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Una máquina rotativa repite su firma una vez por revolución. Enterrada en el
ruido de banda ancha y en los tonos del resto de los ejes, esa forma de onda
repetitiva es difícil de leer directamente. El **promediado síncrono en el
tiempo** (TSA) la recupera: dado el período `T` de una revolución, trocea el
registro en bloques sucesivos de longitud `T` y los promedia. Toda componente
síncrona con `T` se refuerza; todo lo asíncrono, el ruido y los armónicos de
ejes no relacionados, se promedia hasta desaparecer. `time_synchronous_average`
implementa el modelo de P. D. McFadden, *A revised model for the extraction of
periodic waveforms by time domain averaging* (1987).

<details>
<summary>Ver el código de esta figura</summary>

```python

from phonometry import (
    comb_filter_response,
    noise_signal,
    time_synchronous_average,
)

fs = 8192.0
period = 1.0 / 32.0        # una revolución: 256 muestras a esta frecuencia
m, n_avg = 256, 40
phase = np.arange((n_avg + 1) * m) / m
periodic = (
    np.cos(2.0 * np.pi * phase)
    + 0.5 * np.cos(2.0 * np.pi * 3.0 * phase + 0.4)
    - 0.3 * np.cos(2.0 * np.pi * 6.0 * phase)
)
recording = periodic + noise_signal(fs, phase.size / fs, rms=0.9, seed=11)
res = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=n_avg)

fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.6))
t_ms = 1e3 * res.times
ax0.plot(t_ms, recording[:m], color="#cccccc", label="Un período ruidoso")
ax0.plot(t_ms, res.period_waveform, color="#1f77b4", lw=1.8,
         label=f"Promedio de N = {n_avg} períodos")
ax0.plot(t_ms, periodic[:m], "--", color="#d62728", label="Forma verdadera")
ax0.set_xlabel("Tiempo [ms]"); ax0.set_ylabel("Amplitud"); ax0.legend()

orders = np.linspace(31.0, 33.0, 4000)
freqs = orders / period
ax1.plot(orders, comb_filter_response(freqs, period, 32), color="#2ca02c",
         label="N = 32 (potencia de dos)")
ax1.plot(orders, comb_filter_response(freqs, period, 20), color="#1f77b4",
         label="N = 20 (nodo en 32,05)")
ax1.axvline(32.05, color="#d62728", ls=":", label="Tono interferente")
ax1.set_xlabel("Frecuencia [órdenes]"); ax1.set_ylabel("Magnitud del filtro peine")
ax1.set_ylim(0, 1.05); ax1.legend()
plt.show()
```

</details>

El método `.plot()` dibuja la forma de onda promediada y el filtro peine en una
sola llamada:

```python
res.plot()          # etiquetas en inglés; res.plot(language="es") en español
```

## 1. El promedio es un filtro peine

Promediar `N` períodos sucesivos (McFadden Ec. 5),

$$
a(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} y(t + n\,T),
$$

es, en el dominio de la frecuencia, la multiplicación del espectro de la señal
por un **filtro peine** (Ec. 8). Su magnitud (Ec. 9) es el núcleo de Dirichlet

$$
|C(f)| = \left| \frac{\sin(N\pi f T)}{N \sin(\pi f T)} \right| .
$$

El peine tiene un **diente** de altura unidad en cada armónico `k/T` (los
órdenes `f·T = 1, 2, 3, ...`), *independiente de `N`*: las componentes
síncronas con el período pasan intactas. Entre los dientes tiene **nodos** en
`j/(N·T)` para todo `j` que no sea múltiplo de `N`, donde la respuesta es
exactamente cero. `comb_filter_response` evalúa esta forma cerrada
directamente:

```python

from phonometry import comb_filter_response

period = 1.0 / 32.0
comb_filter_response(np.array([16.0 / period]), period, 8)   # 1.0 en un diente
comb_filter_response(np.array([0.25 / period]), period, 2)   # 1/sqrt(2)
comb_filter_response(np.array([0.5 / period]), period, 2)    # 0.0 en un nodo
```

`SynchronousAverageResult` lleva la respuesta sobre los primeros armónicos en
`comb_frequencies` y `comb_response`, de modo que la forma del filtro que el
promedio aplicó está disponible junto a la forma de onda recuperada.

## 2. El ruido cae como la raíz cuadrada del número de promedios

El ruido asíncrono de varianza $\sigma^2$ promediado sobre `N` períodos tiene
varianza residual $\sigma^2/N$: la desviación típica residual cae como
$1/\sqrt{N}$, y la relación señal-ruido en amplitud mejora en $\sqrt{N}$. Eso
es una reducción de potencia de $10\log_{10} N$ dB, reportada como
`noise_reduction_db`, con la ganancia en amplitud $\sqrt{N}$ como
`amplitude_snr_gain`:

```python
res = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=100)
res.noise_reduction_db      # 20.0 dB = 10*log10(100)
res.amplitude_snr_gain      # 10.0   = sqrt(100)
res.plot(language="es")     # forma de onda promediada + el peine aplicado
```

*La ley √N medida de principio a fin: el error RMS de la forma de onda
promediada de una firma de engranaje de tres armónicos en ruido de varianza
unidad cae a lo largo de la línea ideal σ/√N a medida que el número de
períodos promediados crece de 1 a 128.*

<details>
<summary>Mostrar el código de esta figura</summary>

```python

from phonometry import time_synchronous_average

fs = 8192.0
samples = 256
period = samples / fs
m = np.arange(samples) / fs
true = (np.cos(2 * np.pi * m / period)
        + 0.5 * np.cos(2 * np.pi * 3 * m / period + 0.7)
        + 0.25 * np.cos(2 * np.pi * 5 * m / period + 1.1))
rng = np.random.default_rng(5)
recording = np.tile(true, 128) + rng.standard_normal(128 * samples)

counts = [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128]
errors = []
for n in counts:
    res = time_synchronous_average(recording[:n * samples], fs, period,
                                   n_averages=n)
    errors.append(np.sqrt(np.mean((res.period_waveform - true) ** 2)))

# Una línea: la forma de onda promediada y el peine que aplicó:
res.plot(language="es")
plt.show()

# La ley sqrt(N) a mano: error medido contra la línea ideal:
fig, ax = plt.subplots()
ax.loglog(counts, errors, "o-", label="error RMS medido")
ax.loglog(counts, 1 / np.sqrt(np.array(counts)), "r--",
          label="sigma/sqrt(N) ideal")
ax.set(xlabel="Número de promedios N", ylabel="Error RMS")
ax.legend()
plt.show()
```

</details>

Esta ley es la ideal: se cumple cuando el ruido no está correlado de un período
al siguiente, de modo que el ruido de color o síncrono correlado entre períodos
no tiene por qué seguirla. El `residual` (entrada menos la reconstrucción
periódica sobre el tramo analizado) y su `residual_rms` reportan, por tanto, el
ruido realmente restante una vez eliminada la componente síncrona.

## 3. Elegir N para rechazar un orden interferente

Como hay un diente sobre *todos* los órdenes enteros, el TSA deja pasar los
armónicos del eje objetivo pero también cualquier tono que caiga en un orden
entero. Un tono en un orden *no armónico* `q = f·T` solo es atenuado por el
peine, no eliminado, y cuánto depende de dónde caiga el nodo más cercano. El
resultado del modelo revisado de McFadden es que tal interferente se rechaza
mejor eligiendo `N` de modo que un nodo caiga exactamente sobre él, es decir,
el menor `N` con `N·q` entero, en vez de con el número de promedios potencia
de dos habitual. Un nodo exacto solo existe cuando el orden `q` es racional, de
modo que algún `N` finito hace `N·q` entero; para un orden irracional o solo
estimado, elige el `N` cuyo nodo caiga más cerca del orden interferente.

Su propio ejemplo es un tono en 32,05 órdenes. Con `N = 20` el producto
`20 · 32,05 = 641` es entero, así que un nodo del peine cae sobre el tono y lo
rechaza en más de 100 dB. La elección común `N = 32` da
`32 · 32,05 = 1025,6`, que se sitúa en un lóbulo lateral: el tono apenas se
toca. La figura de arriba muestra ambos peines en torno al orden 32; el
promedio de extremo a extremo lo confirma:

```python
# 8.o orden verdadero más un interferente fuerte en 32,05 órdenes
phase = np.arange(41 * 256) / 256
recording = np.cos(2 * np.pi * 8.0 * phase) + 0.7 * np.cos(2 * np.pi * 32.05 * phase)

leak_20 = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=20)
leak_32 = time_synchronous_average(recording, fs, period, n_averages=32)
# leak_20.period_waveform coincide con el 8.o orden limpio; leak_32 no
```

Así que un número de promedios potencia de dos, por conveniente que sea, no es
en general la elección óptima: los órdenes interferentes presentes en la
máquina deberían fijar `N`.

## 4. Muestras por período no enteras

Cuando `fs·T` es entero, las fronteras de período caen sobre muestras, los
bloques se trocean directamente y una señal periódica sin ruido se recupera
con precisión de máquina (`interpolated` es `False`). Cuando `fs·T` no es
entero las fronteras caen entre muestras; cada bloque se alinea entonces a una
malla entera común mediante el retardo fraccionario de banda limitada de
[`fractional_delay`](/phonometry/es/guides/test-signals/), y la forma de onda
se recupera dentro de ese error de interpolación (`interpolated` es `True`):

```python
fs = 8192.0
period = 1.0 / 31.7                       # fs * period no es entero
t = np.arange(int(40 * period * fs)) / fs
recording = np.cos(2.0 * np.pi * t / period)  # un ciclo por revolución
res = time_synchronous_average(recording, fs, period)
res.interpolated                          # True: alineación por retardo fraccionario
res.samples_per_period                    # muestras enteras de un período
```

Por defecto el promedio usa tantos períodos completos como contenga el
registro; pasa `n_averages` para fijar el número (para la elección de nodo del
§3), y `n_harmonics` para fijar cuántos armónicos de `1/T` abarca la respuesta
del peine devuelta.

La alineación de banda limitada comparte su núcleo con la alineación
submuestral de respuestas al impulso de la
[página de señales de prueba](/phonometry/es/guides/test-signals/), y la forma
de onda recuperada, al ser exactamente un período, puede repetirse para
reconstruir la parte síncrona de la señal, para restarla o para análisis de
órdenes.

## Qué herramienta de diagnóstico, y cuándo

El promediado síncrono, el cepstro y el espectro de la envolvente responden
preguntas distintas sobre una máquina rotativa, y se componen en lugar de
competir:

- **El promediado síncrono** necesita el período (un pulso de tacómetro o
  una velocidad de eje fiable) y devuelve *la forma de onda misma*, una
  revolución completa: la herramienta cuando quieres ver qué hace un eje o
  un engranaje concreto por vuelta, diente a diente.
- **El [cepstro](/phonometry/es/guides/cepstrum-echoes/)** no necesita
  referencia y detecta *cualquier* familia periódica del espectro
  (armónicos, bandas laterales): la herramienta cuando el período es
  desconocido o varias familias se solapan y hay que separarlas.
- **El [espectro de la envolvente](/phonometry/es/guides/cepstrum-echoes/#5-el-espectro-de-la-envolvente-modulaciones-como-líneas)**
  encuentra periodicidades de la *amplitud*: la herramienta para los fallos
  de rodamiento, cuya tasa de repetición modula una resonancia de alta
  frecuencia en lugar de aparecer como un tono grave.

La composición es práctica habitual: promedia síncronamente primero y
resta después; el campo `residual` es el registro con la parte síncrona
eliminada, exactamente sobre lo que conviene ejecutar el espectro de la
envolvente cuando las componentes fuertes del engranaje ya no enmascaran la
modulación.

## Qué cubre esta guía

**Cubierto.** El modelo revisado de McFadden para el promediado en el
dominio del tiempo (*Mechanical Systems and Signal Processing*, 1987): la
descripción por filtro peine del promedio (Ec. 8, magnitud Ec. 9)
implementada por `comb_filter_response`, la ley de reducción de ruido en
raíz cuadrada expuesta como `noise_reduction_db` y `amplitude_snr_gain`, y
la elección de `N` que sitúa un nodo del peine sobre un orden interferente,
siguiendo el propio ejemplo del artículo con el orden 32,05.
`time_synchronous_average` también implementa la alineación de banda
limitada por retardo fraccionario usada cuando `fs·T` no es entero.

**No cubierto.** El TSA necesita un período conocido; encontrar ese
período, o detectar familias periódicas sin conocerlo, es tarea del
[cepstro](/phonometry/es/guides/cepstrum-echoes/), no de esta página.
Localizar periodicidades de modulación de amplitud, como los fallos de
rodamiento, es el
[espectro de la envolvente](/phonometry/es/guides/cepstrum-echoes/#5-el-espectro-de-la-envolvente-modulaciones-como-líneas),
también fuera de esta página. El artículo de McFadden no es una norma de
certificación, así que no hay ninguna cláusula de cumplimiento contra la
que comprobar la implementación.

## Véase también

- [Cepstro y ecos](/phonometry/es/guides/cepstrum-echoes/): detección sin referencia de familias de armónicos y bandas laterales, y el espectro de la envolvente.
- [Correlación y retardo](/phonometry/es/guides/correlation-delay/): la envolvente de Hilbert que sustenta el análisis de envolvente.
- [Señales de prueba](/phonometry/es/guides/test-signals/): el núcleo de retardo fraccionario que usa la alineación de período no entero.
- Referencia de la API: [`metrology.synchronous_average`](/phonometry/es/reference/api/spectra/synchronous-average/).