cuestión, y el zoom no ayuda con ella.** La
chirp-Z sigue evaluando la DFT del *registro entero con su ventana*, así que una
componente fuerte fuera de la banda ampliada se cuela dentro por los lóbulos
laterales de la ventana exactamente igual que en una FFT corriente: la banda
ampliada compra resolución de la malla, no rechazo. El primer lóbulo lateral de
la Hann está a −31,5 dB, que no da ni de lejos para ver una banda lateral 50 dB
por debajo de una portadora a unos pocos hercios. El control es el argumento
`window` (por defecto `"hann"`): pasa `window="blackman"`, o una Kaiser con beta
alta, para cambiar anchura de lóbulo principal por rechazo de lóbulos laterales,
recordando que un lóbulo principal más ancho sube $B_\mathrm{e}$ y con él la separación
mínima que puedes resolver, de modo que los dos objetivos tiran en sentidos
opuestos. Las
[figuras de mérito de las ventanas](/phonometry/es/signals/spectra/spectral-analysis/#6-elegir-la-ventana)
ponen números a ese compromiso. Cuando ni la mejor ventana basta, filtra o
elimina con un notch la componente dominante antes de ampliar: ninguna ventana
sustituye a quitar la energía.
**Y la máquina tiene que estarse quieta.** Separar dos rayas a 3 Hz una de otra
cerca de 1 kHz pide un segundo de registro aproximadamente, y durante ese
segundo el eje tiene que mantener su velocidad con un error menor que 3 partes
en 1000, el 0,3 %, o la propia raya del rotor se emborrona más ancha que la
separación que intentas resolver, y ningún zoom la recupera. En general la
estabilidad de velocidad exigida es la resolución objetivo dividida por la
frecuencia de la raya, lo que se vuelve severo enseguida: 0,5 Hz a 5 kHz es el
0,01 %. Compruébalo antes de fiarte del zoom: pasa un espectrograma del mismo
registro y confirma que la raya sale horizontal a lo largo de la ventana de
análisis, o lee el periodo del eje con un tacómetro durante el registro. Cuando
la máquina sí deriva, remuestrea angularmente contra el tacómetro (seguimiento de
órdenes) para que las rayas queden estacionarias en orden en vez de en
frecuencia.
*Lo que separa los dos tonos es el segundo de registro, no el zoom. La vista
gruesa usa 1024 de las 8192 muestras, así que sus bins de 8 Hz no pueden
sostener dos rayas separadas 3 Hz y enseña un solo bulto en 1000 Hz. El zoom
transforma el registro **entero**, cuyo ancho de banda de resolución con Hann es
de 1,5 Hz, y le pone encima una malla de 0,25 Hz: los picos caen en 997,00 y
1000,00 Hz con −1,94 y −6,02 dB, las amplitudes de los dos tonos. Una malla más
fina sobre un registro de 1024 muestras no habría cambiado nada; esta es la
distinción que hace el apartado entre densidad de muestreo y resolución.*
Ver el código de esta figura
```python
from scipy import signal
from phonometry import zoom_fft
fs = 8192.0
t = np.arange(8192) / fs # registro de 1 s: resolución de 1 Hz
x = (0.8 * np.cos(2.0 * np.pi * 997.0 * t)
+ 0.5 * np.cos(2.0 * np.pi * 1000.0 * t))
w = signal.get_window("hann", 1024) # la vista gruesa: bins de 8 Hz
coarse = 2.0 * np.abs(np.fft.rfft(x[:1024] * w)) / np.sum(w)
coarse_f = np.fft.rfftfreq(1024, 1.0 / fs)
band = (coarse_f >= 950.0) & (coarse_f <= 1050.0)
res = zoom_fft(x, fs, 980.0, 1016.0, n_points=145) # malla de 0,25 Hz
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.plot(coarse_f[band], 20.0 * np.log10(coarse[band]), "o--",
label="FFT de 1024 puntos (bins de 8 Hz)")
ax.plot(res.frequencies, 20.0 * np.log10(res.amplitude),
label="FFT con zoom del mismo registro")
for f0 in (997.0, 1000.0):
ax.axvline(f0, color="k", ls=":", lw=1.0, alpha=0.6)
ax.set_ylim(-70.0, 5.0)
ax.set_xlabel("Frecuencia [Hz]")
ax.set_ylabel("Amplitud [dB]")
ax.legend()
plt.show()
```
## Relación con el resto de la biblioteca
El espectrograma comparte ventana, segmentación y escalado con
[`power_spectral_density`](/phonometry/es/signals/spectra/spectral-analysis/), así
que ambos son mutuamente congruentes bin a bin; el
[espectrograma en bandas de octava](/phonometry/es/signals/levels/levels/) de
`OctaveFilterBank.spectrogram` es el equivalente de ancho de banda
porcentual constante con balística de sonómetro; y para seguir en el
tiempo la frecuencia de una sola componente, la
[frecuencia instantánea de Hilbert](/phonometry/es/signals/spectra/correlation-delay/)
de `envelope` complementa la cresta de la STFT.
## Qué cubre esta guía
El espectrograma calibrado de Bendat y Piersol (sección 12.6.4.2): segmentos
STFT enventanados y solapados conservados como columnas de tiempo separadas en
lugar de promediados, implementado por `spectrogram` con el escalado exacto
del módulo de Welch y el error aleatorio de la Ec. 8.158 de una celda sin
promediar. La FFT con zoom de la sección 11.5.4 (ecs. 11.122-11.130):
espectros de banda limitada en una malla arbitrariamente fina, calculados como
el equivalente chirp-Z de la cadena demodulación-diezmado-DFT del libro,
implementada por `zoom_fft`. Ambas comparten el catálogo de ventanas de Harris
(1978) tras el enventanado del segmento.
Esta es solo la familia de ancho de banda constante basada en STFT. El
equivalente de porcentaje constante con balística de sonómetro es
`OctaveFilterBank.spectrogram`, en la página de
[Niveles](/phonometry/es/signals/levels/levels/). Seguir en el tiempo la
frecuencia instantánea de una sola componente es la envolvente de Hilbert de
`envelope`, en la página de [Correlación y
retardo](/phonometry/es/signals/spectra/correlation-delay/), no en esta. Como
la página de análisis espectral, esta implementa los estimadores de Bendat y
Piersol, no una norma de certificación.
## Véase también
- [Análisis espectral](/phonometry/es/signals/spectra/spectral-analysis/): la estimación de Welch promediada para el fondo estacionario, y las figuras de mérito de las ventanas tras el enventanado del segmento.
- [Niveles](/phonometry/es/signals/levels/levels/): el espectrograma en bandas de fracción de octava con balística de sonómetro.
- [Correlación y retardo](/phonometry/es/signals/spectra/correlation-delay/): la frecuencia instantánea de Hilbert para seguir una componente.
- Referencia de la API: [`signals.time_frequency`](/phonometry/es/reference/api/signals/time-frequency/).
- Teoría: [Resolución frecuencial vs separación de bins FFT](/phonometry/es/reference/theory/signal-analysis/#resolución-frecuencial-vs-separación-de-bins-fft): la separación de bins frente a la resolución efectiva, el compromiso al que esta página dedica toda su extensión.